2017-2018学年江西省九江一中高二（上）第一次月考数学试卷
（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）数列{an}的前几项为（ ） A．
B．
C．
D．
，则此数列的通项可能是
2．（5分）不等式3+5x﹣2x2＞0的解集为（ ）
A．（﹣3，） B．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞） C．（﹣，3） D．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）
3．（5分）若等比数列{an}的各项都是正数，且
=（ ）
A．
B．
C．
D．
成等差数列，则
4．（5分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ） A．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＜b＜0，则
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 D．若a＜b＜0，则
）=
5．（5分）已知θ为锐角，且cos（θ+A．
B． C．
D．﹣
，则cos（﹣θ）=（ ）
6．（5分）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，2a9﹣a8=5，则S19为（ ） A．190 B．95 C．90 D．不能确定 7．（5分）将函数
的图象向左平移
个单位，再把所有点的
横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则下列关于函数y=g（x）的说法错误的是（ ）
A．最小正周期为π B．图象关于直线
对称
第1页（共21页）
C．图象关于点对称 D．在区间上是减函数
8．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a2﹣c2=2b，sinB=4cosA•sinC，则b=（ ） A． B． C．2
D．4
9．（5分）已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，
，则
A．1
B．
C．2
D．3
的值为（ ）
10．（5分）《九章算术》中有这样一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．”则现有如下说法：①驽马第九日走了九十三里路；②良马五日共走了一千零九十五里路；③良马和驽马相遇时，良马走了二十一日．则错误的说法个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1=2且Sn+1=2Sn，设bn=log2an，则A．
B．
C．
的值是（ ） D．
12．（5分）对于数列{xn}，若对任意n∈N*，都有xn+1＞列{xn}为“上凸数列”．设bn=2t﹣
成立，则称数
，若数列b5，b6，b7，…，bn（n≥5，n
∈N*）是“上凸数列”，则实数t的取值范围是（ ） A．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）各项为正数的等比数列{an}中，a2与a10的等比中项为log3a4+log3a8= ．
14．（5分）已知函数f（x）=sin2x+2
，若，则
B．
C．
D．
第2页（共21页）
为函数f（x）的一个零点，则= ．
15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（4a﹣3c）cosB=3bcosC，若a，b，c成等差数列，则sinA+sinC= ．
n16．（5分）数列{an}满足an+1+（﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前100项和为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在等差数列{an}中，a1=﹣2，a12=20． （1）求数列{an}的通项an； （2）若
，求数列
的前n项和．
18．（12分）如图，在多面体ABCDFE中，四边形ADFE是正方形，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，BC=2，G为BC中点，平面ADFE⊥平面ADCB． （1）证明：AC⊥BE；
（2）求三棱锥A﹣GFC的体积．
19．（12分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=（1）求证：
．
为等比数列，并求{an}的通项公式；
，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式
（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣2）•（﹣1）n•λ＜Tn+
对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
•
+
20．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=0，其中S是△ABC的面积，C=（1）求cosB的值； （2）若S=24，求a的值．
．
21．（12分）已知圆心为C的圆过原点O（0，0），且直线2x﹣y+2=0与圆C相
第3页（共21页）
切于点P（0，2）． （1）求圆C的方程；
（2）已知过点Q（0，1）的直线l的斜率为k，且直线l与圆C相交于A，B两点．
①若k=2，求弦AB的长； ②若圆C上存在点D，使得
+
=
，求直线l的斜率k．
