数学模拟试题(二)

本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间为120分钟， 满分150分．

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．已知集合Mxxx2,Nyy2x,xR，则MN ( )

A． B．[0,1] C．[0,1) D．(0,1] （0,1）2．“实数a1”是“复数(1ai)i（aR,i为虚数单位）的模为2”的 （ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件又不必要条件 3．数列{an}的前n项和为Sn，若anA．

1，则S6等于 （ ）

n(n1)

C．

1 42 B．

4 55 6 D．

6 74．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A．48cm3 B．98cm3 C．88cm3 D．78cm3

2

5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．2

B．2 C．4 D．4 俯视图 结束 5 1 3 开始 i=1,S=10 i=i+1 S=S－2i 4 正视图 左视图 i<4？ 否 输出S 是 （第5题图） 第4题图 6．已知0，函数f(x)sin(x

)在(,)上单调递减．则的取值范围是 （ ） 4215131A．[,] B． [,] C． (0,] D．(0,2]

22424第 1 页

7．函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是 ( )

A．f(x)xsinx B．f(x)

第7题图32ycosx3) C．f(x)xcosx D．f(x)x(x)(xx222O232x8．从编号为001，002，……，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为 （ ） A． 480 B． 481 C． 482 D． 483

19． 偶函数f(x)满足f(x1)f(x1),且在x[0,1]时，f(x)x，则关于x的方程f(x)102x在[2,3]上的根的个数是 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6

x2y2P与点F2关10．已知F1，F2是双曲线221(a0,b0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点

ab于直线ybx对称，则该双曲线的离心率为 （ ） aA．5 B．5 C．2 D．2 2第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x___ ____ 吨． 12．设(xa)a0a1xa2x82a8x8，若a5a86，则实数a的值为 ．

xy6013．已知x，y满足约束条件x3，且z2x4y的最小值为6，则常数k ．

xyk0第 2 页

14．已知直角梯形ABCD，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，沿AC折叠成三棱锥，当

三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ．

15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧

上的任意一点，设向量ACDEAP,则的最小值为 ． 三．解答题：本大题共6小题，共75分．

16．（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足

cos2Acos2B2cosAcosA

66（Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若b

17．（本小题满分12分）

在对某渔业产品的质量调研中，从甲，乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）． 下表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量15毫克时为优质品． （Ⅰ）试用上述样本数据估计甲，乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；

（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数的分布列及数学期望E()．

18．（本小题满分12分）

如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点． （Ⅰ）求证：BD⊥FG；

（Ⅱ）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由． （Ⅲ）当二面角B—PC—D的大小为成角的正切值．

340264586122478892甲地80乙地13且ba，求ac的取值范围．

20012时，求PC与底面ABCD所3第 3 页

19．（本小题满分12分）

设数列an为等差数列，且a514，a720，数列bn的前n项和为Sn，b12且33SnSn12(n2,nN).

（Ⅰ）求数列an，bn的通项公式; （Ⅱ）若cnanbn,n1,2,3,

20．（本小题满分13分）

,Tn为数列cn的前n项和，Tnm对nN恒成立，求m的最小值．

*x2y21，直线l的方程为x4，过右焦点F的直线l'与椭圆交于异于左如图，已知椭圆C:43顶点A的P,Q两点，直线AP，AQ交直线l分别于点M，N． （Ⅰ）当APAQ＝时，求此时直线l'的方程； （Ⅱ）试问M，N两点的纵坐标之积是否为定值？

若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

设函数f(x)92xax． lnx（Ⅰ）若函数f(x)在(1,)上为减函数，求实数a的最小值；

2e,e（Ⅱ）若存在x1,x2，使f(x1)f(x2)a成立，求实数a的取值范围．

数学模拟试题（二）

第 4 页

参考答案

一．选择题：DADBD ACCCB 二．填空题：11．20； 12．三．解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知cos2Acos2B2cos411； 13．－3； 14．； 15． 223AcosA 66A……………………………………………………………3分 得2sin2B2sin2A2cos2A3412sin4化简得sinB故B3………………………………………………………………………………………………5分 23或2．………………………………………………………………………………………………6分 3（Ⅱ）因为ba，所以B3，……………………………………………………………………………７分

由正弦定理

acbsinAsinCsinB32，得a2sinA,c2sinC， 32故a1323c2sinAsinC2sinAsinAsinAcosA3sinA ……９分

622323A2，A，……………………………………………………10分 6623因为ba，所以

所以a13c3sinA,3． ……………………………………………………12分

2627，……………………………………2分 1017．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）甲厂抽取的样品中优等品有7件，优等品率为乙厂抽取的样品中优等品有8件，优等品率为

84．…………………………………………………4分 105（Ⅱ）的取值为1，2，3．………………………………………………………………………………6分

30121C8C2C8C2C82C2177，，……………………9分 P(1)P(2)P(3)333C1015C101515C10

第 5 页

所以的分布列为

 P 1 2 3 115 715 715 …………………………………………………………………………………………………………………10分

（）1故的数学期望为E18．（本小题满分12分）

1771223. …………………………………………………12分 1515155解：方法一：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E ∴PA⊥BD，AC⊥BD， ∴BD⊥平面APC ………………………………………………………2分 ∵FG平面PAC，∴BD⊥FG ……………………………………………………………………3分 （Ⅱ）当G为EC中点，即AG=

3AC时，FG∥平面PBD，……………………………………………4分 4连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，………………………………………………5分 而FG平面PBD，PB平面PBD，故FG∥平面PBD．……………………………………………6分 （Ⅲ）作BH⊥PC于H，连接DH，∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，∴DH⊥PC，且DH=BH，∴∠BHD是二面角B－PC－D的平面角．即

