2018年山西省中考数学试卷(含答案解析版)
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2018年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（3.00分）（2018•山西）下面有理数比较大小，正确的是( ) A．0＜﹣2 B．﹣5＜3 C．﹣2＜﹣3
D．1＜﹣4
2．(3.00分）（2018•山西)“算经十书\"是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中,不属于我国古代数学著作的是（ ）
A．
《九章算术》
B．
《几何原本》
C．
《海岛算经》
D．
《周髀算经》
3．(3。00分）（2018•山西）下列运算正确的是（ ）
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A．（﹣a3)2=﹣a6 B．2a2+3a2=6a2 C．2a2•a3=2a6
D．
4．(3.00分）（2018•山西）下列一元二次方程中,没有实数根的是( ） A．x2﹣2x=0
B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣2
5．(3.00分）（2018•山西）近年来快递业发展迅速，下表是2018年1～3月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：万件): 太原市 3303.78
大同市 332.68
长治市 302。34
晋中市 319。79
运城市 725。86
临汾市 416。01
吕梁市 338.87
1～3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是( ）
A．319.79万件 B．332。68万件 C．338.87万件 D．416.01万件
6．(3.00分）(2018•山西）黄河是中华民族的象征,被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观．其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（ ）
A．6.06×104立方米/时 C．3.636×106立方米/时
B．3.136×106立方米/时 D．36.36×105立方米/时
7．（3。00分)(2018•山西)在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ） A． B． C． D．
8．（3.00分）（2018•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=60°，AC=6，
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将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C’，此时点A'恰好在AB边上,则点B’与点B之间的距离为( ）
A．12 B．6 C． D．
9．(3。00分）（2018•山西）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）
2
+k的形式为（ ）
B．y=（x﹣4）2﹣25
C．y=(x+4)2+7 D．y=（x+4）2﹣
A．y=（x﹣4）2+7 25
10．(3。00分)（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为( ）
A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11．（3.00分)(2018•山西)计算：（3+1)（3﹣1）= ．
12．（3。00分）（2018•山西)图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
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13．（3。00分)（2018•山西）2018年国内航空公司规定:旅客乘机时，免费携带行李箱的长,宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm,长与高的比为8:11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm．
14．（3.00分）（2018•山西）如图,直线MN∥PQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧,两弧在∠NAB内交于点E;③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为 ．
15．（3.00分)(2018•山西）如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E,F,过点F作⊙O的切线FG,交AB于点G，则FG的长为 ．
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三、解答题(本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2018•山西）计算：
（1）（2）2﹣｜﹣4｜+3﹣1×6+20．
（2)•﹣．
17．（2018•山西）如图，一次函数y1=k1x+b（k1≠0)的图象分别与x轴，y轴相交于点A,B，与反比例函数y2=
的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D(2，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当x为何值时，y1＞0；
（3）当x为何值时，y1＜y2，请直接写出x的取值范围．
18．（2018•山西）在“优秀传统文化进校园”活动中,学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为:剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
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请解答下列问题：
(1）请补全条形统计图和扇形统计图;
（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中,男生所占的百分比是多少？
（3）若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法\"项目活动的有多少人？ （4)学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况,那么正好抽到参加“器乐\"活动项目的女生的概率是多少？
19．（2018•山西)祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践\"小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．
项目 课题 测量示意图
内容
测量斜拉索顶端到桥面的距离
说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C,分别与桥面交于A，B两点，且点A,B，C在同一竖直平面
内．
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测量数据 ∠A的度数
38°
∠B的度数
28°
…
AB的长度 234米
…
（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据:sin38°≈0。6，cos38°≈0.8，tan38°≈0。8,sin28°≈0.5,cos28°≈0。9,tan28°≈0.5）
(2）该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可)．
20．（2018•山西）2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号\"列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外)．经查询,“复兴号\"G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．
21．（2018•山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务:
