曲线积分和曲面积分重点总结+例题

【教学目标与要求】

1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2.掌握计算两类曲线积分的方法。

3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。 4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。

【教学重点】

1.两类曲线积分的计算方法； 2.格林公式及其应用；

3. 第一类曲面积分的计算方法；

【教学难点】

1.两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系； 2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 6.两类曲线积分的计算方法；

7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；

【参考书】

[1]同济大学数学系.?高等数学〔下〕?，第五版.高等教育.

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[2] 同济大学数学系.?高等数学学习辅导与习题选解?，第六版.高等教育.

[3]同济大学数学系.?高等数学习题全解指南〔下〕?，第六版.高等教育

§11.1 对弧长的曲线积分

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量

设一曲线形构件所占的位置在xOy面的一段曲线弧L上曲线形构件在点(x,y)处的线密度为(x,y). 求曲线形构件的质量.

把曲线分成n小段,s1,s2,,sn(si也表示弧长); 任取(xi,hi)si, 得第i小段质量的近似值(xi,hi)si; 整个物质曲线的质量近似为M(i,i)si;

i1n 令l=max{s1,s2,,sn}0, 那么整个物质曲线的质量为

Mlim(i,i)si.

0i1n这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.

定义 设函数f(x,y)定义在可求长度的曲线L上,并且有界.，将L任意分成n个弧

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段:s1,s2,,sn,并用si表示第i段的弧长;在每一弧段si上任取一点(xi,hi),作和

f(i,i)si;令

i1nl=max{s1,s2,,sn},如果当l0时,这和的极限总存在,那么称此极限

为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分,记作

nLf(x,y)ds,即

limf(i,i)si. Lf(x,y)ds0i1其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段.

曲线积分的存在性:当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分在的. 以后我们总假定f(x,y)在L上是连续的.

根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分

Lf(x,y)ds是存

L(x,y)ds的值, 其中

(x,y)为线密度.

对弧长的曲线积分的推广:

limf(i,i,i)si. f(x,y,z)ds0i1n 如果L(或)是分段光滑的 那么规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,那么规定

LL12f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds.

L1L2闭曲线积分:如果L是闭曲线,那么函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

Lf(x,y)ds.

对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c1、c2为常数 那么

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L[c1f(x,y)c2g(x,y)]dsc1Lf(x,y)dsc2Lg(x,y)ds;

性质2 假设积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 那么

Lf(x,y)dsLf(x,y)dsL1f(x,y)ds

2 性质3设在L上f(xy)g(xy) 那么

Lf(x,y)dsLg(x,y)ds

特别地 有

|f(x,y)ds||f(x,y)|ds

LL二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x,y) 那么曲线形构件

L的质量为

Lf(x,y)ds.

xj(t),yy (t) (atb),

另一方面,假设曲线L的参数方程为

那么质量元素为

f(x,y)dsf[(t), (t)]2(t)2(t)dt,

曲线的质量为

f[(t), (t)]2(t)2(t)dt.

即

Lf(x,y)dsf[(t), (t)]2(t)2(t)dt.

定理设f(xy)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为x=j(t),y=y(t) (atb), 其中j(t)、y(t)在[a,b]上具有一阶连续导数,且j2(t)+y2(t)0,那么曲线积分

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Lf(x,y)ds存

在,且

L

f(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt(a应注意的问题:定积分的下限a一定要小于上限b. 讨论:

(1)假设曲线L的方程为y=y(x)(axb),那么提示:L的参数方程为x=x,y=y(x)(axb),

Lf(x,y)ds=?

Lf(x,y)dsaf[x,(x)]12(x)dx.

(2)假设曲线L的方程为x=j(y)(cyd),那么提示:L的参数方程为x=j(y),y=y(cyd),

bLf(x,y)ds=?

Lf(x,y)dsc那么

df[(y),y]2(y)1dy.

(3)假设曲G的方程为x=j(t),y=y(t),z=w(t)(atb),

f(x,y,z)ds=?

提示:

f(x,y,z)dsf[(t),(t),(t)]2(t)2(t)2(t)dt.

 例1计算

L2yds,其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧.

解曲线的方程为y=x2 (0x1),因此

Lydsx011(x)dxx14x2dx1(551).

012221例2计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1) 解取坐标系如下图,那么ILy2ds.曲线L的参数方程为

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x=Rcosq,y=Rsinq (-aq于是ILy2dsR2sin2(Rsin)2(Rcos)2d

R3sin2d=R3(a-sina cosa).

例3 计算曲线积分

(x2y2z2)ds,其中G为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应

于t从0到达2的一段弧.

