(人教版)初中数学《三角形》经典例题题目

初中数学《三角形》经典例题

1、如下几个图形是五角星和它的变形． （1）图（1）中是一个五角星，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．

（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化。说明你的结论的正确性．

（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1），求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化。说明你的结论的正确性． AAA

D

DEP

CCCBBB 图4 图2 图3 2、（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°

（2）延伸探究：

6、已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）

（2）如果图中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．（直接写出结论即可）

变式、（1）已知：如图1，△ABC中，D是AB上除顶点外的一点.， 求证：AB+AC>DB+DC；（2）已知：如图2，△ABC中，D为AB边上一点，求证：AB+AC≥DB+DC;

1（3）如图3，点P为△ABC内任一点，求证：PA+PB+PC>(AB+BC+AC);

2（4）如图4，D、E是△ABC内的两点，求证：AB+AC>BD+DE+EC.

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BAD图1C实用标准文档

变式.如图，（1）在图（1）中，猜想：A1

B1C1A2B2C2 度；

A1A2A1C1A2D2D1A1B1B2A2A1E2E1B1B2B1C2C1B2F2F1E2E1A2KB1

C2B2DC22D1C1第26题(3)CC12D2D1 第26题(1)（2）试说明你猜想的理由.

第26题(2)第26题(4)（3）如果把图1称为2环三角形，它的内角和为A1图2称为2环四边形，它的内角和为A1B1C1A2B2C2；

B1C1D1A2B2C2D2； B1C1D1E1A2B2C2

图3称为2环5五边形，它的内角和为A1D2E2…………请你猜一猜，2环n边形的内角和为 度（只要求直接写出结论）

1、如图甲，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC． （1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE= ； （2）若∠C﹣∠B=30°，则∠DAE= ；

（3）若∠C﹣∠B=a（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含a的代数式表示）；

（4）如图乙，当∠C＜∠B时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负．例如：∠DAE=﹣18°，则∠EAD=18°，作出上述规定后，上述结论还成立吗？ _________ ；若∠DAE=﹣7°，则∠B﹣∠C= _________ °． 2、已知：如图1，△ABC中，∠B＞∠C，AD是△ABC的角平分线，点P是AD上的一点，过点P画PH⊥BC于H

（1）求证：∠DPH=（∠B﹣∠C）；

（2）如图2，当点P是线段AD的延长线上的点时，过点P画PH⊥BC于H，上述结论任然成立吗？请你作出判断并加以说明．

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3、如图，AE、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，求证：∠1=∠2．

1、问题1

如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点． 研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是 _________ 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA和∠A的数量关系是 _________ 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由． 猜想： _________ 理由 问题2 研究（4）：将问题1推广，如图，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 _________ ．

1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E． （1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；

（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．

2、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，P为BC上一点，设∠CDP=α，∠CPD=β，当点P在BC上移动时，猜想α，β与∠B的关系，并说明理由．

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3、如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题： ①求证：∠P=∠1+∠A+∠2；

②如图2，利用上面的结论，你能求出五角星五个“角”的和吗？

③如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、 ∠5、∠A之间有什么等量关系，并说明理由．

4、如图、CE为△ABC外角∠ACD的角平分线，CE交BA的延长线于点E。 （1）试判断∠BAC与∠B的大小关系。 （2）若∠B=30°，∠BAC=80°，求∠E的度数。

E

A

DB C

5、如图、在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点E是AD上一点，试说明∠BED＞∠C。

AEBD C

1、（1）已知△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且BO、CO相交于点O，试探索∠BOC与∠A之间的数量关系，并说明理由．

（2）已知BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，BO、CO相交于O，试探索∠BOC与∠A之间的数量关系，并说明理由．

P E A A A

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P B M

①

P C N

B C

H

B M

C H

N ③

②

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（3）已知：BD为△ABC的角平分线，CO为△ABC的外角平分线，它与BO的延长线交于点O，试探索∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．

2、如图，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q-∠A1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．

3、如图（1）所示，一副三角板中，含45°角的一条直角边AC在y轴上，斜边AB交x轴于点G．含30°角的三角板的顶点与点A重合，直角边AE和斜边AD分别交x轴于点F、H． （1）若AB∥ED，求∠AHO的度数；

（2）如图2，将三角板ADE绕点A旋转．在旋转过程中，∠AGH的平分线GM与∠AHF的平分线HM相交于点M，∠COF的平分线ON与∠OFE的平分线 变式：已知如图，△ABC

(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，点E是外角∠MBC，∠BCN的角平分线的交点。 (2)如图②，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，点E是∠ABC和外角∠ACH的角平分线的交点。 (3)如图③，若P点是∠ABC和外角∠ACH的角平分线的交点，点E是外角∠MBC，∠BCN的角平分线的交点。 请猜测三种情况下，∠BPC与∠E的数量关系，并选择其中一种情况说明理由。

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FN相交于点N．

①当∠AHO=60°时，求∠M的度数；

②试问∠N+∠M的度数是否发生变化？若改变，求出变化范围；若保持不变，请说明理由．

4、如图1，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y轴交于点C． （1）若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；

（2）如图2，延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度数； （3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A=40°，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．

5、如图：在直角坐标系中，已知B（b，0），C（0，c），且|b+3|+（2c﹣8）=0． （1）求B、C的坐标；

（2）点A、D是第二象限内的点，点M、N分别是x轴和y轴负半轴上的点，∠ABM=∠CBO，CD∥AB，MC、NB所在直线分别交AB、CD于E、F，若∠MEA=70°，∠CFB=30°．求∠CMB﹣∠CNB的值； （3）如图：AB∥CD，Q是CD上一动点，CP平分∠DCB，BQ与CP交于点P，给出下列两个结论：①

的值不变；②

的值不变．其中有且只有一个是正确的，请你找出这个正确的

2

结论并求其定值．

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5、如图，AF平分∠EAC，PB平分∠GBC．求∠Ｄ，∠Ｃ，∠Ｐ的关系．

BE

F HA

G

DC

6、在△ABC中

（1）如图①，∠A=60°，∠B、∠C的平分线交于点P，求∠BPC的度数．

（2）如图②，∠A=60°，∠B、∠C的三等分线交于点P（∠1=∠ABC，∠2=∠ACB），求∠BPC的度数．

（3）如图③，∠A=x°，∠B、∠C的n等分线（n≥3）交于点P，求∠BPC的度数．

7、如图，在△ABC中，∠B＜∠C＜∠A，∠BAC和∠ABC的外角平分线AE、BD分别与BC、CA的延长线交于E、D．若∠ABC=∠AEB，∠D=∠BAD．求∠BAC的度数．

8、如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．

（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；

（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，

问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．

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9.平面直角坐标系中，OP平分∠xoy，B为Y轴正半轴上一点，D为第四象限内一点，BD交x轴于C，过D作DE∥OP交x轴于点E，CA平分∠BCE交OP于A。 ⑴若∠D=75º，如图1,求∠OAC的度数；

⑵若AC、ED的延长线交于F，如图2,则∠F与∠BCO是否具有某种确定的相等关系？请写出这种关系，并证明你的结论。

⑶∠BDE的平分线交OP于G,交直线AC于M,如图3,以下两个结论:①∠GMA=∠GAM;②定值,其中只有一个结论是正确的,请确定正确的结论,并结出证明. y 2OGDOED为

OACAPyBBAPyMPGo

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