二阶非对称实矩阵合同的充要条件

第３３卷第５期

COLLEGEMATHEMATICS

大　学　数　学

Vol．３３,№．５

Oct．２０１７

二阶非对称实矩阵合同的充要条件

()合肥工业大学数学学院,合肥２３０００９

摘　要]给出了二阶非对称实矩阵合同判定的充要条件．举例说明此方法简单,实用．　　[

[关键词]非对称实矩阵;合同;对角化

[()中图分类号]O文献标识码]C　　[文章编号]１１７２　　[６７２Ｇ１４５４２０１７０５Ｇ００５２Ｇ０４

周江涛,　孙胜先

１　引　　言

由于非实对称矩阵合同的判定非常复杂,关于非实对称矩阵合同的判定方面的研究较少．]最近文[仅在A给出了判别两非实对称阵A,从文１BB合同的一个充分条件,s,s为正定的前提下,]为便于读者了解本文内容,本文中的记号同文[１．

[]]例中可看出,即使是二阶非对称实矩阵,用文[的方法判定起来也是相当的麻烦．本文在A,１１B为二阶非对称实矩阵的情况下,给出了A,此方法简洁明了．B合同的一个充要条件,

A＋ATA－AT,A＋AT,A－AT,

A＝＋　A　As＝ω＝

２２２２

并用记号A≃B表示A与B合同,AA|A|表示A的行列式．s为A的对称部分,ω为A的反对称部分,

２　主要定理及证明

引理１　若A≃B,则ABABs≃s,ω≃ω．

PTAsP－BBPTAωP,s＝ω－

等式的左边为对称而右边为反对称,从而有PT此引理为A,AsP＝BPTAωP＝BB合同的必要而非充s,ω．分条件．

é０aù

ú,引理２　P为二阶实矩阵,则有A＝êa为正实数,êúë－ûa０

A,|P|＝１,

PTAP＝

－A,|P|＝－１．

证　A＝A若有PT则AB＝BBAP＝B,s＋ω,s＋ω,

{

x１２ùéxú证　设P＝ê则xi＝１,２,３,４),i为实数(êú,ëxx３４û

a|P|ùA,|P|＝１,é０úPTAP＝ê＝êú

ë－a|P|０û－A,|P|＝－１．

{

收稿日期]２修改日期]　[０１７Ｇ０７Ｇ２５;　[２０１７Ｇ０９Ｇ１３

)基金项目]合肥工业大学«线性代数»平台课程优化建设项目(　[KCWT１６１０

,:作者简介]周江涛(男,讲师,从事运筹决策方向研究．　[１９７８－)Emailcarlzhou２７＠aliun．comy,:通讯作者]孙胜先(男,副教授,从事矩阵理论研究．　[１９６３－)Email１１６５５４１０＠q．comq

第５期　　　　　　　　　　　　周江涛,等:二阶非对称实矩阵合同的充要条件同的正负特征值个数．

５３

[]２

引理３则A,即相　若A,B为n阶实对称阵,B合同的充要条件为A,B有相同的正负惯性指数,[]２引理４则有正交阵P满足　若A为n阶实对称阵,

λéê１

êλ２

PTAP＝Λ,　Λ＝ê

êêë

其中λi为A的特征值．

ùú

úú,

⋱ú

úλnû

aùλbù１３éλéúêú,定理１　设矩阵A＝ê则A,B＝a,b为正实数,B合同的充要条件为As合同êúêú,

ë－ë－aλbλ２û４û

２２

于Bs且bλλaλλ１２＝３４．B合同的充要条件为方程组

xx１２ùéTêú,,,,证　先证必要性．合同的充要条件为存在可逆阵满足设则得A,ABPPAP＝BP＝êú

ëxûx３４

２２

λxλxλì１１＋２３＝３,ïïλxxλxx０,ï１１２＋２３４＝í２

２

ïλxλxλ１２＋２４＝４,ïîa(xxxx＝b．１４－２３)

２２２２

(λλλxλxλxλx３４＝(１１＋２３)１２＋２４)

２２

＝(λxxλxxλλxxxx１１２＋２３４)＋１２(１４－２３)