解 在曲线上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(kt)2=a2+k 2t 2,并且

ds(asint)2(acost)2k2dta2k2dt,

于是

(x2yz)ds(a2k2t2)a2k2dt

22202a2k2(3a242k2). 3

小结

用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分;

(2)写出曲线的参数方程( 或直角坐标方程) ,确定参数的变化围; (3)将曲线积分化为定积分;

(4)计算定积分.

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

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x2y21周长为a，求(2xy3x24y2)ds。 1.椭圆L:43L2.设C是由极坐标系下曲线ra,0及所围成区域的边界，求

Iex2y2ds

C讲课提纲、板书设计

作业 P190: 3〔1〕〔3〕〔5〕〔7〕

§11. 2 4

对坐标的曲线积分

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一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功:

设一个质点在xOy面在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,试求变力F(x,y)所作的功.

用曲线L上的点A=A0,A1,A2,,An-1,An=B把L分成n个小弧段, 设Ak=(xk,yk),有向线段AkAk1的长度为sk,它与x轴的夹角为tk,那么 AkAk1{cosk,sink}sk(k=0, 1, 2,,n-1).

显然,变力F(x,y)沿有向小弧段Ak Ak1所作的功可以近似为 F(xk,yk)AkAk1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk;

于是,变力F(x,y)所作的功 Wn1F(xk,yk)AkAk1k1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk,

k1n1从而

WL[P(x,y)cosQ(x,y)sin]ds.

这里t=t(x,y), {cost, sint}是曲线L在点(x,y)处的与曲线方向一致的单位切向量. 把L分成n个小弧段L1, L2,, Ln;变力在Li上所作的功近似为:

F(xi,hi)si=P(xi,hi)xi+Q(xi,hi)yi;

变力在L上所作的功近似为:

[P(i,i)xiQ(i,i)yi];

i1n 变力在L上所作的功的准确值:

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Wlim[P(i,i)xiQ(i,i)yi],

0i1n其中是各小弧段长度的最大值. 提示:

用si={xi,yi}表示从Li的起点到其终点的的向量.用si表示si的模. 对坐标的曲线积分的定义:

定义 设函数f(x,y)在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1, L2,, Ln;小弧段

Li的起点为(xi-1,yi-1),终点为(xi,yi),xi=xi-xi-1,yi=yi-yi-1; (xi,h)为Li上任意一点,l为各小弧段

长度的最大值. 如果极限limf(i,i)xi总存在,那么称此极限为函数f(x,y)在有向曲线L上对坐标x0i1n的曲线积分,记作

limf(i,i)xi, Lf(x,y)dx,即Lf(x,y)dx0i1n设L为xOy面上一条光滑有向曲线, {cost, sint}是与曲线方向一致的单位切向量,函数

P(x,y)、Q(x,y)在L上有定义.如果以下二式右端的积分存在,我们就定义

LP(x,y)dxLP(x,y)cosds, LQ(x,y)dyLQ(x,y)sinds,

前者称为函数P(x,y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,后者称为函数Q(x,y)在有向曲线

L上对坐标y的曲线积分,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.

定义的推广:

设G为空间一条光滑有向曲线, {cosa, cosb, cosg}是曲线在点(x,y,z)处的与曲线方向一致

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的单位切向量,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在G上有定义.我们定义(假设各式右端的积分存在)

P(x,y,z)dxP(x,y,z)cosds, Q(x,y,z)dyQ(x,y,z)cosds, R(x,y,z)dzR(x,y,z)cosds.

limf(i,i,i)xi,f(x,y,z)dylimf(i,i,i)yi, Lf(x,y,z)dxL00i1i1limf(i,i,i)zi. Lf(x,y,z)dz0i1对坐标的曲线积分的简写形式:

nnnLP(x,y)dxLQ(x,y)dyLP(x,y)dxQ(x,y)dy; P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz.

对坐标的曲线积分的性质:

(1) 如果把L分成L1和L2,那么

LPdxQdyLPdxQdyLPdxQdy.

12 (2) 设L是有向曲线弧,-L是与L方向相反的有向曲线弧,那么

LP(x,y)dxQ(x,y)dLP(x,y)dxQ(x,y)dy.

两类曲线积分之间的关系:

设{costi, sinti}为与si同向的单位向量,我们注意到{xi,yi}=si, 所以

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xi=costisi,yi=sintisi,

limf(i,i)xi Lf(x,y)dx0i1limf(i,i)cosisif(x,y)cosds,

0i1Lnnlimf(i,i)yi Lf(x,y)dy0i1limf(i,i)sinisif(x,y)sinds.

0i1Lnn即

LPdxQdyL[PcosQsin]ds, L或AdrAtds.

