自适应滤波LMS与RLS地matlab实现

MATLAB仿真实现LMS和RLS算法的二阶AR模型

及仿真结果分析

一、题目概述：二阶AR模型如图1a所示，可以如下差分方程表示：

x(n)v(n)a1x(n1)a2x(n2)v(n)d(n) （1）

图1a

其中，v(n)是均值为0、方差为0.965的高斯白噪声序列。𝑎1，𝑎2为描述性参数，

a10.195,a20,95.设x(-1)=x(-2)=0，权值𝑤1(0)=𝑤2(0)=0，μ=0.04①推导最优

滤波权值（理论分析一下）。②按此参数设置，由计算机仿真模拟权值收敛曲线并画出，改变步长在此模拟权值变化规律。③对仿真结果进行说明。④应用RLS算法再次模拟最优滤波权值。

解答思路：

（1）高斯白噪声用normrnd函数产生均值为0、方差为0.965的正态分布随机1*N矩阵来实现。随后的产生的信号用题目中的二阶AR模型根据公式（1）产生，激励源是之前产生的高斯白噪声。

（2）信号长度N取为2000点，用以观察滤波器权值变化从而估计滤波器系数，得到其收敛值。

（3）仿真时分别仿真了单次LMS算法和RLS算法下的收敛性能以及100次取平均后的LMS和RLS算法的收敛性能，以便更好的比较观察二者的特性。

（4）在用不同的分别取3个不同的μ值仿真LMS算法时，μ值分别取为

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0.001,0.003,0.006；用3个不同的λ值仿真RLS算法时λ值分别取为1,0.98,0.94，从而分析不同步长因子、不同遗忘因子对相应算法收敛效果的影响。

二、 算法简介

1．自适应算法的基本原理

自适应算法的基本信号关系如下图所示：

x(n)参数可调数字滤波器y(n)+Σ-e(n)d(n)自适应算法

图 1b 自适应滤波器框图

输入信号x(n)通过参数可调的数字滤波器后产生输出信号y(n)，将其与参考信号d(n)进行比较，形成误差信号e(n)。e(n)通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终是e(n)的均方值最小。当误差信号e(n)的均方误差达到最小的时候，可以证明信号y(n)是信号d(n)的最佳估计。 2. LMS算法简介

LMS算法采用平方误差最小的原则代替最小均方误差最小的原则，信号基本关系如下：

y(n)wi(n)x(ni)0N1e(n)d(n)y(n) （2）

wi(n1)wi(n)2e(n)x(ni)i(0,1,2,....N1)写成矩阵型式为：

y(n)WT(n)X(n)e(n)d(n)y(n)W(n1)W(n)2e(n)X(n) （3）

W(n)[w0(n),w1(n),....wN1(n)]，式（3）中，W(n) 为n 时刻自适应滤波器的权值，

N为自适应滤波器的阶数，本设计中取为2000；X( n) 为n 时刻自适应滤波器的参考输入矢量，由最近N 个信号采样值构成，X(n)[x(n),x(n1),....x(nN1)]；d ( n) 是期望的输出值；e ( n) 为自适应滤波器的输出误差调节信号(简称失调信号) ；μ是控制自适应速度与稳定性的增益常数，又叫收敛因子或步长因子。

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3． RLS算法简介

RLS算法是用二乘方的时间平均的最小化准则取代最小均方准则，并按时间进行迭代计算。其基本原理如下所示：

：遗忘因子，它是小于等于1的正数。

dn:参考信号，也可称为期望信号。

w(n):第n次迭代的权值。

n:均方误差。

RLS算法的准则为：

nnnke2kmin

k0 （4）

上式越旧的数据对n的影响越小。通过计算推导得到系数的迭代方程为：

w(n)=w(n−1)+k(n)𝑒∗(𝑛) （5） 式(5)中，增量k(n)和误差𝑒∗(𝑛)计算公式如下：

k(n)T(n1)x(n) (6) Tx(n)T(n1)x(n) 𝑒∗(𝑛)=𝑑∗(𝑛)−𝑥𝑇(𝑛)∗𝑤(𝑛−1) （7） ̂−1(𝑛)，也就是当前时刻自相关矩阵的逆。 式（6）中T(n)= 𝑅