有解,由此得

２b＝２λλ１２,a２２

即b又由引理１知A从而必要性得证．λλaλλ１２＝３４．s必合同于Bs,

é３

êλ１êλ()取C＝êiλλ０,λλ０,１３＞２４＞

ê０êë

λ０ùλ０ù１３éé

êúêú下证充分性．由于A合同于即合同于可分以下几种情况证明．Bssêúêúë０λûëû０λ２４

ù

０ú

úT则有CAC＝B．ú,λ４ú

úλ２û

éê０

ê

()取C＝êiiλλ０,λλ０,１４＞２３＞

λ３ê－êëλ２éê０ê

()取C＝êiiiλλ０,λλ０,１＝４＝２３＞

λ３êêëλ２

λ４ùú

λ１úT则有CAC＝B．ú,０úúûbλ２ùú－

aλ３úT则有CAC＝B．ú,ú０úû

ù０ú

úT则有CAC＝B．ú,λ４ú

úλ２û

é２

êbλ４êaλ()取C＝êivλλ０,λλ０,１＝３＝２􀅰４＞

êê０ëé

êbêa(),取vλ＝λ＝λ＝λ＝０C＝１２３４ê

ê０êë

ù

０ú

úT则有CAC＝B．ú,búúaû

５４大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　　　第３３卷

))显然(中C均为可逆阵,从而充分性得证．i~(v定理２　若A,设B为二阶非对称实矩阵,

０aù０bùééêúêú,A　B＝ω＝êωúêú,

ë－ë－a０ûb０û

２２

则A,B合同的充要条件为As≃BaBs且bAs＝s．

证　因为

aùé０aùé０－úú,即ê正交合同于ê故不妨设a＞０,又由于A由引理２,引理４b＞０,Bs,s均为实对称阵,êúêúë－ûëûa０a０知存在正交阵P,Q满足

r１↔２０aùréêú~êúë－a０ûc１↔２－a０ùcéêú~êë０aúû

０－aùéêú,êëa０úû

λ０ùé０aùéλaù１１é

úêúêú,PTAP＝ê＋＝êúêúêúë０λë－a０ûë－aλ２û２ûλ０ùé０bùéλbù３３é

êúêúêú,B＝＋＝QQêúêúêúë０λûëûëû－b０－bλ４４

T其中λ由定理１知存在可逆阵C,使得λλλB１,２,３,４分别为As,s的特征值．由此得

CT(PTAP)C＝QTBQ,

T令D＝P则有DT而D显然可逆,所以A合同于B．CAD＝B．Q,

T(CTPT)A(PC＝B．QQ)

]下面以文[中的两个例子来说明本文判别法的实用性．１é１４ùé１６ùúú例１　判断矩阵A＝êêú与B＝êêú是否合同．

ë０１ûë０１û

因为

B不合同．

２２２２

所以A与A３,B８,a＝２,b＝３,bA７,aB２,bAaBs＝－s＝－s＝－２s＝－３s≠s,

１２ù０２ù１３ù０３ùéééé

êúêúêúêú,,,,A　A　B　As＝êω＝ês＝êω＝êúúúë２１ûë－２０ûë３１ûë－３０úû

此例也说明了即使A但A,BABB却不一定合同．s≃s,ω≃ω,

é８２ù０２＋２ùé１ê１ú是否合同．ú例２　判断矩阵A＝ê与B＝êúêúë２２ûë２－２２û１８２ù０２ùéé

êúêú,,解　A　A＝　a＝２,s＝êωúêë２２ûë－２０úûé１０２ùéê０êú,　　B＝　B＝sωêêë２２úûë－２２２

显然A所以A所以A,BBaB６４,B合同．s,s正定,s,s合同．而bAs＝s＝

２ùú,　b＝２．ú

０û

３　结　　论

由以上例子可看出,本文关于两矩阵合同的判别方法,简单实用．但在二阶矩阵前提下才成立的引理２是本文结论的关键．对于三阶及三阶以上的矩阵,很难建立类似的结论,在一些特定的条件下,可]以建立判别两矩阵合同的充分条件．文[就是在矩阵A给出了A,１BB合同的充分s,s均正定的前提下,条件．

第５期　　　　　　　　　　　　周江涛,等:二阶非对称实矩阵合同的充要条件

[参　考　文　献]

[]]():等．非对称实矩阵合同的条件[大学数学,１　李成博,J．２０１５,３１４７９－８２．

[]吴泉水,谢启鸿．高等代数学[上海:复旦大学出版社,２　姚慕生,M]．３版．２０１４:３６２－４２９．

５５

[]线性代数及其应用[北京:科学出版社,３　天津大学数学系代数教研组．M]．２０１０:２５３－２５４．

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