北师大五年级奥数专题三《最大公约数和最小公倍数》精编

一、基本概念和知识 1、公约数和最大公约数

几个公有的因数叫这几个数的公因数,其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数.我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b),如果(a、b）=1,则a、b互质。 2、公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作〔a、b〕,当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。3、两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：

最大公因数×最小公倍数=两数的积 即（a、b）×〔a、b〕= a×b 二、方法篇

短除法（最大公约数）

（1）必须每次都用n个数的公约数去除；

（2）一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质)； （3）n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积. 短除法（最小公倍数）

（1）必须先用(如果有）n个数的公约数去除,除到n个数没有除去1以外的公约数后，在用n1个数的公约数去除，除到n1个数没有除1以外的公约数后,再用n2个数的公约数去除,如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数;

（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除,就要继续除,一定要除到n个数的商两两互质为止；

（3）n个数的最小公倍数即为短除式中,所有除数和最后两两互质的商的乘积。 辗转相除法(最大公约数）

设两数为a、b(a>b），求a和b最大公约数（a，b）的步骤如下：用b除a，得a÷b=q..。..。r1(0≤r1）。若r1=0，则（a，b)=b；若r1≠0，则再用r1除b,得b÷r1=q.。..。.r2 (0≤r2）.若r2=0,则(a，b)=r1,若r2≠0,则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为(a，b)。

PS:求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法、断除法、辗转相除法等方法. 三、例题全解

例1、求2520、14850、819的最大公约数和最小公倍数。（用因数分解法）

例2、求36、108、126的最大公约数和最小公倍数。（用短除法）

例3、用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。 试一试

1、求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。(用因数分解法）

2、求403、527、713的最大公约数和最小公倍数.（用短除法）

3、用辗转相除法求2597和7049的最大公约数。

例4、有一位男同学要整理三种厚度分别为30毫米、24毫米和18毫米的一堆书，他只能将厚度相同的书叠在一起，叠成高度一样的三叠，使书得高度尽可能小.这样的整理共用了多少本书？ 试一试

1、甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是 月 日。

例5、有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？

例6、 加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人？

例7、一次会餐供有三种饮料.餐后统计,三种饮料共用了65瓶;平均每2个人饮用一瓶A饮料,每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？

例8、设a=36，b=54，证明（a，b）×［a，b］=a×b.

例9 、两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？ 试一试

1、设a=108，b=720,证明（a，b)×［a,b］=a×b。

例10、现有4个自然数，它们的和是1111,。如果要使这4个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大是多少？。

试一试

1、现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

2、有很多方法可以将2001写成25个自然数(可以相同,也可以不相同）的和。对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数最大值是多少？

例11、某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和,还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少?

四、知识巩固

1、用一个数去除30、60、75，都能整除,这个数最大是多少？

2、 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？

3、 求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？

4、求21672和11352的最小公倍数。

5、甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？

6、一块长方形地面，长120米，宽60米,要在它的四周和四角种树,每两棵之间的距离相等,最少要种树苗多少棵?每相邻两棵之间的距离是多少米?

7、已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。

8、兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？

9、将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体,不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？

10、一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183千克.求一个地雷的重量？ 课后选看

1、甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商为12，若甲、乙两数差为18,这两

个数分别是多少?

解：设最大公约数为X ,甲为AX ,乙为BX

根据两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12得A×B=12 根据甲乙两数的差是18得（A-B)X=18 可知A、B只能为3、4得X=18 所以两数分别为54和72。

2、在一根长的木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种刻度线将木棍分成15等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段? 解:最小公倍数问题。

10，12，15的最小公倍数是60.把这根木棍的1/60作为一个长度单位，这样：木棍10等份的每等份长6个单位；12等份的每等份长5单位；15等份的每等份长4单位．

不计木棍的两个端点,木棍的内部等分点数分别是9,11，14（相应于10,12,15等分），共计34个。

（10,12，15）＝60，设木棍60厘米 60÷10＝6厘米，60÷12＝5厘米,60÷15＝4厘米

10等分的为第一种刻度线，共10－1＝9条 12等分的为第二种刻度线,共12－1＝11条 15等分的为第三种刻度线，过15－1＝14条

第一种与第二种刻度线重合的（6，5)＝30，60÷30－1＝2－1＝1条 第一种与第三种刻度线重合的（6,4）＝12，60÷12－1＝5－1＝4条 第二种与第三种刻度线重合的（5，4）＝20，60÷20－1＝3－1＝2条 三种刻度线重合的没有，（6、5、4）＝60

因此，共有刻度线9＋11＋14－1－4－2＝27条,木棍总共被锯成27＋1＝28段. 由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．

又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重,必须再减去2，

同样，6，4的最小公倍数为12,所以15与10等份的等分点在12，24,36，48单位处相重，必须再减去4