BHD

2,………………………………………………………………………………………7分 3∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角 …………………………………8分 连结EH，则EHBD,BHE3,EHPC，tanBHEBE3 EH而BEEC，ECEH33,sinPCA,…………………………………………10分 EHEC3

tanPCA2,……………………………………………………………………………………11分 22 2………………………………………………………12分

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是

方法二：（Ⅰ）以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,E(, ∵BD(1,1,0),FG(m1111a,0),F(,,),G(m,m,0)(0m2) …………1分 2222211a11,m,)，BDFGmm00…………2分 22222第 6 页

∴BD⊥FG ………………………………………………………………………………3分

11m1122（Ⅱ）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，而EP,,a，由F可得：，GEP，

22aa2解得13，m，…………………………………………………………………………………5分 243333G,,0，AGAC，故当AGAC时，FG//平面PBD………………………6分

4444（Ⅲ）设平面PBC的一个法向量为ux,y,z

uPC0则，而PC(1,1,a),BC(0,1,0) uBC0xyaz0，取z1，得u(a,0,1)，……………………8分 y0同理可得平面PDC的一个法向量v(0,a,1)，设u,v所成的角为，

则|cos||cos21|, 32…………………………………………10分

即|uv||u||v|111,,a1 2a21a212

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，tanPCAPA12 AC22∴PC与底面ABCD所成角的正切值是19．（本小题满分12分）

2 2…………………………………………………………12分

解：（Ⅰ） 数列an为等差数列，公差d1(a7－a5)3 ，易得a12， 2所以 an3n1 ……………………………………………………………………………………1分 由3SnSn12，得3SnSnbn2，即bn2－2Sn， 所以b222(b1b2)，又b122b1，所以b2，2 ………………………………………2分 39b13由3SnSn12， 当n3时,得3Sn1Sn22, 第 7 页

两式相减得：3(SnSn1)Sn1Sn2，即3bnbn1，所以bn1n3…………………4分 bn13又21b211，所以bn是以b1为首项，为公比的等比数列，于是bn2n ……………5分

33b133（Ⅱ）cnanbn2(3n1)∴Tn2[21 n311115283(3n1)n], ……………………………………6分 333311111Tn22253(3n4)n(3n1)n1 ………………………………8分 33333211111132333n(3n1)n1]……………9分

3333333771n所以 Tnnn1 ………………………………………………………………11分

2233771n7从而Tnnn1 2232377∵Tnm对nN恒成立，∴m ∴m的最小值是 ………………………………12分

22两式相减得Tn2[320． （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）①当直线PQ的斜率不存在时，由F(1,0)可知PQ方程为x1

33x2y21得P(1,),Q(1,)又A(2,0) 代入椭圆C:22433327AP(3,),AQ(3,),APAQ 不满足……………………………………2分

224②当直线PQ的斜率存在时，设PQ方程为yk(x1)(k0)

x2y21得(34k2)x28k2x4k2120…………………………3分 代入椭圆C:438k24k212,x1x2设P(x1,y1),Q(x2,y2)得x1x2…………………………4分 2234k34k9k2y1y2k(x11)(x21)k(x1x2x1x21)34k2

2227k29APAQ(x12)(x22)y1y2x1x22(x1x2)4y1y234k22

第 8 页

k'66 故直线l的方程； yx1………………………………………………6分 22（Ⅱ）AP的方程为yy1(x2)与l的方程：x4联立 x12得：M(4,6y16y2) 同理得N(4,)…………………………………………………8分

x22x126y16y236y1y2 x12x22x1x22(x1x2)4yMyN3336()229………………………………………………9分 ①k不存在时，yMyN12(11)4324k2234k②k存在时，yMyN9………………………………………12分 224k1216k42234k34kM，N两点的纵坐标之积为定值9 …………………………………………13分

21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知得x＞0，x≠1．

1a≤0在(1，因f (x)在(1，)上为减函数，故f(x)lnx2)上恒成立． ………………1分

(lnx)所以当x(1，)时，f(x)max≤0． 1a1又f(x)lnx2lnx(lnx)21a11lnx2lnxa，………………………………2分 142故当11，即xe2时，f(x)max1a． 4lnx2所以1a≤0,于是a≥1，故a的最小值为1． ……………………………………………4分

444（Ⅱ）命题“若存在x1,x2[e,e2],使f(x1)≤fx2a成立”等价于

“当x[e,e2]时，有f(x)min≤fxmaxa”． …………………………………………………5分 由（Ⅰ），当x[e,e2]时，f(x)max1a，fxmaxa1．

44问题等价于：“当x[e,e2]时，有f(x)min≤1”． ………………………………………………6分

4①当a≥1时，由（1），f(x)在[e,e2]上为减函数，

42e则f(x)min=f(e)ae2≤1，故a≥112． ……………………………………………8分

24e242第 9 页

②当a<

11111'2)2a在e,e时，由于f(x)(上的值域为 a,a4lnx24422e,ee,e（ⅰ）a0，即a0，f'(x)0在恒成立，故在f(x)上为增函数，

于是，f(x)minf(e)eaee（ⅱ）a0，即0a1，矛盾．……………………………………………10分 41，由f'(x)的单调性和值域知， 4存在唯一x0(e,e2)，使f'(x)0，且满足：

当x(e,x0)时，f'(x)0，f(x)为减函数；当x(x0,e2)时，f'(x)0，f(x)为增函数； 所以，fmin(x)f(x0)x01ax0，x0(e,e2)…………………………………………12分 lnx04所以，a111111110a，与矛盾．………………………13分 4lnx04x0lne24e24411………………………………………………………………………………14分 24e2综上，得a第 10 页