22．（12分）函数f（x）满足：对任意α，β∈R，都有f（αβ）=αf（β）+βf（α），且f（3）=1．数列{an}满足an=f（3n）（n∈N*） （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=
，证明：b1+b2+b3+…+b2017＜89；
（3）令cn=（n∈N*），数列{}的前n项和为Tn，求证：对任意n
∈N*，都有 Tn＜2．
第4页（共21页）
2017-2018学年江西省九江一中高二（上）第一次月考数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）数列{an}的前几项为（ ） A．
B．
C．
D．
，则此数列的通项可能是
【分析】由题意，各项的分母为2，分子分别为1，6，11，16，21，可得数列的通项．
【解答】解：由题意，各项的分母为2，分子分别为1，6，11，16，21，此数列的通项可能是an=故选：A．
【点评】本题考查了观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．（5分）不等式3+5x﹣2x2＞0的解集为（ ）
A．（﹣3，） B．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞） C．（﹣，3） D．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）
【分析】把不等式化为一般形式，求出解集即可． 【解答】解：不等式3+5x﹣2x2＞0可化为 2x2﹣5x﹣3＜0，
即（2x+1）（x﹣3）＜0， 解得﹣＜x＜3，
所以原不等式的解集为（﹣，3）． 故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法问题，是基础题目．
第5页（共21页）
，
3．（5分）若等比数列{an}的各项都是正数，且
=（ ）
A．
B．
C．
D．
成等差数列，则
【分析】利用
=q2，求解即可．
成等差数列，解得q．利用等比数列的性质可得
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵各项都是正数，∴q＞0． ∵2q﹣1=0． 解得q=
=1±．
=q2=3+2
．
．
成等差数列，∴2×
a3=a1+2a2，∴a1q2=a1+2a1q，∴q2﹣
∵q＞0，∴q=1+∴故选：D．
=
【点评】本题考查等差数列的定义、等比数列的定义，数列的通项公式是解题的关键．
4．（5分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ） A．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＜b＜0，则
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 D．若a＜b＜0，则
【分析】选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．
【解答】解：A，当c=0时，有ac2=bc2 故错．
B 若a＜b＜0，则a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，a2＞ab； ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，ab＞b2，∴a2＞ab＞b2 故对
第6页（共21页）
C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知D 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知故选：B．
，故错． ，故错
【点评】本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法．
5．（5分）已知θ为锐角，且cos（θ+A．
B． C．
D．﹣
）=，则cos（﹣θ）=（ ）
【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得cos（【解答】解：∵θ为锐角，且cos（θ+则cos（故选：C．
﹣θ）=cos[
﹣（θ+
）=
，
）=
﹣θ）的值．
）]=sin（θ+=，
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
6．（5分）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，2a9﹣a8=5，则S19为（ ） A．190 B．95 C．90 D．不能确定
【分析】设等差数列公差为d，根据2a9﹣a8=5，可得a10=5，代入求和公式即可求出．
【解答】解：{an}为等差数列，设等差数列公差为d，2a9﹣a8=5，可得2（a10﹣d）﹣（a10﹣2d）=5，即a10=5， 那么S19=故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
7．（5分）将函数
的图象向左平移
个单位，再把所有点的
（a1+a19）=19a10=19×5=95，
第7页（共21页）
横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则下列关于函数y=g（x）的说法错误的是（ ）
A．最小正周期为π B．图象关于直线C．图象关于点
对称
D．在区间
对称
上是减函数
【分析】直接利用余弦函数的伸缩和平移变换，求出函数的解析式，进一步求出函数的周期、对称中心、对称轴方程、单调区间，最后确定结果． 【解答】解：函数得到：y=2cos[4（x+
）﹣
的图象向左平移
]=2cos（4x+
个单位，
）的图象，
再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 得到函数y=g（x）=2cos（2x+①函数的最小正周期T=②令2x+解得：x=无论k取何值，x③令解得：x=