在数学中,利用图形在变化过程中的不变性质,常常可以找到解决问题的办消去．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一
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个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得
AX=BY=XY．（如图)解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB,连接BD．第二步,在CB上取一点Y’，作Y’Z∥CA,交BD于点Z’,并在AB上取一点A’，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC,交BC于点
Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA’Z'=∠BAZ， 又∵∠A’BZ'=∠ABZ．∴△BA’Z'~△BAZ．
∴
同理可得
． ．∴
．
∵Z’A'=Y'Z',∴ZA=YZ．
任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程,判断四边形AXYZ的形状，并加以证明;
（2)请再仔细阅读上面的操作步骤，在(1)的基础上完成AX=BY=XY的证明过程； (3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z’Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 ． A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 22．(2018•山西）综合与实践
问题情境:在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1,在矩形ABCD
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中,AD=2AB，E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系． 探究展示：勤奋小组发现,AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法： 证明：∵BE=AB，∴AE=2AB． ∵AD=2AB,∴AD=AE．
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC． ∴
．（依据1）
．∴EM=DM．
∵BE=AB，∴
即AM是△ADE的DE边上的中线, 又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2） ∴AM垂直平分DE． 反思交流:
(1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明； （2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明； 探索发现：
(3）如图3,连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论，并加以证明．
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23．(2018•山西)综合与探究 如图，抛物线y=
x﹣4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于
点C，连接AC,BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴,垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E,交BC于点F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由； （3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（3.00分）（2018•山西）下面有理数比较大小，正确的是（ ） A．0＜﹣2 B．﹣5＜3 C．﹣2＜﹣3 【考点】18:有理数大小比较． 【专题】1 ：常规题型．
【分析】直接利用有理数比较大小的方法分别比较得出答案． 【解答】解：A、0＞﹣2,故此选项错误； B、﹣5＜3，正确;
C、﹣2＞﹣3，故此选项错误； D、1＞﹣4,故此选项错误; 故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较，正确把握比较方法是解题关键．
D．1＜﹣4
2．(3。00分）（2018•山西)“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作,它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（ ）
A．
《九章算术》
B．
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《几何原本》
C．
《海岛算经》
D．
《周髀算经》
【考点】1O：数学常识． 【专题】1 ：常规题型．
【分析】根据数学常识逐一判别即可得．
【解答】解：A、《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考,它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的；
B、《几何原本几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；
C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作,由刘徽于三国魏景元四年所撰；
D、《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作； 故选：B．
【点评】本题主要考查数学常识，解题的关键是了解我国古代在数学领域的成就．
3．（3.00分）（2018•山西）下列运算正确的是（ ） A．（﹣a3）2=﹣a6
B．2a2+3a2=6a2
C．2a2•a3=2a6
D．
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【考点】35:合并同类项;47:幂的乘方与积的乘方；49:单项式乘单项式；6A：分式的乘除法．
【专题】11 ：计算题；512：整式．
【分析】分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算即可判断．
【解答】解:A、（﹣a3）2=a6，此选项错误; B、2a2+3a2=5a2,此选项错误； C、2a2•a3=2a5，此选项错误; D、故选：D．
【点评】本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方的运算法则．
，此选项正确；
4．（3。00分）（2018•山西）下列一元二次方程中,没有实数根的是（ ） A．x2﹣2x=0
B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣2
【考点】AA:根的判别式． 【专题】1 ：常规题型．
【分析】利用根的判别式△=b2﹣4ac分别进行判定即可．
【解答】解：A、△=4﹣4=0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意; B、△=16+4=20＞0，有两个不相等的实数根,故此选项不合题意； C、△=16﹣4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；
D、△=25﹣4×3×2=25﹣24=1＞0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意； 故选:C．
【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
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①当△＞0时,方程有两个不相等的两个实数根; ②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．
5．（3.00分)(2018•山西）近年来快递业发展迅速，下表是2018年1～3月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果(单位:万件)： 太原市 3303.78
