主讲：刘一鹤
1、如果方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1·x2= 。
2
2、已知x1、x2是方程2x+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1·x2= ；
11 ；x1x2x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；｜x1－x2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。 4、如果关于x的一元二次方程x5、如果关于x的方程x
2
2
+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a的值为 。
+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
2
6、已知方程2x+mx－4=0两根的绝对值相等，则m= 。
2
7、一元二次方程px+qx+r=0(p≠0)的两根为0和－1，则q∶p= 。
2
8、已知方程x－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
22
9、已知关于x的一元二次方程(a－1)x－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x的一元二次方程mx11、已知方程3x
2
2
－4x－6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=－2，则m= ，(x1+x2)
x1x2= 。
+x－1=0，要使方程两根的平方和为
13，那么常数项应改为 。 912、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。 13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)
2
=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系
数为1)
22
14、已知关于x的一元二次方程x－2(m－1)x+m=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
2
15、已知方程x+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
2
16、已知关于x的方程x－3x+k=0的两根立方和为0，则k=
17、已知关于x的方程x
2
－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2，且
113，则m= 。 x1x2418、关于x的方程2x
－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负
根；当m 时，方程有一个根为0。
22
19、若方程x－4x+m=0与x－x－2m=0有一个根相同，则m= 。
2
20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为 。
22
21、一元二次方程2x－3x+1=0的两根与x－3x+2=0的两根之间的关系是 。
2
22、已知方程5x+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。
23、已知2+
2
3是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。
2
24、证明：如果有理系数方程x
+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数(A、B均为有理数)，
那么另一个根必是A－B。
25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大
(1)x23x50,(2)x22630
26、已知x1和x2是方程2x
2
－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x31x2+x1x32
27、已知x1和x2是方程2x
2
－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
11 2x1x2228、已知x1和x2是方程2x29、已知x1和x2是方程2x
2
－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(x21－x22)2 －3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x1－x2
2
2
x2230、已知x1和x2是方程2x－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x131、已知x1和x2是方程2x
2
－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x51·x22+x21·x52
32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+
6和2－6。
33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。 34、造一个方程，使它的根是方程3x
－7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数。
2
35、方程x+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。
36、已知关于x的方程2x
2
2
－(m－1)x+m+1=0的两根满足关系式x1－x2=1，求m的值及两个根。
2
37、α、β是关于x的方程4x38、已知一元二次方程8x
2
－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足(1)(1)19，求m的值。 100－(2m+1)x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m的值：
(1)两根互为倒数； (2)两根互为相反数； (3)有一根为零； (4)有一根为1； (5)两根的平方和为
39、已知方程x
2
1。 64+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。
22
40、已知关于x的二次方程x－2(a－2)x+a－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍， 求a的值。
2
41、已知方程x+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c的值。
2244
42、设：3a－6a－11=0，3b－6b－11=0且a≠b，求a－b的值。
2
43、试确定使x+(a－b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值。
2
44、已知一元二次方程(2k－3)x+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求 当k取何整数时，方程有两个整数根。
222
45、已知：α、β是关于x的方程x+(m－2)x+1=0的两根，求(1+mα+α)(1+mβ+β)的值。
46、已知x1,x2是关于x的方程x
2
+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。，
2
47、已知x1、x2是关于x的方程x
+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2
－y2=2，求m、n的值。
48、关于x的方程m
22
x+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。求a的整
数值。
22
49、关于x的一元二次方程3x－(4m－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。
2
50、已知：α、β是关于x的二次方程：(m－2)x+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根。 (1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值； (2)若α2+β2=6时，求m的值。