T(n)按如下方式更新：

T(n) = (T(n1)-k(n)*x(n)* T(n1))/ （8） 由上边分析可知，RLS算法递推的步骤如下：

1. 在时刻n，w(n1),T(n1)和d(n),x(n)也已经存储在滤波器的相应器件中 2. 利用公式（5）、（6）、（7）和（8）计算T(n)、w(n)、k(n)、𝑒∗(𝑛)，并得到滤波器的

输出相应y(n)和误差e(n)即：

Ty(n)wT(n)x(n) （9） e(n)d(n)y(n) （10）

3. 进入第n1次迭代

这样做的优点是收敛速度快，而且适用于非平稳信号的自适应处理 缺点是每次迭代时都要知道输入信号和参考信号，计算量比较大

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三、 仿真过程

仿真过程按照如下过程进行

（1）信号产生：首先产生高斯白噪声序列w(n)，然后将此通过一个参数为𝑎1=-0.195，𝑎2=0.95简单的二阶自回归滤波器生成信号x(n)。

（2）将step（1）生成的信号通过LMS和RLS自适应滤波器进行处理

（3）通过改变μ值对𝑤1,𝑤2收敛速度的影响来分析LMS算法的性能以及通过改变λ值对𝑤1,𝑤2收敛速度的影响来分析RLS算法的性能。 （4）绘制相应图形曲线

四、 仿真以及结果分析

信号和高斯白噪声波形如图2所示：

图2 信号和高斯白噪声波形

图2中，上边的图形为信号波形，下边的为加性高斯白噪声。

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图3（a）LMS算法下单次收敛曲线

图3(b) LMS算法下百次平均收敛曲线

分析1：

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图3中，a、b两幅图分别为单次实现的LMS算法下最优权值变化过程和100次仿真实现后取平均值做的图，两个权值初始值由已知条件设置为0，之后收敛到两个定值。 a图展现了滤波器权系数迭代更新的过程，可以发现其并不是平滑的变化，而是随机起伏的，跟最陡下降法不一样，这充分说明了其权向量是一个随机过程向量,梯度噪声对其产生了一定的影响。

ˆ(n)]的估计，即b图给出了100次独立实验得到的平均权向量E[w

1Tˆt(n)是第t次独立实验中第n次迭代得到的权向量，T是独立实ˆ(n)wˆt(n)，其中wwTt1ˆ(n)]的估计平滑了随机梯度引入的验次数。可以发现，多次独立实验得到的平均权向量E[w梯度噪声，十分接近理论最优权向量wopt[0.195,0.95]，曲线足够平滑，噪声影响很小。

图3中a、b两图皆有较好的收敛特性，即使1次实现也能很好的逼近最优权值。

T

图4（a）RLS算法下单次收敛曲线

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图4（b）RLS算法下百次平均收敛曲线

分析2： 图4中，a、b两幅图分别为单次实现的RLS算法下最优权值变化过程和100次仿真实现后取平均值做的图，a图中可看出权值已有较好收敛特性，两个权值初始值由已知条件设置为0，之后收敛到两个定值：-a1=0.195和-a2=-0.95，，但是曲线不够平滑、噪声较大，b图经过取平均后噪声影响已经很小。单次实现和多次实现的联系与区别也与LMS算法基本相同。

但是可以清晰地看出RLS算法收敛极。将两种算法整合于一个图中可以看出鲜明的对比。

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图5 LMS算法和RLS算法收敛曲线对比

分析3：

从图5可以看出，在和一定的情况下，RLS比LMS具有更快的收敛速度。在算法的前期收敛段，RLS算法的收敛速度要明显高于LMS算法。

总的来说，LMS算法的收敛性和步长有关，受协方差矩阵的特征根影响，然而RLS算法一定是收敛的，且收敛速度很快，不过其迭代过程由于要求增益因子和逆矩阵等，使得其算法复杂度高，计算量比较大。

接下来修改步长μ值，观察曲线的收敛情况。图6给出了μ=0.01, μ=0.03和μ=0.06三种情况下的最优权值变化曲线，由此分析不同步长对曲线收敛性产生的影响。

