角平分线练习题

一、选择题

1.已知：如图1，B E，C F是△ABC的角平分线，B E，CF相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=（ ） A.70° B.120° C.115° D.130°

2.已知：如图2，△ABC中，AB = AC，BD为∠ABC的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°

3.三角形中，到三边距离相等的点是（ ） A.三条高线交点 B.三条中线交点

C.三条角平分线的交点 D.三边的垂直平分线的交点

4.已知P点在∠AOB的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm，那么P点到边OA、OB的距离分别是（ ）

A. 5cm、cm B. 4cm、5cm

C. 5cm、5cm D. 5cm、10cm 5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（ ） A.直角三角形的两个锐角互余 B.等腰三角形的两个底角相等

C.全等三角形的对应角相等 D.相等的两个角是对顶角 6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（ ）cm A. 2、2、2 B.3、3、3

C. 4、4、4 D. 2、3、5

二、填空题

1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题

是 ，它是 命题。

2.角平分线可以看作

是 的点的集合。 3.已知：△ABC中，∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是 cm。

4.命题“如果a = b，那么| a | = | b |”的命题是 ，它是 命题。 三、简答题

1.已知：如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE，∠1=∠2，AD = AC 求证：DC∥AE

2.已知：如图5，△ABC中，∠C= 90°，点D是斜边AB的中点，AB = 2BC， DE⊥AB交AC于E 求证：BE平分∠ABC

3.已知线段AB，求线段AB的四等分点。

4.已知：如图6，△ABC中，∠A= 90°，AB = AC = BD ED⊥BC

求证：AE = DE =DC

1

[例4]如图3.14—4，已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上的一点，求证：BE=CE。 思路分析：

5.已知：线段a和∠a

求作△ABC，使AB = AC = a，∠A= ∠a

线段的垂直平分线垂直平分线的性质定理和它的逆定理；

此题利用垂直平分线定理的逆定理来证明可出奇制胜，而利用全等三角形证明却较繁琐，

因而在今后的证题思路的分析中，要充分发挥后续定理的作用。

第三阶段

[例5]如图3.14—5，求作一点P，使PC=PD，并且使点P到∠AOB两边的距离相等。

思路分析：由PC=PD，

二、例题分析

[例1]如图3—14—2，已知AB=AC，BD=DC，AD，BC相交于点O。求证：AD⊥BC。 思路分析：

此题证法比较多，可利用等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证。这里我们选用线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证。

[例2]已知：如图下图3—14—2，在△ABC中，AD是高，BC的垂直平分线交AC于E，BE交AD于F。求证：E在AF的垂直平分线上。 思路分析：

由图形观察到∠CAD与∠C互余，∠BFD与∠CBE互余，∠AFE=∠BFD因此只需证明∠C=∠CBE，就可得到∠CAD=∠AFE。

知P在线段CD的中垂线上。由P到∠AOB两边的距离相等，知P在∠AOB的平分线上。

[例6]如图3.14—7，已知：△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N 求证： CM=2BM。

思路分析：等腰三角形性质、中垂线的性质、30°直角三角形的性质。

三、练习题

1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，

则这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三形

C、直角三角形 D、不能确定 2、线段的垂段直平分线上的点和这条线段两个端点的

_________相等。 3、和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的__________________上。

4、线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点的__________________点的集合。

5、三角形三边垂直平分线的交点到_________的距离相等。

第二阶段

[例3]如图3.14—3，已知：AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，垂足是点E，∠C=70°，求∠BDC的度数。 思路分析：

∵AB=AC，由∠C先求出∠A，根据DE是AB的中垂线，得到AD=BD，求出∠DBA，再计算出∠BDC。

2

6、线段的垂直平分线有_____________条，它是_________的集合。

7、若△ABC中有两边的垂直平分线的交点恰好在第三边上，则△ABC必定为（ ） A、锐角三角形 B、直角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

8、下列说法：①若直线PE是线段AB的中垂线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB中垂线上的点；④若EA=EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB，其中正确的个数为（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

9、已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法中正确的是（ ）A、与AB距离相等的点在MN上

B、与点A和点B距离相等的点在MN上 C、与MN距离相等的点在AB上 D、AB垂直平分MN

10、已知点D在△ABC的边AB的垂直平分线上，且

AD+DC=AC，若AC=5cm，BC=4cm，则△BDC的周长为（ ） A、6cm B、7cm C、8cm D、9cm

11、已知：AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F。 求证：∠FAC=∠B。

N，那么PM与PN的关系是（）

A.PM＞PN B.PM＝PN C.PM＜PN D.无法确定

A M P D B E D C F

12、已知△ABC中，AB=AC，在AB上求作一点E，使EA=EC，以在什么情况下E点在BA的延长线上？在什么情况下，本题无解？

角的平分线的性质自测

夯实基础

一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分） 1．如图1所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（ ）

