2.3.2平面与平面垂直的判定
一、选择题 1．下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( ) A．①③ C．③④
B．②④ D．①②
解析：选B 由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选B.
2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( )
A．相等 C．不确定 答案：C
3.在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD
解析：选C 由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．
4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )
A．90° C．45°
B．60° D．30° B．互补 D．相等或互补
解析：选A ∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故
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选A.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为( )
A.3 2
B.2 2
C.2 D.3
解析：选C 如右图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，
∵A1D＝A1B，
∴在△A1BD中，A1O⊥BD. 又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD， ∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角． 设AA1＝1，则AO＝∴tan∠A1OA＝122
2. 2
＝2.
二、填空题
6．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个． 解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点
B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案：1个或无数个
7．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________． 解析：如图所示，设正四面体ABCD的棱长为1，顶点A在底面BCD上的射影为O，连接DO并延长交BC于点E，连接AE，则E为BC的中点，故AE⊥
BC，DE⊥BC，
∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角． 在Rt△AEO中，AE＝
31133，EO＝ED＝·＝， 23326
EO1
∴cos∠AEO＝＝.
AE3
1答案： 3
8．在一个倾斜角为60°的斜坡上，沿着与坡脚面的水平线成30°角的道路上坡，行走100 m，实际升高了________ m.
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解析：如右图，构造二面角α－AB－β，在直道CD上取一点E，过点
E作EG⊥平面β于G，过G作GF⊥AB于F，连接EF，则EF⊥AB.
∴∠EFG为二面角α－AB－β的平面角， 即∠EFG＝60°.
∴EG＝EF·sin 60°＝CE·sin 30°·sin 60° 13
＝100××＝253(m)．
22答案：253 三、解答题
9．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：连接AC，交BD于点F，连接EF， ∴EF是△SAC的中位线， ∴EF∥SC. ∵SC⊥平面ABCD， ∴EF⊥平面ABCD. 又EF⊂平面EDB. ∴平面EDB⊥平面ABCD.
1
10．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至
2△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，
MN，则MN∥BC.
1
∵AB＝AD，E是AD的中点，
2
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∴AB＝AE，即A′B＝A′E. ∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D， ∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN， 又MN∩A′M＝M，
∴CD⊥平面A′MN.∴CD⊥A′N.
1
∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．
2又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE. 又A′N⊂平面A′BE， ∴平面A′BE⊥平面BCDE.
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