+=kπ（k∈Z），
（k∈Z），
故B错误． （k∈Z）， （k∈Z），
对称． （k∈Z）， （k∈Z）， ]上是减函数．
）的图象， ，故A正确．
当k=0时，图象关于点④令解得：
当k=0时，函数x在[0，故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：函数图象的平移和伸缩变换，余弦函数性质单调性、对称性、周期性的应用．
第8页（共21页）
8．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a2﹣c2=2b，sinB=4cosA•sinC，则b=（ ） A． B． C．2
D．4
，由余弦定理整理可得：0=b2+2
【分析】由正弦定理化简已知等式可得：cosA=（c2﹣a2），结合a2﹣c2=2b，即可求得b的值． 【解答】解：∵sinB=4cosA•sinC，
∴由正弦定理可得：b=4ccosA，可得：cosA=∴由余弦定理可得：cosA=∵a2﹣c2=2b，
∴0=b2﹣4b=b（b﹣4）， ∴b=4，或0（舍去）． 故选：D．
=
，
，整理可得：0=b2+2（c2﹣a2），
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
9．（5分）已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，
，则
A．1
B．
C．2
D．3 |，|
|的模，求出
，
的夹角的余弦值，求出的值为（ ）
【分析】分别求出|
的值即可．
【解答】解：∵A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点， ∴|
|=2，|
，
|=2，而|＞=
|=2，
∴cos＜=﹣，
=（2017=2017
﹣2016+
•
）•（+，
）
﹣2016
第9页（共21页）
=2017×4+||•||cos＜，＞﹣2016×4
=4+4×（﹣） =2， 故选：C．
【点评】本题考查了向量的运算，考查向量夹角的余弦公式，是一道中档题．
10．（5分）《九章算术》中有这样一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．”则现有如下说法：①驽马第九日走了九十三里路；②良马五日共走了一千零九十五里路；③良马和驽马相遇时，良马走了二十一日．则错误的说法个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1=193，公差d1=13的等差数列，记其前n项和为Sn，驽马走的路程可以看成一个首项b1=97，公差为d2=﹣0.5的等差数列，记其前n项和为Tn，由等差数列的通项公式以及其前n项和公式分析三个说法的正误，即可得答案．
【解答】解：根据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1=193，公差d1=13的等差数列，记其前n项和为Sn，
驽马走的路程可以看成一个首项b1=97，公差为d2=﹣0.5的等差数列，记其前n项和为Tn，
依次分析3个说法：
对于①、b9=b1+（9﹣1）×d2=93，故①正确； 对于②、S5=5a1+
×d1=5×193+10×13=1095；故②正确；
对于③、设第n天两马相遇，则有Sn+Tn≥6000， 即na1+
d1+nb1+
d2≥6000，变形可得5n2+227n﹣4800≥0，
分析可得n的最小值为16，
故两马相遇时，良马走了16日，故③错误； 3个说法中只有1个错误；
第10页（共21页）
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与求和公式，关键要熟悉等差数列的通项公式和前n项和公式．
11．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1=2且Sn+1=2Sn，设bn=log2an，则A．
B．
C．
的值是（ ） D．
【分析】根据{Sn}为等比数列得出an，从而得出bn，利用列项法求出答案． 【解答】解：∵a1=2且Sn+1=2Sn，
∴{Sn}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴Sn=2n，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1， ∴an=
．
∴bn=log2an=∴+…+故选：B．
=1+1﹣
，
=1+=
．
+
+…+
=1+1﹣
【点评】本题考查了数列通项公式的求法与数列求和，属于中档题．
12．（5分）对于数列{xn}，若对任意n∈N*，都有xn+1＞列{xn}为“上凸数列”．设bn=2t﹣
成立，则称数
，若数列b5，b6，b7，…，bn（n≥5，n
∈N*）是“上凸数列”，则实数t的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】数列b5，b6，b7，…是“上凸数列”，可得n≥5时，得 bn+1＞
第11页（共21页）
，
代入化简即可得出．
【解答】解：数列b5，b6，b7，…是“上凸数列”，得bn+1＞即t﹣即
+
+t﹣
＞
＜2t﹣
，
，
，n≥5，
化简得t（n2﹣4n）＞n﹣2，
当n≥5时，若t（n2﹣4n）＞n﹣2恒成立， 则t＞
=
恒成立，
又当n≥5时，的最大值为，
则t的取值范围是（，+∞）， 故选：C．
【点评】本题考查了新定义问题、考查不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）各项为正数的等比数列{an}中，a2与a10的等比中项为log3a4+log3a8= ﹣1 ．
