（闽江学院
数学与数据科学学院，福建
福州
350108）
摘要：分段函数在分段点处可导性问题是高等数学教学上的重点和难点，给出函数在分段点处可导的一个充分条件，利用它来研究分段点处的可导性要比用定义简便很多。
关键词：分段函数；分段点；可导性中图分类号：O172.1
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2020）04-0150-02
在高等数学中，分段函数在分段点处可导性问题
x0+δ）
内可导，且limf（忆x）存在，则（fx）在点x是教学上的重点，也是学生学习的一个难点.通常教材[1]x+
0处存在右x→0
上，要求利用导数的定义与可导的充要条件即“左右导数且
导数存在且相等”来讨论分段点处可导性问题.但在实f忆（+x0）
=limf（忆x）.x→x+
0
际学习中，不少学生不愿使用这种方法，而是采用了证明：（1）任取x∈（x类似例1的“简便方法”.
0-δ，x0），则（fx）在［x，x0］上满例1嗓讨论
足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ∈（x，x0），使得
2（fx）=
-x，x≥1f（忆ξ）=
（fx0）-f（x）
xx，x＜1
x.
0-x
由于ξ∈（x，x--在点x=1处的可导性..
0），所以当x→x0时，ξ→x0.于是有某学生解法：
当x＞1时，f（忆x）=2x-1，则f忆（f忆（-f（x0）-x=lim（fx）0）
-=limf（忆ξ）=f（忆x-+1）
=（2x-1）x=1=1；x→x0
x-xξ→x-0），
00
当x＜1时，f（忆x）=1，则f忆（-1）
=1.即（fx）在点x0处存在左导数且f忆（-x0）
=limf（忆x）.x→x-
0
所以，f忆（+1）=1=f忆（-1），故（fx）在点x=1处可导且f忆（2）同理可得.
1）=1.
由定理1及可导的充要条件，容易得到
事实上，由（fx）在点x=1处不连续知（fx）在点x=1处推论（导数极限定理）[2]设函数（fx）在点x不可导.因此，该学生的做法是不正确的.
0的某但是，这种先求出分段点左右两侧的导函数，再邻域U（xo0）连续，在去心邻域U（x0）内可导，且limx→xf忆（x）
0
将分段点代入作为分段点处的左右导数的“简便方存在，则（fx）在点x0处可导且
法”在一定条件下还是可行的.为此，我们需要探讨函数在一点的可导性与在该点的去心邻域内的导函数f忆（
x0）=limx→xf（忆x）.0
的关系.
利用以上定理结论来研究分段点处的可导性，要定理（1）设函数（fx）在点x0处左连续，在x0的左比用定义简便很多.下面我们来看几个实例.
邻域（x0-δ，x0）内可导，且lim-
f（忆x）存在，则（fx）在点xx→x00
例2设（fx）=姨1+xx-姨1-x，
-1＜x＜0，求f′（0）处存在左导数且
e-cosx，x≥0.
f忆（-x0）
=limf（忆x）；解
∵（f0-嗓
）=lim（x→x-
姨 1+x-姨
-
1-x）=0，（f0+）=limx→0x→0+
0
（2）设函数（fx）在点xx0处右连续，在x0的右邻域（x0，
（e-cosx）=0，
∴（f0-）=f（0+）=0=f（0），故（fx）在点x=0处连续.
收稿日期：2019-04-19
基金项目：福建省中青年教师教育科研项目（JAT170463）
作者简介：林志宝（1977-），福建福州人，闽江学院数学与数据科学学院讲师。
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.com.cn. All Rights Reserved.（2020年1月教育教学论坛Jan.2020第4期EDUCATIONTEACHINGFORUMNo.4当-1＜x＜0时需注意定理的条件是充分而非
蓸，f（忆x）=
1
2姨 1+x+
1
和实用显而易见，但2姨1-x必要的，当limf（忆x）或limf（忆x）不存在时，不能用该定理
x→x-
0
x→x+
0
lim1+1
-f（忆x）=lim来判定.此时f′（x0）可能存在，也可能不存在，必须用x→0x→0-
2根据定理，所以姨 1+x2f忆（姨 1-x=1存在，导数定义去研究。
-0
）=limf′（x）=1；x→0-
蔀 ，
便扇设
21
（x）=ex+sinx，（x）=lim（ex+sinx）=1
例4
函数f（x）=
设xsin
当x＞0时，f忆limf忆缮设设设x，x≠0、g（x）=x→0+
x→0+
墒
设设设0，x=0
存在，
扇设所以f忆（设xsin
1
+0）
=limf′（x）=1；缮设设x，x≠0x→0+
设在点x=0处连续，当x≠0时，于是f忆（墒
设设设0，x=0
-0）=f′（+0）=1，因此（fx）在点x=0处可导，且f′（0）=1.
例3设（fx）=嗓f忆（
x）=2xsin1x-cos1x，g（忆x）=sin111
x3x-xcosx
.+a，x≤1由于f（忆x）、g（忆x）在点x=0处的左、右极限都不存bln（ex），x＞1
在点x=1处可导，求常
在，故不能使用定理.我们改用导数定义来讨论：
数a、b.
解由（fx）在点x=1处可导，知（fx）在点x=1处连因为lim（fx）-f（0）x→0x-0=limx→0xsin1
x
=0，所以（fx）在点
续，于是
x=0处可导，且f′（0）=0；
（f1-）=f（1+）=f（1），
因为limg（x）-g（0）即1+a=b.
x→0x-0=limx→0sin1
x
极限不存在，所以g
当x＜1时，f（忆x）=3x2，f忆（=limf′（x）（x）在点x=0处不可导.-1）
=3；x→1-
参考文献：
当x＞1时，f（忆x）=b·1b
[1]同济大学数学系.高等数学(第六版).北京:高等教育出版ex·e=x，f忆（+1
）=lim+
f（忆x）=b；x→1社,2007.
因（fx）在点x=1处可导，则f忆（[2]华东师范大学数学系.数学分析(第四版).北京:高等教育出-1）=f忆（+1
），得b=3.再由1+a=b，可得a=2.
版社,2010.
运用上述定理在判定分段点处可导性方面的简
RemarksontheDerivabilityatthePiecewisePointoftheFunction
LINZhi-bao
(CollegeofMathematicsandDataScience,MinjiangUniversity,Fuzhou,Fujian350108,China)
Abstract:TheproblemofthederivabilityatthepiecewisepointofthepiecewisefunctionisthekeyanddifficultpointintheteachingofHigherMathematics.Asufficientconditionforafunctiontobederivableatapiecewisepointisgiven,anditismuchsimplertouseittostudythederivabilityatthepiecewisepoint.
Keywords:piecewisefunction;piecewisepoint;derivability
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