22
51、已知关于x的方程mx－nx+2=0两根相等，方程x－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。
求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。
52、关于x的方程x212mxn2=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。
4(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；
(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。
53、已知关于x的一元二次方程x
2
+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2)，在数轴上，
表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。
+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0
有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。
2222
55、如果关于x的实系数一元二次方程x+2(m+3)x+m+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)+(β－1)的最小值是多少
22
56、已知方程2x－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0)。求 证：对任意实数k，方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0恒有实数根。
54、已知关于x的一元二次方程ax57、(1)方程x
2
2
－3x+m=0的一个根是2，则另一个根是 。
(2)若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满足 。 58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 x2+3x+1=0；
59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 3x2－2x－1=0；
60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 －2x2+3=0；
2
61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积2x+5x=0。
2
62、已知关于x的方程2x+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m的值。
2
63、已知关于x的方程3x－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t的值。
64、设x1，x2是方程3x
2
－2x－2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x1－4)(x2－4)；(2)x13x24+x14x23；(3)x11133
；(4)x+x。 x1223x3x2165、设x1，x2是方程2x66、已知方程x
2
2
－4x+1=0的两个根，求｜x1－x2｜的值。
+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7， 求m和n的值。
67、以2，－3为根的一元二次方程是 ( )
+x+6=0 +x－6=0 －x+6=0 －x－6=0
68、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是 ( ) －2x+3=0 +2x－3=0 －6x－9=0 +6x－9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( ) +2x－3=0 －2x+3=0 +2x+3=0 －2x－3=0
70、以－3，－2为根的一元二次方程为 ，以
3131，为根的一元二次方程为 ， 22以5，－5为根的一元二次方程为 ，以4，
1为根的一元二次方程为 。 471、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。 72、已知方程2x
2
－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：
(1)a++1(2)
2b2a, ab
72
73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为2cm，求这个直角三角形斜边的长 。
74、在解方程x
+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程
的根应该是什么
2
75、关于x的方程x－ax－3=0有一个根是1，则a= ，另一个根是 。
2
x22x376、若分式的值为0，则x的值为 ( )
x1A.－1 C.－1或3 D.－3或1
2
77、若关于y的一元二次方程y+my+n=0的两个实数根互为相反数，则 ( ) =0且n≥0 =0且m≥=0且n≤0 =0且m≤0
78、已知x1，x2是方程2x
2
+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(2x1－3)(2x2－3)；(2)x13x2+x1x23。
=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。
2
80、如果x=1是方程2x－3mx+1=0的一个根，则m= ，另一个根为 。
79、已知a81、已知m
22
+m－4=0，
1111，m，n为实数，且，则= 。 40mmn2nnn82、两根为3和－5的一元二次方程是 ( )
－2x－15=0 －2x+15=0 +2x－15=0 +2x+15=0
83、.设x1，x2是方程2x
2
－2x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x12+2)(x22+2)；(2)(2x1+1)(2x2+1)；(3)(x1－x2)2。
－2x－5=0的两个实数根，求2m2+3n2+2m的值。
2
85、已知方程x+5x－7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数。
22
86、已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1，求证：2b=9ac。
2
87、.已知关于x的一元二次方程x+mx+12=0的两根之差为11，求m的值。 88、已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0。(1)证明：不论a取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a为何值时，方程的两根之差的平方等于16
2
89、已知一元二次方程x－10x+21+a=0。(1)当a为何值时，方程有一正、一负两个根(2)此 方程会有两个负根吗为什么 90、已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
84、.已知m，n是一元二次方程x91、已知方程x
2
2
+ax+b=0的两根为x1，x2，且4x1+x2=0，又知根的判别式=25，求a，b 的值。
2
92、已知一元二次方程8y
－(m+1)y+m－5=0。(1)m为何值时，方程的一个根为零(2)m为何值时 ，方程的两个根互为相
反数(3)证明：不存在实数m，使方程的两个相互为倒数。
2
93、当m为何值时，方程3x+2x+m－8=0：(1)有两个大于－2的根(2)有一个根大于－2，另一个 根小于－2
22
94、已知2s+4s－7=0，7t－4t－2=0，s，t为实数，且st≠1。求下列各式的值： (1)
st13st2s3；;(2)。 tt2
95、已知x1，x2是一元二次方程x
+mx+n=0的两个实数根，且x12+x22+(x1+x2)2=3，
225，求m和n的值。 22x1x2
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