其中A={P,Q},t={cost, sint}为有向曲线弧L上点(x,y)处单位切向量,dr=tds={dx,dy}. 类似地有

LPdxQdyRdz[PcosQcosRcos]ds,

或

AdrAtdsAtds.

其中A={P,Q,R},T={cosa, cosb, cosg}为有向曲线弧G上点(x,y,z)处单们切向量,dr=Tds={dx,dy,dz },At为向量A在向量t上的投影.

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二、对坐标的曲线积分的计算:

定理:设P(x,y)、Q(x,y)是定义在光滑有向曲线L:x=j(t),y=y(t),上的连续函数,当参数t单调地由a变到b时,点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B,那么

LP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dt, LQ(x,y)dyQ[(t),(t)](t)dt.

讨论:提示:

LP(x,y)dxQ(x,y)dy=？

LP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt.

定理: 假设P(x,y)是定义在光滑有向曲线L: x=j(t),y=y(t)(atb)上的连续函数,L的方向与

t的增加方向一致,那么

LP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dt.

简要证明: 不妨设ab.对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{j(t),y(t)}, 所以cos(t),

22(t)(t)从而

LP(x,y)dxLP(x,y)cosds

(t)2(t)2(t)dt

2(t)2(t)P[(t),(t)]P[(t),(t)](t)dt.

应注意的问题:

下限a对应于L的起点,上限b对应于L的终点,a不一定小于b.

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讨论:

假设空间曲线G由参数方程x=jt),y =y (t),z=w(t)给出,那么曲线积分

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz=？

如何计算？ 提示:

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

(t)R[(t),(t),(t)](t)}dt, {P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)] 其中a对应于G的起点,b对应于G的终点. 例题: 例1.计算例2.计算

Lxydx,其中L为抛物线y=x上从点A(1,-1)到点B(1, 1)的一段弧.

2

Ly2dx.

(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2; (2)从点A(a, 0)沿x轴到点B(-a, 0)的直线段. 例3 计算

L2xydxx2dy. (1)抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (2)抛物线

x=y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (3)从O(0, 0)到A(1, 0), 再到R (1, 1)的有向折线OAB.

例4.计算

x3dx3zy2dyx2ydz,其中G是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段AB.

例5.设一个质点在M(x,y)处受到力F的作用,F的大小与M到原点O的距离成正比,F的

x2y21方向恒指向原点.此质点由点A(a, 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点B(0,b),求力

ab2F所作的功W.

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小结

1.第二类曲线积分的定义； 2. 第二类曲线积分的计算方法。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意第二类曲线积分的定义和计算方法，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1. 为折线ABCOA，计算Idxdyydz

讲课提纲、板书设计

作业 P200: 3〔1〕〔3〕〔5〕〔7〕，4

§11.3 格林公式及其应用

一、格林公式 单连通与复连通区域:

设D为平面区域,如果D任一闭曲线所围的局部都属于D,那么称D为平面单连通区域,否那么称为复连通区域.

对平面区域D的边界曲线L 我们规定L的正向如下当观察者沿L的这个方向行走时D在

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他近处的那一局部总在他的左边 区域D的边界曲线L的方向:

定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,那么有

(DQP)dxdyPdxQdy,

Lxy其中L是D的取正向的边界曲线.

简要证明:仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进展证明.

设D={(x,y)|j1(x)yj2(x),axb}.因为

P连续,所以由二重积分的计算法有 yPdxdyb{2(x)P(x,y)dy}dxb{P[x,(x)]P[x,(x)]}dx. 21ya1(x)yaD另一方面,由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

PdxPdxPdxP[x,1(x)]dxP[x,2(x)]dx

LL1L2abba{P[x,1(x)]P[x,2(x)]}dx.

ab因此

PdxdyPdx.

LyD设D={(x,y)|y1(y)xy2(y),cyd}.类似地可证

QxdxdyLQdx.

D由于D即是X－型的又是Y－型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得

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QPdxdyPdxQdy. LxyD应注意的问题:

对复连通区域D,格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D来说都是正向.

设区域D的边界曲线为L 取P=-y,Q=x,那么由格林公式得

2dxdyxdyydx, 或Adxdy1xdyydx.

L2LDD例1.椭圆x=a cosq,y=b sinq所围成图形的面积A. 分析:只要

QPQ1, 就有(P)dxdydxdyA. xyxyDD例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线,证明

L2xydxx2dy0.

例3.计算

eydxdy,其中D是以O(0, 0),A(1, 1),B(0, 1)为顶点的三角形闭区域.