大同市 332.68
长治市 302.34
晋中市 319.79
运城市 725.86
临汾市 416。01
吕梁市 338。87
1～3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（ ） A．319.79万件 B．332.68万件 C．338.87万件 D．416.01万件 【考点】W4：中位数． 【专题】1 ：常规题型．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：首先按从小到大排列数据：319。79，302.34，332.68，338.87，416。01,725.86,3303.78
由于这组数据有奇数个，中间的数据是338。87 所以这组数据的中位数是338。87 故选：C．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．（3.00分）（2018•山西）黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观．其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为( ）
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A．6。06×104立方米/时 C．3.636×106立方米/时
B．3.136×106立方米/时 D．36.36×105立方米/时
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【专题】511:实数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤｜a｜＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时,n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解:1010×360×24=3。636×106立方米/时， 故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a｜＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（3.00分)（2018•山西）在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ） A． B． C． D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 【解答】解：画树状图如下：
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由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果， ∴两次都摸到黄球的概率为， 故选：A．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
8．(3.00分）（2018•山西）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B’C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B’与点B之间的距离为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【考点】KO：含30度角的直角三角形;R2：旋转的性质． 【专题】55:几何图形．
【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：连接B’B，
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∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A’B'C', ∴AC=A'C，AB=A’B，∠A=∠CA'B'=60°， ∴△AA'C是等边三角形， ∴∠AA'C=60°，
∴∠B’A'B=180°﹣60°=60°=60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，
∴∠ACA’=∠BAB'=60°，BC=B'C,∠CB’A'=∠CBA=90°﹣60°=30°, ∴△BCB’是等边三角形， ∴∠CB'B=60°， ∵∠CB’A'=30°, ∴∠A'B'B=30°，
∴∠B’BA’=180°﹣60°﹣30°=90°， ∵∠ACB=90°，∠A=60°,AC=6， ∴AB=12，
∴A'B=AB﹣AA'=AB﹣AC=6, ∴B’B=6， 故选：D．
【点评】此题考查旋转问题,关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．
9．（3。00分)(2018•山西）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）
2
+k的形式为（ ）
B．y=（x﹣4）2﹣25
C．y=（x+4）2+7 D．y=（x+4）2﹣
A．y=（x﹣4）2+7 25
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【考点】H9:二次函数的三种形式． 【专题】1 ：常规题型．
【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案． 【解答】解：y=x2﹣8x﹣9 =x2﹣8x+16﹣25 =（x﹣4)2﹣25． 故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
10．（3。00分）（2018•山西)如图,正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8 【考点】LE：正方形的性质;MO:扇形面积的计算． 【专题】559:圆的有关概念及性质．
【分析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积﹣△ABD的面积． 【解答】解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积﹣△ABD的面积=
﹣×4×2=4π﹣4，
故选:A．
【点评】本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
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二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．(3。00分)(2018•山西）计算:（3+1）(3﹣1)= 17 ． 【考点】79：二次根式的混合运算． 【专题】11 ：计算题．
【分析】根据平方差公式计算即可． 【解答】解：原式=(3）2﹣12 =18﹣1 =17
故答案为:17．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．
12．（3。00分）（2018•山西）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360 度．
【考点】L3：多边形内角与外角． 【专题】55:几何图形．
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可． 【解答】解:由多边形的外角和等于360°可知， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°, 故答案为：360°．
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2018年山西省中考数学试卷(含答案解析版)
【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
13．（3.00分）(2018•山西）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽,高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8:11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为 55 cm．
【考点】C9：一元一次不等式的应用． 【专题】12 ：应用题．