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图6 μ对LMS收敛速度的影响

分析4：

可以看出LMS算法中的步长参数μ决定抽头权向量在每步迭代中的更新量，是影响算法收敛速度的关键参数，其决定了LMS算法学习过程的快慢。

图6展示了当收敛步长μ值变小时，其均方误差的收敛速度也相应减慢，降低对实变系统的跟踪速度，不能及时调整至最优权值。 由前面的理论推导我们可以知道01，在这个范围内，μ越大，均方误差

max()收敛速度越快，收敛速度和步长因子成正比。可是如果μ大于这个范围会造成不稳定，较大步长会造成较大的稳态误差，带来算法的发散。

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图7 λ对RLS收敛速度的影响

分析5： RLS算法中遗忘因子的作用是对离n时刻越近的误差加比较大的权重，而对离n时刻越远的误差加比较小的比重。遗忘因子的选择对RLS算法的性能起决定性的作用。λ是个小于等于1的数，如果λ越小，能量信号就越接近最新的误差平方，对前面的误差遗忘的越快，跟踪效果就越好。但是，递推RLS算法中的误差是由期望信号决定的，如果λ很小则误差信号对期望信号的依赖性就会很大，所以，输出信号就很接近期望信号。

从图7可以看出，遗忘因子λ越小，系统的跟踪能力越强，收敛的越快（即变平稳得越快），但是收敛值比较大；λ越大，系统跟踪能力减弱，收敛时均方误差也越小，学习曲线收敛值越小。所以，我们在用普通递推RLS算法时，一定要对λ有个准确的取值，才能保证系统性能的最佳状态。 总结：

LMS算法其优点是结构简单，算法复杂度低，易于实现，稳定性高，便于硬件实现，但是这种算法收敛速度慢，对快速变化的信号不适合。RLS算法是基于最小二乘准则的精确方法，它的收敛速度快，稳定性强， 因此常被应用于实时系统识别和快速启动的信道均衡。

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附件（程序代码）：

%(1)信号序列与高斯白噪声的产生 %参数初始化

a1=-0.195; %生成信号所用AR（2）滤波器的参数 a2=0.95;

N=2000; %信号长度

%信号及白噪声信号序列的初始化 x=zeros(1,N)'; %信号的初始化 sigmasqu=0.0965;%噪声方差

sigma=sqrt(sigmasqu);%噪声标准差

w=normrnd(0,sigma,N)'; %高斯白噪声的初始化，均值为0，方差为0.0965

x(1)=w(1); %信号前两点的初始赋值 x(2)=-a1*x(1)+w(2);

%信号序列的产生 for i=3:N

x(i)=-a1*x(i-1)-a2*x(i-2)+w(i);%信号由AR（2）产生 end

%绘制信号和高斯白噪声波形 figure(1)

subplot(2,1,1), plot(1:N,x,'b-') axis([0,2000,-5,5])

title('基于AR（2）模型产生的信号x'); xlabel('信号长度n'); ylabel('x(n)'); subplot(2,1,2), plot(1:N,w,'r-'); axis([0,2000,-5,5])

title('基于AR（2）模型产生的高斯白噪声w(n)'); xlabel('信号长度n'); ylabel('w(n)');

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%---LMS100次叠

加%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

N=2000;

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M=100;%计算的次数

w1=zeros(N,M);w2=zeros(N,M);I1=eye(2);E1=zeros(N,M); wa1=zeros(N,1);wa2=zeros(N,1);en=zeros(N,1);

for k=1:M

e=zeros(1,N)';%定义误差向量

%根据RLS算法进行递推

x=zeros(1,N)'; %信号的初始化 sigmasqu=0.0965;%噪声方差

sigma=sqrt(sigmasqu);%噪声标准差

w=normrnd(0,sigma,N)'; %高斯白噪声的初始化，均值为0，方差为0.0965

x(1)=w(1); %信号前两点的初始赋值 x(2)=-a1*x(1)+w(2);