【分析】根据题意，由等比中项的性质可得a2a10=，又由等比数列的性质可得：a4a8=，结合对数的运算性质可得log3a4+log3a8=log3a4a8=log3，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a2与a10的等比中项为则有a2a10=，
又由等比数列的性质可得：a4a8=a2a10=， 则log3a4+log3a8=log3a4a8=log3=﹣1； 故答案为：﹣1．
【点评】本题考查等比数列的性质，注意分析数列的下标之间的关系．
第12页（共21页）
，则
，
14．（5分）已知函数f（x）=sin2x+2
为函数f（x）的一个零点，则
【分析】先根据三角函数的化简得到f（x）=2sin（2x﹣点得到sin（2x0﹣
=
，若 ．
）+，再根据函数零
）=﹣，最后由同角三角函数关系求得结果．
=
sin2x﹣
【解答】解：函数（x）=sin2x+2cos2x+=2sin（2x﹣令f（x0）=0， ∴2sin（2x0﹣∴sin（2x0﹣∵0≤x0≤∴﹣
）+=0， ）=﹣ ，
≤）=．
， =
，
）+，
≤2x0﹣
∴cos（2x0﹣故答案是：
【点评】本题考查额三角函数的化简，重点掌握二倍角公式，两角和的正弦和余弦公式，以及函数零点的问题，属于中档题．
15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（4a﹣3c）cosB=3bcosC，若a，b，c成等差数列，则sinA+sinC= ．
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得4sinAcosB=3sinA，结合sinA≠0，可得：cosB=，从而可求sinB，由2b=a+c，利用正弦定理即可计算得解．
【解答】解：在△ABC中，∵（4a﹣3c）cosB=3bcosC，
∴4sinAcosB﹣3sinCcosB=3sinBcosC，可得：4sinAcosB=3sin（B+C）=3sinA，
第13页（共21页）
∵sinA≠0，可得：cosB=， ∴sinB=
=
，
∵a，b，c成等差数列，2b=a+c， ∴2sinB=sinA+sinC=2×故答案为：
．
=
．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
n16．（5分）数列{an}满足an+1+（﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前100项和为 5050 ．
【分析】利用数列的递推关系式，求出相邻两项的和与差，推出奇数项与偶数项的数列关系，然后求解数列的和． 【解答】解：由题设知
a2﹣a1=1，①a3+a2=3 ②a4﹣a3=5 ③a5+a4=7，a6﹣a5=9，
a7+a6=11，a8﹣a7=13，a9+a8=15，a10﹣a9=17，a11+a10=19，a12﹣a11=21， …
∴②﹣①得a1+a3=2，③+②得a4+a2=8，同理可得a5+a7=2，a6+a8=24，a9+a11=2，a10+a12=40，…，
∴a1+a3，a5+a7，a9+a11，…，是各项均为2的常数列，a2+a4，a6+a8，a10+a12，… 是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{an}的前100项和为：25×2+25×故答案为：5050．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在等差数列{an}中，a1=﹣2，a12=20． （1）求数列{an}的通项an；
×25×24×16=5050．
第14页（共21页）
（2）若，求数列的前n项和．
【分析】（1）利用等差数列通项公式即可得出． （2）利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，则﹣2+11d=20，解得d=2． ∴an=﹣2+2（n﹣1）=2n﹣4． （2）a1+a2+…+an=∴∴
=3n﹣3．
=n﹣3，
=n2﹣3n．
数列的前n项和==．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，在多面体ABCDFE中，四边形ADFE是正方形，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，BC=2，G为BC中点，平面ADFE⊥平面ADCB． （1）证明：AC⊥BE；
（2）求三棱锥A﹣GFC的体积．
【分析】（1）连接DG，说明四边形ADCG为平行四边形，证明AC⊥DG，AC⊥AB，说明EA⊥AD，推出EA⊥平面ABCD，证明EA⊥AC，得到AC⊥平面ABE，即可证明AC⊥BE． （2）提供
，转化求解几何体的体积．
【解答】（1）证明：连接DG，因为AD=GC，AD∥GC，
所以四边形ADCG为平行四边形，
第15页（共21页）
又AD=CD，所以四边形ADCG为菱形，从而AC⊥DG， 同理可证AB∥DG，因此AC⊥AB，
由于四边形ADFE为正方形，所以EA⊥AD，又平面ADFE⊥平面ABCD， 平面ADFE∩平面ABCD=AD， 故EA⊥平面ABCD，从而EA⊥AC，
又EA∩AB=A，故AC⊥平面ABE，所以AC⊥BE．． （2）因为
所以，三棱锥A﹣GFC的体积为
．
，
．
【点评】本题考查直线与平面平行于垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
19．（12分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=（1）求证：
．
为等比数列，并求{an}的通项公式；
，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式
（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣2）•（﹣1）n•λ＜Tn+【分析】（1）an+1=数列