A.∠1＝∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定

C P A 4．如图3所示，△ABC中，AB=AC，AD是∠A的平分B C N E

图AB2 ，DF⊥AC，垂足分别是E、A 线，DE⊥F，下面给出图3

四个结论，其中正确的结论有( ) ①AD平分∠EDF； ②AE=AF； ③AD上的点到B、C两点的距离相等④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 5． 如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD

上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．下列结论错误的是（ ）． A．AD=CP

A B．△ABP≌△CBP C．△ABD≌△CBD

P D．∠ADB=∠CDB．

D 二、精心填一填，你会轻松（每

C B

题6分，共30分）

6．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=8，则点D到斜边AB的距离等于_____________． 7．，已知点C是∠AOB平分线上的一点，点P、P′分别在边OA、OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为______________．①∠OCP＝∠OCP′； ②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC． 8．如下图，已知BO平分CBA，CO平分ACB，MN∥BC，且过点O，若AB12，AC14，则

． △AMN的周长是

Ａ Ｍ Ｏ Ｎ Ｃ

E

Ｂ

2．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，1 AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，O 2 D 图垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（）

A、12cm B、10cm C、14cm D、11cm 3．如图2所示，已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、

9．如上右图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠B CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，

那么D点到直线AB的距离是 cm． 10．如图所示：⑴若∠BAD＝∠CAD，且BD⊥AB于B，

DC⊥AC于C，则BD＝CD，⑵若BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，且BD＝CD，则∠BAD＝∠CAD，试利

3

B 用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于14．如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点． A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个

求证：点P在∠C的平分线上． 超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有

处．

三、细心做一做，你会成功（共40分）

11．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C. A E F B D C

12．如图，已知在△ABC中，C90，点D是斜边AB的中点，AB2BC，DEAB 交AC于E． 求证：BE平分ABC． Ｂ

Ｄ Ａ

Ｅ

Ｃ

13． 先作图，再证明．

（1）在所给的图形（如图）中完成下列作图（保留作图痕迹）

①作ACB的平分线CD，交AB于点D； ②延长BC到点E，使CECA，连结AE． Ｂ

（2）求证：CD∥AE． Ａ 综合创新

Ｃ

A E

P B

D

C

15．已知：如图，BC90，M是BC的中点，DM平分ADC．

（1）若连接AM，则AM是否平分BAD请你证明你的结论．（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． Ｄ Ｃ

2 1 Ｍ

3

4 Ａ Ｂ

中考链接

16（广东茂名）在Rt△ABC中，C＝90，BAC的角平分线AD交BC于 点D，CD＝2，则点D到AB

的距离是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 A BDC

17． (广东)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） Ａ．三条中线的交点

Ｂ．三条高的交点

Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点

18．（镇江）⑴如图，已知△ABC，∠C＝90°.按下列语

4

句作图（尺规作图，保留作图痕迹）：

①作∠B的平分线，与AC相交于点D；②在AB边上取一点E，使BE＝BC

③连接ED;⑵根据所作图形，写出一组相等的线段和

一组相等的锐角.

A （不包括BE＝BC，∠EBD＝∠CBD） 答：__________________________．

B C 参考答案

角平分线练习

【参考答案】

一1. C 2. B 3. C 4. C 5. C 6. A

二1.同旁内角互补，两直线平行， 真 2.到一个角的两边距离相等的所有 3. 8

4.如果| a | = | b |，那么a = b，假

三1.∵AD = AC，∴∠ADC=∠ACD，△ABC中 ∵∠FAC=∠ADC + ∠ACD， 又∠1=∠2=∠FAC ∴∠ADC=∠FAC=∠1，∴DC∥AE

2.∵D是AB中点 ∴BD=AB，∵AB = 2BC ∴BC=AB ∴BD = BC又∵DE⊥AB∠C=90°，∴∠C=∠BDE=90°，又BE = BE，∴R +△BDE≌Rt△BEC（HL） ∴∠DBE = ∠EBC ∴BE平分∠ABC 3.略