%信号序列的产生 for i=3:N

x(i)=-a1*x(i-1)-a2*x(i-2)+w(i);%信号由AR（2）产生 end

L=2; %滤波器长度

u=0.04; %LMS算法下自适应增益常数初始化 wL=zeros(L,N);%LMS滤波器的权值初始化 for i=(L+1):N

X=x(i-1:-1:(i-L));

y(i)=X'*wL(:,i); %i时刻输出信号 e(i)=x(i)-y(i); %i时刻误差信号

wL(:,(i+1))=wL(:,i)+2*u*e(i)*X; %i时刻滤波器的权值 end;

% a1R=wR(1,1:n); % a1在RLS算法下值的变化 % a2R=wR(2,1:n); % a2在RLS算法下值的变化

w1(:,k)=wL(1,1:N)'; w2(:,k)=wL(2,1:N)';%将每次计算得到的权矢量值储存

E1(:,k)=e(:,1);%将每次计算得到的误差储存

%求权矢量和误差的M次的平均值 wa1(:,1)=wa1(:,1)+w1(:,k); wa2(:,1)=wa2(:,1)+w2(:,k); en(:,1)=en(:,1)+E1(:,k);

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end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%---止LMS100次叠

加%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%绘制LMS算法下a1、a2单次及100次平均收敛曲线 figure(2)

plot(1:N,w1(1:N,M)','r-',1:N,w2(1:N,M)','b--',1:N,-a2,'k-',1:N,-a1,'k-');

legend('LMS-W1变化','LMS-W2变化','W1收敛值','W2收敛值',0); % 图例 title('LMS单次实现的权值收敛曲线'); xlabel('信号长度n'); ylabel('权值W');

figure(3)

plot(1:N,wa1(1:N,1)./M,'r-',1:N,wa2(1:N,1)./M,'b--',1:N,-a2,'k-',1:N,-a1,'k-');%作出100次计算权矢量的平均变化曲线

xlabel('N');ylabel('W(N)');title('LMS算法下100次仿真W1(n)和W2(n)的平均变化曲线') % %RLS滤波

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%---RLS100次叠

加%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% N=2000;

M=100;%计算的次数

w3=zeros(N,M);w4=zeros(N,M);I2=eye(2);E2=zeros(N,M); wa3=zeros(N,1);wa4=zeros(N,1);en2=zeros(N,1);

for k=1:M

e=zeros(1,N)';%定义误差向量

%根据RLS算法进行递推

x=zeros(1,N)'; %信号的初始化 sigmasqu=0.0965;%噪声方差

sigma=sqrt(sigmasqu);%噪声标准差

w=normrnd(0,sigma,N)'; %高斯白噪声的初始化，均值为0，方差为0.0965

x(1)=w(1); %信号前两点的初始赋值 x(2)=-a1*x(1)+w(2);

%信号序列的产生 for i=3:N

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x(i)=-a1*x(i-1)-a2*x(i-2)+w(i);%信号由AR（2）产生 end

L=2; %滤波器长度

lam=0.98; %RLS算法下lambda取值 wR=zeros(L,N);%权系数，初值为0

T=eye(L,L)*10;% %RLS算法下T参数的初始化,T初始值为10 for i=(L+1):N

X=x(i-1:-1:(i-L)); K=(T*X)/(lam+X'*T*X);%i时刻增益值 e1=x(i)-wR(:,i-1)'*X;

wR(:,i)=wR(:,i-1)+K*e1; %i时刻权值 y(i)=wR(:,i)'*X;%输出信号 e(i)=x(i)-y(i);%预测误差

T=(T-K*X'*T)/lam; %i时刻的维纳解 end;

w3(:,k)=wR(1,:)'; w4(:,k)=wR(2,:)';%将每次计算得到的权矢量值储存

E2(:,k)=e(:,1);%将每次计算得到的误差储存

%求权矢量和误差的M次的平均值 wa3(:,1)=wa3(:,1)+w3(:,k); wa4(:,1)=wa4(:,1)+w4(:,k); en2(:,1)=en2(:,1)+E2(:,k); end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%---止RLS100次叠

