(思瓜)高中三角函数讲义

一、任意角和弧度制

1、弧度与角度互换公式： 1 rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ。 1°＝≈0.01745 （rad）

180【注意】正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 2、弧长公式：l||r

11lr||r2 22ya的终边P（x,y)r扇形面积公式：s扇形

二、任意角的三角函数

1、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点

yxyxcottansincosy；x；r；r；P（x,y）P与原点的距离为r，则

orrcscsecy。 x；

x2、三角函数在各象限的符号：（一全正，二正弦，三正切，四余弦）

++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切yyPTOMAx3、三角函数线：正弦线：MP；余弦线：OM；正切线：AT。

7） 132m33【例2】设是第三、四象限角，sin，则m的取值范围是_______ 。 （－1，)

4m2【例1】已知角的终边经过点P(5，－12)，则sincos的值为 。 （【例3】若为锐角，则,sin,tan的大小关系为 。 （sintan） 【例4】函数y12cosxlg(2sinx3)的定义域是_______ 。 (2k,2k2](kZ)

334、特殊角的三角函数值 sin 0 0 1 0 π 12π 6π 4π 35π 12π 2π 0 -1 0 3π 2cos tan 62 462 41 22-3 3 23 32 22 23 21 262 462 41 0 -1 0 1 3 2+3

1

cot 2+3 3 1 3 32-3 0 0 三、三角函数的图像及其性质 1、正弦函数：y = sin x （1）定义域：R （2）值域：[ -1，1] （3）奇偶性：奇函数

（4）单调性：ysinx在2k,2kkZ上单调递增，在2k,2k3kZ单调递

2222减。

（5）最值：当且仅当x2k2kZ时，y取最大值1；当且仅当x2k3kZ时，y2取最小值－1。

（6）周期性：周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是2π。 （7）对称性：对称轴是xk2、余弦函数：y = cos x （1）定义域：R （2）值域：[ -1，1] （3）奇偶性：偶函数

（4）单调性：ycosx在2k,2kkZ上单调递减，在2k,2k2kZ上单调递增。

（5）最值：当且仅当x2kkZ时，y取最大值1；当且仅当x2kkZ时，y取最小值－1。

（6）周期性：周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是2π。 （7）对称性：对称轴是xkkZ，对称中心是k3、正切函数：y = tan x （1）定义域：{x|x（2）值域：R

（3）奇偶性：奇函数

（4）单调性：正切函数在开区间2kZ，对称中心是k,0kZ。

,0kZ。 22k,kZ}

k,kkZ内都是增函数。

22（5）最值：无

（6）周期性：周期是kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是π。 （7）对称性：对称中心是k,0kZ。 24、形如yAsin(x)的函数

2

（1）物理意义：yAsin(x)（A＞0，ω＞0），x∈[0,+ ∞）表示一个振动量时，A称为振幅，2T =

，

f1称为频率，x称为相位，称为初相。 T（2）函数yAsin(x)k的图像与ysinx图像间的关系：

① 函数ysinx的图像纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移||个单位得

ysinx的图像；

② 函数ysinx图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1，得到函数ysinx的图像；

③ 函数ysinx图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数yAsin(x)的图像；

④ 函数yAsin(，得到x)图像的横坐标不变，纵坐标向上（k0）或向下（k0）

yAsinxk的图像。

要特别注意，若由ysinx得到ysinx的图像，则向左或向右平移应平移|

|个单位。 四、三角函数的基本公式

1、同角三角函数的关系

2、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） π﹣ 2π﹢ 2π﹣ π﹢ ﹣sin ﹣cos 3π﹣ 2﹣cos ﹣sin 3π﹢ 2﹣cos 2π﹣ ﹣sin sin cos sin cot cos ﹣sin ﹣cot ﹣tan sin ﹣cos ﹣tan ﹣cot cos tan sin ﹣cot ﹣tan cos ﹣tan ﹣cot tan cot cot tan cot tan 3、两角和差公式

)coscossinsin （1）cos()coscossinsin （2）cos()sincoscossin （3）sin()sincoscossin （4）sin(（5）tan()tantan

1tantan

3

（6）tan()tantan

1tantan4、倍角公式与半角公式 （1）sin22sincos

（2）cos2cos2sin22cos2112sin2

2tan（3）tan2

1tan2（4）sin21cos 21cos 21cossin1cos1cos1cossin（5）cos

（6） tan

225、积化和差与和差化积公式

1sinsin21cossinsinsin21coscoscoscos21sinsincoscos2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22sinsin2sincos6、万能公式

2tansin21tan2cos1tan22

22tantan2

1tan22

1tan22

7、母亲函数

，其中

。

m342m5()，则tan＝____ 。 （） ，cosm5m5212tansin3cos51321，则【例6】已知＝___；sinsincos2＝____。 （；）

tan1sincos35【例7】已知sin200a，则tan160等于（ ） B

【例5】已知sin1a21a2A、 B、 C、 D、

22aa1a1aaa【例8】cos9723tan()sin21的值为________。 （） 4623

4

【例9】已知sin(540)4，则cos(270)______，若为第二象限角，则 543[sin(180)cos(360)]2________。 （；） 5100tan(180)【例10】下列各式中，值为