【分析】利用长与高的比为8：11，进而利用携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过115cm得出不等式求出即可． 【解答】解:设长为8x，高为11x， 由题意，得：19x+20≤115， 解得：x≤5,
故行李箱的高的最大值为：11x=55， 答：行李箱的高的最大值为55厘米． 故答案为：55
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确不等关系是解题关键．
14．（3。00分）（2018•山西）如图,直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A,B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作
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弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心,以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E;③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为 2 ．
【考点】JA：平行线的性质;N2：作图—基本作图;T7：解直角三角形． 【专题】13 ：作图题；551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】作高线BG，根据直角三角形30度角的性质得：BG=1,AG=,可得AF的长． 【解答】解：∵MN∥PQ， ∴∠NAB=∠ABP=60°， 由题意得:AF平分∠NAB， ∴∠1=∠2=30°， ∵∠ABP=∠1+∠3， ∴∠3=30°， ∴∠1=∠3=30°, ∴AB=BF，AG=GF， ∵AB=2, ∴BG=AB=1， ∴AG=, ∴AF=2AG=2, 故答案为：2．
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【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、直角三角形30度角的性质，此题难度不大,熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
15．（3.00分）（2018•山西)如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为
．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理;M5:圆周角定理；MC：切线的性质． 【专题】11 ：计算题．
【分析】先利用勾股定理求出AB=10,进而求出CD=BD=5，再求出CF=4,进而求出DF=3，再判断出FG⊥BD,利用面积即可得出结论． 【解答】解:如图，
在Rt△ABC中,根据勾股定理得,AB=10， ∴点D是AB中点， ∴CD=BD=AB=5, 连接DF，
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2018年山西省中考数学试卷(含答案解析版)
∵CD是⊙O的直径， ∴∠CFD=90°， ∴BF=CF=BC=4， ∴DF=连接OF，
∵OC=OD,CF=BF， ∴OF∥AB， ∴∠OFC=∠B, ∵FG是⊙O的切线, ∴∠OFG=90°,
∴∠OFC+∠BFG=90°， ∴∠BFG+∠B=90°， ∴FG⊥AB，
∴S△BDF=DF×BF=BD×FG， ∴FG=
=
=， =3，
故答案为．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质,勾股定理，切线的性质,三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演
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算步骤）
16．(2018•山西）计算：
(1）（2）2﹣｜﹣4|+3﹣1×6+20．
（2）•﹣．
【考点】2C：实数的运算;6C：分式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【专题】11 :计算题；511：实数；513:分式．
【分析】（1)先计算乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减运算可得；
（2)先将分子、分母因式分解，再计算乘法,最后计算减法即可得． 【解答】解:（1)原式=8﹣4+×6+1 =8﹣4+2+1 =7．
（2）原式===
．
【点评】本题主要考查实数和分式的混合运算，解题的关键是掌握绝对值性质、负整数指数幂、零指数幂及分式混合运算顺序和运算法则．
17．（2018•山西)如图，一次函数y1=k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y2=
的图象相交于点C（﹣4，﹣2)，D(2，4）．
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2018年山西省中考数学试卷(含答案解析版)
（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2)当x为何值时，y1＞0;
（3）当x为何值时，y1＜y2,请直接写出x的取值范围．
【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】31 ：数形结合．
【分析】（1）将C、D两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式，然后将点D代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式； （2）根据一元一次不等式的解法即可求出答案． (3)根据图象即可求出答案该不等式的解集．
【解答】解：（1）∵一次函数y1=k1x+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4）， ∴解得
．
,
∴一次函数的表达式为y1=x+2． ∵反比例函数∴
．
的图象经过点D（2，4)，
∴k2=8．
∴反比例函数的表达式为（2）由y1＞0，得x+2＞0．
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．
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∴x＞﹣2．
∴当x＞﹣2时，y1＞0． （3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法以及数形结合的思想，本题属于中等题型．
18．（2018•山西）在“优秀传统文化进校园\"活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸,武术,书法，器乐，要求七年级学生人人参加,并且每人只能参加其中一项活动．教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整）．
请解答下列问题：
(1）请补全条形统计图和扇形统计图;
（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中,男生所占的百分比是多少?
（3)若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？ （4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况,那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？
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【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图;X4:概率公式． 【专题】54：统计与概率．
【分析】(1）先求出参加活动的女生人数，进而求出参加武术的女生人数，即可补全条形统计图,再分别求出参加武术的人数和参加器乐的人数，即可求出百分比； (2）用参加剪纸中男生人数除以剪纸的总人数即可得出结论； （3）根据样本估计总体的方法计算即可; （4)利用概率公式即可得出结论．
【解答】解：（1）由条形图知,男生共有：10+20+13+9=52人, ∴女生人数为100﹣52=48人，