加%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure(4)

plot(1:N,w3(1:N,M)','r-',1:N,w4(1:N,M)','b--',1:N,-a2,'k-',1:N,-a1,'k-');

legend('RLS-W1变化','RLS-W2变化','W1收敛值','W2收敛值',0); % 图例 title('RLS单次实现权值收敛曲线'); xlabel('信号长度n'); ylabel('权值W');

figure(5)

plot(1:N,wa3(1:N,1)./M,'r-',1:N,wa4(1:N,1)./M,'b--',1:N,-a2,'k-',1:N,-a1,'k-');%作出100次计算权矢量的平均变化曲线

xlabel('N');ylabel('W(N)');title('RLS算法下100次仿真W1(n)和W2(n)的平均变化曲线线')

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%绘制LMS与RLS算法下a1、a2收敛曲线 figure(6)

plot(1:N,w1(1:N,1)','r-.',1:N,w2(1:N,1)','b:',1:N,w3(1:N,1)','g--',1:N,w4(1:N,1)','m-',1:N,-a2,'k-',1:N,-a1,'k-');

legend('LMS-W1变化','LMS-W2变化','RLS-W1变化','RLS-W2变化','W1收敛值','W2收敛值',0); % 图例

title('LMS与RLS算法单次实现的对比'); xlabel('信号长度n'); ylabel('权值W');

%(3)LMS算法下不同u值的参数收敛曲线 wL=zeros(L,N,3);

eL=zeros(N,3); % LMS算法下误差初始化

yL=zeros(N,3); % LMS算法下滤波器输出初始化 u=[0.01,0.03,0.06]; %不同的u值 for j=1:3

for i=(L+1):N

yL(i,j)=x(i-1:-1:i-2)'*wL(1:L,i-1,j); eL(i,j)=x(i)-yL(i,j);

wL(1:L,i,j)=wL(1:L,i-1,j)+2*u(j)*eL(i,j)*x(i-1:-1:i-L); end end

a1L1=wL(1,1:N,1); a1L2=wL(1,1:N,2); a1L3=wL(1,1:N,3); a2L1=wL(2,1:N,1); a2L2=wL(2,1:N,2); a2L3=wL(2,1:N,3);

figure(7)

plot(1:N,a1L1,'b-',1:N,a1L2,'r:',1:N,a1L3,'g-.',1:N,-a1,'k',1:N,a2L1,'b-',1:N,a2L2,'r:',1:N,a2L3,'g-.',1:N,-a2,'k') % 画图显示不同u值下LMS算法性能差别

legend('u=0.01','u=0.03','u=0.06','W收敛值',0) % 图例 title('LMS算法下不同的u值对W收敛速度影响') xlabel('信号长度n') ylabel('权值W')

%(4)RLS算法下不同lambda值的参数收敛曲线

wR=zeros(2,N,3); % RLS算法下自适应滤波器参数初始化 eR=zeros(N,3); % RLS算法下误差项初始化

yR=zeros(N,3); % RLS算法下滤波器输出初始化 lam=[1,0.98,0.94];

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for j=1:3

for i=(L+1):N

xR=x(i-1:-1:i-2);

k=(T*xR)/(lam(j)+xR'*T*xR); T=(T-k*xR'*T)/lam(j);

eR=x(i)-xR'*wR(1:2,i-1,j); yR(i,j)=xR'*wR(1:2,i-1,j);

wR(1:2,i,j)=wR(1:2,i-1,j)+k*eR; end end

a1R1=wR(1,1:N,1); a1R2=wR(1,1:N,2); a1R3=wR(1,1:N,3); a2R1=wR(2,1:N,1); a2R2=wR(2,1:N,2); a2R3=wR(2,1:N,3);

figure(8)

plot(1:N,a1R1,'b-',1:N,a1R2,'r:',1:N,a1R3,'g-.',1:N,-a1,'k',1:N,a2R1,'b-',1:N,a2R2,'r:',1:N,a2R3,'g-.',1:N,-a2,'k') % 画图显示不同lamda值下RLS算法性能差别

legend('lam=1','lam=0.98','lam=0.94','W收敛值',0) title('RLS算法下不同的lam值对W收敛速度影响') xlabel('信号长度 n') ylabel('权值W')

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