4.连结BE，可证△ABE≌△BDE（HL）∴AE = DE ∵AB = AC ∠A=90° ∴∠C=45°又∵DE⊥BC ∴∠DEC = 45° ∴DE = DC ∴AE = DE = DC 5.略

线段的垂直平分线垂直平分线的性质定理和它的逆定理；

[例1] 证明：∵AB=AC，

∴点A在BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。 同理，点D在BC的垂直平分线上。 ∴AD是BC的垂直平分线，∴AD⊥BC。

[例2] 证明：∵E在BC的垂直平分线上（已知）， ∴EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∴∠C=∠CBE（等边对等角）。 ∵AD⊥BC（已知），

∴∠BFD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°， ∴∠BFD=∠CAD（等角的余角相等）。 又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等）， ∴∠CAD=∠AFE， ∴EA=EF（等角对等边），

∴E在AF的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。 [例3] 解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=70°。 ∴∠A=180°-2∠C=40°， 又∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD。 ∵∠DBA=∠A=40°。

∴∠BDC=∠A+∠ABD=40°+40°=80°。 [例4] 证明：由AB=AC，BD=CD，

可知：A、D在线段BC的中垂线上，于是由两点碹 条直线，可知AD是BC中垂线，从 而得到BE=EC。

连结BC。 ∵AB=AC，

∴A在BC的垂直平分线上，

又∵BD=CD，

∴D在BC的垂直平分线上， ∴AD是BC的中垂线， ∴BE=CE。

[例5] 作法：①作∠AOB的平分线OM。

5

②作CD中垂线，交OM于P。 ∴点P为M求作的点。 [例6] 证明：连接AM。

∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°。 又∵MN是AB的垂直平分线， ∴BM=AM。

∴∠MAB=∠B=30°。 ∴∠CAM=90°。 ∴CM=2AM=2BM。

三、练习题 参考答案 1、C

2、距离 3、垂直平分线 4、距离相等的 5、三个顶点

6、1，到线段的两个端点距离相等的点的集合 7、B 8、C 9、B 10、D 11、略

12、当∠A是钝角时，当∠A=90°时。

夯实基础

1．选A，提示：∵AD⊥OB，BC⊥OA，PA＝PB，由角平分线的判定可知∠1＝∠2．

2．选A；提示：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，易得△ACD≌△AED，∴CD＝DE，AE＝AC，∴△DBE的周长＝DE＋EB＋DE＝CD＋DB＋EB＝BC＋EB＝AC＋EB＝AE＋EB＝AB＝12cm． 3．选B，提示：过P作PT⊥AC于T，因为PA平分∠DAC，PM⊥BD，∴PM＝PT，又PC平分∠ACE，PT⊥AC，PN⊥BE，∴PN＝PT，∴PM＝PN．

4．选D，提示：①②③④都正确． 5．A

6．8，提示：根据角平分线的性质可得D到斜边AB的距离为8．

7．①、②、④ 8．26

9．由∠C＝90°，AD平分∠CAB，可作DE⊥AB于E，所以D点到直线AB的距离是DE的长，由角平分线的性质可知DE＝CD．又BC＝8cm，BD＝5cm，所以DE＝CD＝3cm．所以D点到直线AB的距离是3cm． 10．四处．

提示：如图2所示：⑴作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1；⑵分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4，故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4．

11．因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，所以Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），所以∠B＝∠C． 12．∵∵ABD是AB12BC的中点，∴BD，∴又∵DEAB，BCC12AB， 902AB，∴BDBDEBC．90

，∴C，

又BEBE，Rt△BDE≌Rt△BCE（HL）， ∴DBEEBC，∴BE平分ABC． 13．证明：（1AC）作图略；CE

（2）∵，AC⊥CE，

∴△∵CDACE为等腰直角三角形，

．∴ACD45 又平分ACB．∴CAE45． ∴ACDCAE．∴CD∥AE．

综合创新

14．如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q．∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ．P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN．∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线． 15．（1）AM平分DAB．

证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E． ∵∴ME1MC2，MC⊥CD，ME⊥AD，

（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

又∵MCMB，∴MEMB． ∵∴MBAM⊥平分AB，DABME（到角的两边距离相等的点在这⊥AD，

个角的平分线上）（．∵2∴）BAM⊥CDM

90，理由如下：，

互补）∴CDCDA∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行）

DAB180（两直线平行，同旁内角． 义）∵ 又11∴

2CDA，31DAB（角平分线定

∴2123180，∴12中考链接

AMD90．即AM⊥DM3． 90， 1617．B 18．．⑴作出∠D

ED⑵写出；

B的平分线，标出交点D；标出点E，连接DE＝DC，∠BDE＝∠BDC ABC． 或∠ADE＝∠

6