对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
，
=1+
，化简得：
=3（
），
以为首项，3为公比的等比数列，
，前n项和为Tn，Tn=1×
+2×
+3×
+…+，当当
（2）{bn}的通项公式（n﹣1）×
+n×
，采用乘以公比错位相减法，求得Tn=4﹣
n为偶数时，λ＜3，当n为奇数时，λ＞﹣2， 综上得：﹣2＜λ＜3．
第16页（共21页）
【解答】证明：（1）由∴∴数列
=∴（2）
=3（
），
＜0，得=，
=1+，
以为首项，3为公比的等比数列， 3n﹣1=， ，
+2×
+3×+n×，
+…+（n﹣1）×，
+n×
，
，
数列{bn}的前n项和为Tn，Tn=1×Tn=1×+2×
+3×
+…+（n﹣1）×+
+…+
+
两式相减：Tn=1++∴Tn=4﹣
，
，
（﹣1）n•λ＜4﹣
当n为偶数时，则λ＜4﹣当n为奇数时，﹣λ＜4﹣∴﹣2＜λ＜3．
，λ＜3，
，﹣λ＜2，λ＞﹣2，
【点评】本题考查求等比数列的通项公式，采用乘以公比错位相减法，求前n项和，属于中档题．
20．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=0，其中S是△ABC的面积，C=（1）求cosB的值； （2）若S=24，求a的值．
【分析】（1）首先利用向量的数量积和三角形的面积公式求出结果，求出tanA的值，进一步建立等量关系求出结果．
第17页（共21页）
•+
．
（2）利用三角形的面积公式和正弦定理建立方程组，进一步求出结果． 【解答】解：（1）知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=0， 则：即：
解得：tanA=3， 利用
=3，
，
，
•
+
所以：，
解得：，
cosB=﹣cos（A+C）=﹣[cosAcosC﹣sinAsinC]， =﹣（=
．
），
（2）已知S=24， 则：解得：ab=96由cosB=
， ，
，
，
，
得：sinB=
利用正弦定理得：整理得：
得：则：
b=2， ，
第18页（共21页）
解得：b=8所以：a=12
，
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，方程组的解法，属于基础题型．
21．（12分）已知圆心为C的圆过原点O（0，0），且直线2x﹣y+2=0与圆C相切于点P（0，2）． （1）求圆C的方程；
（2）已知过点Q（0，1）的直线l的斜率为k，且直线l与圆C相交于A，B两点．
①若k=2，求弦AB的长； ②若圆C上存在点D，使得
+
=
，求直线l的斜率k．
，解得D、E即
【分析】（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey=0，4+2E=0，∴
可；
（2）①直线l的方程为：y=2x+1，由圆心到直线l的距离为d=可得②由
+
=
=
．
，
，得四边形CADB为菱形，即C到直线AB的距离为半径的一半，
解得k．
设直线l的方程为：y=kx+1，
【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey=0， ∵点（0，2）在圆上，∴4+2E=0，∴E=﹣2， ∵直线2x﹣y+2=0与圆C相切，∴∴圆C的方程：x2+y2﹣4x﹣2y=0．
（2）①直线l的方程为：y=2x+1，即2x﹣y+1=0， 圆C的圆心为（2，1），半径为R=圆心到直线l的距离为d=
，解得D=﹣4，
， ，
第19页（共21页）
∴②如图，∵
+
==
．
，∴四边形CADB为菱形，
∴C到直线AB的距离为半径的一半， 设直线l的方程为：y=kx+1，
，
解得k=
，
．
∴直线l的斜率k为
【点评】本题考查了圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
22．（12分）函数f（x）满足：对任意α，β∈R，都有f（αβ）=αf（β）+βf（α），且f（3）=1．数列{an}满足an=f（3n）（n∈N*） （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=
，证明：b1+b2+b3+…+b2017＜89；
（3）令cn=（n∈N*），数列{}的前n项和为Tn，求证：对任意n
∈N*，都有 Tn＜2．
【分析】（1）令α=3n，β=3．则f（3n+1）=3nf（3）+3f（3n），由f（3）=1，an=f（3n），可得an+1=3an+3n，化为：出．
﹣
=，利用等差数列的通项公式即可得
第20页（共21页）
（2）bn===，n≥2时，bn＜
．=2．利用裂项
求和方法即可得出． （3）cn=
=3n．n≥2时，
=
≤
=
=．利用裂项求和方法即可得出．
【解答】（1）解：令α=3n，β=3．则f（3n+1）=3nf（3）+3f（3n），∵f（3）=1，an=f（3n），
∴an+1=3an+3n，化为：
﹣
=，∴
=+（n﹣1）=，可得an=n•3n﹣1．
（2）证明：bn===，n≥2时，bn＜
+…+
．=2
∴b1+b2+b3+…+b2017＜1+2
＜2×45﹣1=89．
（3）证明：cn=n≥2时，
．
∴n≥2时，数列{+…+
=2﹣
}的前n项和为Tn≤
＜2．
=3n．
=
≤
=1+2
==
+
∴对任意n∈N*，都有 Tn＜2．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、函数的性质、裂项求和方法、放缩方法、不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
第21页（共21页）
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容