例说二项式定理的常见题型及解法

二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。

一、求二项展开式

1．“(ab)”型的展开式

n例1．求(3x1x4)4的展开式；

解：原式=(3x1(3x1)4)=

x2x

101234432[(3x)(3x)(3x)(3x)] CCCC2C44444x1432 =2(81x84x54x12x1)

x1212 =81x84x254

xx=

小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2． “(ab)”型的展开式

n 例2．求(3x1x)4的展开式；

1x1x分析：解决此题，只需要把(3了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算13解：原式=

0x)4改写成[3x()]4的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察

nnCn9Cn27Cn....(1)3cn；

1233123n123nnn (3)(3)(3)....(3)(13)(2)CnCnCnCnCn小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。 二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素 例4．已知(ax99)的展开式中x3的系数为，常数a的值为 x24r3r9解：Tr1r9axC()9r()rC9r(1)r22a9rx2

x2选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 令

3r93，即r8 28C9(1)824a98依题意，得

9，解得a1 42．确定二项展开式的常数项 例5．(x31x)10展开式中的常数项是 解：Tr1C(x)r1010r(31x)(1)Cxrrr1055r6

令55r0，即r6。 666C10210 所以常数项是(1)

3．求单一二项式指定幂的系数

例6．（03全国）(x解：Tr119)展开式中x9的系数是 ； 2x1111rrrC9(x2)9r()r=C9x182r()r()r=C9()rx183x

2x2x22 令183x

39,则r3，从而可以得到x9的系数为：

132121，填 ()C92222三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数 例7．(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中，x2的系数等于 2解：x的系数是四个二项展开式中4个含x的，则有 C2(1)001230123C3(1)1C4(1)2C5(1)3(C2C3C4C5)20

（x 例8．（02全国）

321)(x2)7的展开式中，x3项的系数是 ；

解：在展开式中，x的来源有：

① 第一个因式中取出x，则第二个因式必出x，其系数为

32C66； (2)747② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出x，其系数为

64C(2)4

x3的系数应为：C7(2)6C7(2)41008,填1008。

四、利用二项式定理的性质解题 1． 求中间项

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 例9．求（

x3r1x)10的展开式的中间项；

1x1x解：Tr1C10(x)10r(356)r,展开式的中间项为C10(x)5(35)5

即：252x。

当n为奇数时，(ab)的展开式的中间项是

nnCn12nn2nan12bn12和

Cn12nan12bn12；

当n为偶数时，(ab)的展开式的中间项是2． 求有理项 例10．求(Cabn2n2。

x3r1x)10的展开式中有理项共有 项；

解：Tr1C10(r)10r(31x)C10(1)xrrr104r3

当r0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。

① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；

② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。 3． 求系数最大或最小项

（1） 特殊的系数最大或最小问题

例11．（00上海）在二项式(x1)的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：Tr111C11x11r(1)r

r

5r5要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C为最大，由此得r5，从而可知最小项的系数为C(1)462

1111（2） 一般的系数最大或最小问题 例12．求(x124x)8展开式中系数最大的项；

解：记第r项系数为Tr，设第k项系数最大，则有

TkTk1r1r1 又TrC.2，那么有 8TkTk1k1k1k2C8.2k2C8.2 k1k1kkC8.2C8.2

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 8!8!2(k1)!.(9K)!(K2)!.(10K)! 即

8!8!2K!(8K)!(K1)!.(9K)!21K2 K1219KK解得3k4，

系数最大的项为第3项T37x（3） 系数绝对值最大的项 例13．在（x52和第4项T47x72。

y)7的展开式中，系数绝对值最大项是 ；

n解：求系数绝对最大问题都可以将“(ab)”型转化为\"(a故此答案为第4项

2534C7xy，和第5项C7xy。 45b)n\"型来处理，

五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和 例14．若(2x 则(a03)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，

a2a4)2(a1a3)2的值为 ；

解： (2x 令x 令x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4

1，有(23)4a0a1a2a3a4， 1，有(23)4(a0a2a4)(a1a3)

a1a2a3a4).[(a0a2a4)(a1a3)] 3)4.(23)4

4 故原式=(a0 =(2=(1)1

在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：1,1,0特殊值在解题过程中考虑的比较多。 例15．设(2x1) 则

6a6x6a5x5...a1xa0，

a0a1a2...a6 ；

r分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。 解：Tr1C6(2x)6r(1)r

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 a0a1a2...a6a0a1a2a3a4a5a6

=(a0 =0 六、利用二项式定理求近似值

例16．求0.998的近似值，使误差小于0.001；

分析：因为0.998=(10.002)，故可以用二项式定理展开计算。 解：0.998=(10.002)=16.(0.002) T32661a2a4a6)(a1a3a5)

66615.(0.002)2...(0.002)6

C6.(0.002)215(0.002)20.000060.001，

且第3项以后的绝对值都小于0.001， 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。 0.998=(10.002)小结：由(16616(0.002)=10.0120.988

2nx)n1CnxCnx2...Cnxn，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，x2,x3,....xn等项的绝对值

x)n1nx，在使用这个公式时，要注意按

1都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：(1问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：

(1x)n1nxn(n1)2x。 2 利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。 七、利用二项式定理证明整除问题

例17．求证：51 证明：5151511能被7整除。

1 2)511

125051 =(49 =

05150492505149.49.2.49.2.....49.2.2C51C51C51C51C511

=49P+2511（PN）

1(23)171

17 又251 =（7+1） =

01

121617171615C17.7C17.7C17.7....C17.7C171

 =7Q（QN）

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 515117P7Q7(PQ)

51511能被7整除。

在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二 项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。

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