1的是（ ） C 22tan22.51cos30sinA、sin15cos15 B、cos C、 D、 212121tan22.522【例11】命题P：tan(AB)0，命题Q：tanAtanB0，则P是Q的（ ） C A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

37，那么cos2的值为____ 。 （） 525213【例13】已知tan()，tan()，那么tan()的值是_____ 。 （）

54442212490【例14】已知0，且cos()，sin()，求cos()的值。

22923729sincos211,tan()，求tan(2)的值。 （）【例15】已知

1cos238【例12】已知sin()coscos()sin【例16】已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)＝_____。 （2） 2【例17】设ABC中，tanAtanB33tanAtanB，sinAcosA3，则此三角形是__ __4三角形。 （等边）

【例18】若(,)，化简321111 cos2为_____。 （sin）2222253(xR)的单调递增区间为____ 。 25（[k,k](kZ)）

1212【例19】函数f(x)5sinxcosx53cos2x【例20】化简：tan(cossin) sintan。 （sin）

cotcsc12。 （1cos2x）【例21】化简：

22tan(x)sin2(x)442cos4x2cos2xt21【例22】若 sinxcosxt，则sinxcosx __ 。 （）这里t[2,2]

247【例23】若(0,),sincos1，求tan的值。 （）

23

5

sin22sin2【例24】已知 k()，试用k表示sincos的值。 （1k）421tan【例25】若方程sinx3cosxc有实数解，则c的取值范围是_________。 [－2,2] 【例26】当函数y2cosx3sinx取得最大值时，tanx的值是______。 （【例27】如果fxsinx2cos(x)是奇函数，则tan= 【例28】若函数yabsin(3x3） 2 。 （－2）

6)的最大值为

31，最小值为，则a ，b 。 221（a,b1或b1）

2【例29】函数f(x)sinx3cosx（x[,]）的值域是____ 。 [－1，2] 22【例30】若2，则ycos6sin的最大值和最小值分别是____、__ _。 （7；－5） 【例31】函数f(x)2cosxsin(x3)3sin2xsinxcosx的最小值是_____，此时x＝_________。

（2；k12(kZ)）

【例32】若sin22sin22cos，求ysin2sin2的最大、最小值。

（ymax1，ymin222）

【例33】若f(x)sinx3，则f(1)f(2)f(3)f(2003)＝___。 （0）

4【例34】函数f(x)cos4x2sinxcosxsinx的最小正周期为____。 （）

【例35】函数ysin5 2x的奇偶性是______。 （偶函数）

2【例36】已知函数f(x)axbsin3x1(a,b为常数），且f(5)7，则f(5)______。 （－5） 【例37】函数y2cosx(sinxcosx)的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______。

(kk,1)(kZ)、x(kZ) 2828【例38】已知f(x)sin(x)3cos(x)为偶函数，求的值。 k【例39】函数ysin(2x【例40】ylog1cos(26(kZ)

3)的递减区间是______。 [k5,k](kZ)

1212x)的递减区间是_______。 [6k3,6k3](kZ)

4434

6

【例41】设函数f(x)Asin(x)(A0,0,2对称，它的周期是

223，则（ ） C

)的图象关于直线xA、f(x)的图象过点(0,) B、f(x)在区间[1252,]上是减函数 12312C、f(x)的图象的一个对称中心是(5,0) D、f(x)的最大值是A

【例42】对于函数fx2sin2x给出下列结论： 3①图像关于原点成中心对称；

②图像关于直线x成轴对称；

12③图像可由函数y2sin2x的图像向左平移④图像向左平移

个单位得到； 3个单位，即得到函数y2cos2x的图像。 12其中正确结论是_______。 ②④

五、解三角形

1、三角形中常见的边角关系 （1）A﹢B﹢C = π，A﹢B = π﹣C，（2）

，

，

。

。

（3）

2、正弦定理：【注意】3、余弦定理：4、射影定理：

，，

。

abc2R(R为三角形外接圆的半径)。 sinAsinBsinC。

。

5、面积公式：S1aha1absinC1r(abc)，（其中r为三角形内切圆半径）。

2226、三角形中，大边对大角，大角对大边。

7

b，且A=60, a6, b4，那么满足条件的ABC（） 【例43】ABC中，A、B的对边分别是a、A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 C

【例44】在ABC中，A＞B是sinAsinB成立的_____条件。 充要 【例45】在ABC中， (1tanA)(1tanB)2，则log2sinC＝_____。 1 2【例46】在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若(abc)(sinAsinBsinC)3asinB，

则C＝____。 60°

a2b2c2【例47】在ABC中，若其面积S，则C=____。 30°

43【例48】在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，a最大值为

1BC223,cosA,则cos2= ，bc的

3232。 1;9

【例49】在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 。 0C6

【例50】设O是锐角三角形ABC的外心，若C75，且AOB,BOC,COA的面积满足关系式

SAOBSBOC3SCOA，求A。 45°

【例51】若,(0,)，且tan、tan是方程x5x60的两根，求的值。 【例52】ABC中，3sinA4cosB6,4sinB3cosA1，则C＝_______。

23 4 3

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