∴参加武术的女生为48﹣15﹣8﹣15=10人， ∴参加武术的人数为20+10=30人， ∴30÷100=30%，
参加器乐的人数为9+15=24人， ∴24÷100=24%， 补
全
条
形
统
计
图
和
扇
形
统
计
图
如
图
所
示
:
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（2)在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是答：在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比为40%． (3）500×21%=105（人)．
答：估计其中参加“书法\"项目活动的有105人． （4）
．
．
答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（2018•山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地\"的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．
项目 课题 测量示意图
内容
测量斜拉索顶端到桥面的距离
说明:两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B,C在同一竖直平面
内．
测量数据 ∠A的度数
38°
∠B的度数
28°
…
AB的长度 234米
…
(1）请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数
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据:sin38°≈0。6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0。5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．
【考点】T8：解直角三角形的应用． 【专题】552：三角形．
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出DC即可；
(2）还需要补充的项目可为:测量工具，计算过程，人员分工，指导教师,活动感受等
【解答】解：（1)过点C作CD⊥AB于点D．
设CD=x米,在Rt△ADC中,∠ADC=90°，∠A=38°． ∵
，∴
．
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠B=28°． ∵
，∴
．
．
∵AD+BD=AB=234，∴解得x=72．
答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．
（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工,指导教师，活动感
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受等．（答案不唯一）
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题;
20．(2018•山西）2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号\"列车时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西\"全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号\"列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号\"G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】34 ：方程思想；522：分式方程及应用．
【分析】设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时，则“和谐号”列车的行驶时间需要x小时,根据速度=路程÷时间结合“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时,则“和谐号”列车的行驶时间需要x小时，
根据题意得：
=+40,
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2018年山西省中考数学试卷(含答案解析版)
解得：x=，
经检验，x=是原分式方程的解， ∴x+=．
答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．（2018•山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子:请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得
AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D,使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y’，作Y'Z∥CA，交BD于点Z',并在AB上取一点A’，使Z'A'=Y’Z’．第三步，过点A作AZ∥A’Z',交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点
Y，再过点Y作YX∥ZA,交AC于点X．
则有AX=BY=XY． 下面是该结论的部分证明:
证明：∵AZ∥A'Z’，∴∠BA'Z’=∠BAZ， 又∵∠A’BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'~△BAZ．
∴
同理可得
． ．∴
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．
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∵Z’A’=Y'Z'，∴ZA=YZ．
任务：（1)请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；
(2）请再仔细阅读上面的操作步骤,在(1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程; （3)上述解决问题的过程中,通过作平行线把四边形BA'Z'Y’放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 D（或位似） ． A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【考点】SO：相似形综合题． 【专题】152:几何综合题．
【分析】（1）四边形AXYZ是菱形．首先由“两组对边相互平行的四边形是平行四边形”推知四边形AXYZ是平行四边形，再由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得结论；
(2）利用菱形的四条边相等推知AX=XY=YZ．根据等量代换得到AX=BY=XY． （3）根据位似变换的定义填空．
【解答】解：（1）四边形AXYZ是菱形． 证明:∵ZY∥AC,YX∥ZA， ∴四边形AXYZ是平行四边形． ∵ZA=YZ，
∴平行四边形AXYZ是菱形．
(2）证明：∵CD=CB， ∴∠1=∠3．
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2018年山西省中考数学试卷(含答案解析版)
∵ZY∥AC, ∴∠1=∠2． ∴∠2=∠3． ∴YB=YZ．
∵四边形AXYZ是菱形， ∴AX=XY=YZ． ∴AX=BY=XY．
（3）通过作平行线把四边形BA’Z’Y’放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，此时四边形BA'Z'Y'∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换． 故答案是：D（或位似）．
【点评】考查了相似综合题型，掌握菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，位似变换，位似图形的两个图形必须是相似形．
22．（2018•山西）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB,连接DE,交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系． 探究展示:勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法: 证明：∵BE=AB,∴AE=2AB． ∵AD=2AB,∴AD=AE．
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC． ∴
．(依据1)
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2018年山西省中考数学试卷(含答案解析版)
∵BE=AB，∴．∴EM=DM．
即AM是△ADE的DE边上的中线， 又∵AD=AE，∴AM⊥DE．(依据2) ∴AM垂直平分DE． 反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答，不必证明； （2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明； 探索发现：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．
【考点】LO：四边形综合题． 【专题】15 ：综合题．
【分析】（1）①直接得出结论； ②借助问题情景即可得出结论;
（2）先判断出∠BCE+∠BEC=90°，进而判断出∠BEC=∠BCG,得出△GHC≌△CBE，
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2018年山西省中考数学试卷(含答案解析版)
判断出AD=BC，进而判断出HC=BH,即可得出结论;
（3）先判断出四边形BENM为矩形，进而得出∠1+∠2=90°，再判断出∠1=∠3，得出△ENF≌△EBC，即可得出结论．
【解答】解：(1）①依据1：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．
依据2:等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）．
②答:点A在线段GF的垂直平分线上． 理由:由问题情景知，AM⊥DE, ∵四边形DEFG是正方形， ∴DE∥FG，
∴点A在线段GF的垂直平分线上．
(2)证明：过点G作GH⊥BC于点H,
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上， ∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°， ∴∠BCE+∠BEC=90°． ∵四边形CEFG为正方形, ∴CG=CE,∠GCE=90°, ∴∠BCE+∠BCG=90°． ∴∠2BEC=∠BCG． ∴△GHC≌△CBE． ∴HC=BE，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC．
∵AD=2AB，BE=AB，
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∴BC=2BE=2HC， ∴HC=BH．
∴GH垂直平分BC．
∴点G在BC的垂直平分线上．
（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上)． 证法一：过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N． ∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上， ∴∠CBE=∠ABC=90°, ∴四边形BENM为矩形． ∴BM=EN，∠BEN=90°． ∴∠1+∠2=90°．
∵四边形CEFG为正方形， ∴EF=EC，∠CEF=90°． ∴∠2+∠3=90°． ∴∠1=∠3．
∵∠CBE=∠ENF=90°， ∴△ENF≌△EBC． ∴NE=BE．∴BM=BE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC．
∵AD=2AB，AB=BE． ∴BC=2BM． ∴BM=MC．
∴FM垂直平分BC．
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∴点F在BC边的垂直平分线上．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．
23．(2018•山西）综合与探究 如图，抛物线y=
x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴
交于点C，连接AC,BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E,交BC于点F．
(1)求A，B，C三点的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q,使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值．
【考点】HF：二次函数综合题． 【专题】15 ：综合题． 【分析】(1）解方程二次函数值得C点坐标；
（2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x﹣4，则可设Q（m，m﹣4)（0＜m＜4)，讨论：当CQ=CA时，则m2+（m﹣4+4）2=52，
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x﹣4=0得A（﹣3,0）,B（4，0），计算自变量为0时的
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当AQ=AC时,（m+3）2+（m﹣4)2=52；当QA=QC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52，然后分别解方程求出m即可得到对应的Q点坐标；
（3）过点F作FG⊥PQ于点G，如图，由△OBC为等腰直角三角形．可判断△FQG为等腰直角三角形,则FG=QG=FQ，再证明△FGP～△AOC得到所以PQ=
FQ，于是得到FQ=
=
，则PG=
FQ，
PQ，设P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜4），则Q（m，
（﹣m2+m）,然后利用二次函数的性质解决
m﹣4）,利用PQ=﹣m2+m得到FQ=问题．
【解答】解：（1)当y=0，∴A（﹣3，0），B（4，0）， 当x=0,y=
x﹣4=﹣4，
x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=4，
∴C(0，﹣4）； （2）AC=
=5，
易得直线BC的解析式为y=x﹣4， 设Q（m，m﹣4）（0＜m＜4)，
当CQ=CA时,m2+(m﹣4+4)2=52，解得m1=﹣4）；
当AQ=AC时,（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m1=1，m2=﹣0（舍去），此时Q点坐标为（1，﹣3)；
当QA=QC时，（m+3）2+(m﹣4)2=52，解得m=（舍去)， 综上所述，满足条件的Q点坐标为（
，m2=﹣(舍去）,此时Q点坐标为(，
,﹣4）或（1，﹣3）；
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（3)解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图，
则FG∥x轴．由B(4,0)，C（0，﹣4）得△OBC为等腰直角三角形． ∴∠OBC=∠QFG=45°． ∴△FQG为等腰直角三角形， ∴FG=QG=FQ， ∵PE∥AC，PG∥CO， ∴∠FPG=∠ACO， ∵∠FGP=∠AOC=90°， ∴△FGP～△AOC． ∴
=
，即
=
, FQ，
FQ，
∴PG=FG=•FQ=∴PQ=PG+GQ=∴FQ=
PQ，
FQ+FQ=
设P（m,m2﹣m﹣4）（0＜m＜4），则Q(m,m﹣4）, ∴PQ=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+m， ∴FQ=
（﹣m2+m）=﹣(m﹣2）2+
∵﹣＜0， ∴QF有最大值．
∴当m=2时，QF有最大值．
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【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
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