D2分析要使

QPy22e,只需P=0,Qxey. xyxdyydxLx2y2,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方

例4计算

向为逆时针方向.

yQy2x2Px22解: 令P2,Q2.那么当x+y0时,有. x(x2y2)2yxy2xy216 / 29

记L所围成的闭区域为D.当(0, 0)D时,由格林公式得

xdyydxLx2y20;

当(0, 0)D时, 在D取一圆周l:x2+y2=r 2(r>0).由L及l围成了一个复连通区域D 1,应用格林公式得

xdyydxxdyydxLx2y2lx2y20,

其中l的方向取逆时针方向.

xdyydxxdyydx2r2cos2r2sin2d=2. 于是 220Lx2y2lxyr2记L所围成的闭区域为D. 当(0, 0)D时,由格林公式得

xdyydxQP(Lx2y2xy)dxdy0 DyQy2x2Px22分析这里P2,Q2 当x+y0时,有. x(x2y2)2yxy2xy2二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关:

设G是一个开区域,P(x,y)、Q(x,y)在区域G具有一阶连续偏导数.如果对于G任意指定的两个点A、B以及G从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2,等式

LPdxQdyLPdxQdy

12恒成立,就说曲线积分设曲线积分

LPdxQdy在G与路径无关,否那么说与路径有关.

1和

LPdxQdy在G与路径无关,LL 2是G任意两条从点A到点B的曲线,那

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么有

LPdxQdyLPdxQdy,

12因为

LPdxQdyLPdxQdyLPdxQdyLPdxQdy0

1212

LPdxQdyL12PdxQdy0L1(L2)PdxQdy0,

所以有以下结论: 曲线积分

LPdxQdy在G与路径无关相当于沿G任意

LPdxQdy等于零.

闭曲线C的曲线积分

定理2 设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y)及Q(x,y)在G具有一阶连续偏导数,那么曲线积分

LPdxQdy在G与路径无关〔或沿G任意闭曲线的曲线积分为零〕的充分必要

条件是等式

PQ yx在G恒成立. 充分性易证:

假设

PQ,那么QP0,由格林公式,对任意闭曲线L,有 yxxyQPPdxQdydxdy0. LxyD必要性:

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假设存在一点M0G,使

QPQP0,不妨设h>0,那么由的连续性,存在M0xyxyQP. 于是沿邻域U(M0, d)边界l 的闭曲线xy2的一个d邻域U(M0, d),使在此邻域有积分

PdxQdylU(M0,)(QP)dxdy20 xy2QP0. xy这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此在G应注意的问题:

定理要求,区域G是单连通区域,且函数P(x,y)及Q(x,y)在G具有一阶连续偏导数.如果这两个条件之一不能满足,那么定理的结论不能保证成立. 破坏函数P、Q及例5计算解:因为

PQ、连续性的点称为奇点. yx2上从

L2xydxx2dy, 其中L为抛物线y=xO(0, 0)到B(1, 1)的一段弧.

PQ2x在整个xOy面都成立,

yx所以在整个xOy面,积分

L2xydxx2dy与路径无关.

L2xydxx2dyOA2xydxx2dyAB2xydxx2dy

12dy1.

01讨论: 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向, 问

xdyydxLx2y20是否一定成立？

19 / 29

提示:这里Pyx在点(0, 0)不连续.

Q和2xy2x2y2因为当x2+y20时,

Qy2x2P, 所以如果(0, 0)不在L所围成的区域,那么结论成x(x2y2)2y立,而当(0,0)在L所围成的区域时, 结论未必成立. 三、二元函数的全微分求积

曲线积分在G与路径无关, 说明曲线积分的值只与起点从点(x0,y0)与终点(x,y)有关. 如果

LPdxQdy与路径无关,那么把它记为(x,y)(x0,y0)PdxQdy

即

LPdxQdy(x,y)(x0,y0)PdxQdy.

假设起点(x0,y0)为G的一定点,终点(x,y)为G的动点,那么

u(x,y)(x,y)PdxQdy

00(x,y)为G的的函数.

二元函数u(x,y)的全微分为du(x,y)=ux(x,y)dx+uy(x,y)dy.

表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy与函数的全微分有一样的构造, 但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？

定理3 设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y)及Q(x,y)在G具有一阶连续偏导数,那么

P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G为某一函数u(x,y)的全微分的充分必要条件是等式

PQ

yx在G恒成立.

20 / 29

简要证明:

必要性:假设存在某一函数u(x,y),使得du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy, 那么有

P(u)2u,Q(u)2u.因为2uP、2uQ连续, 所yyxxyxxyyxxyyyxx22Quu,即P以.

yxxyyx充分性:因为在GPQ, 所以积分P(x,y)dxQ(x,y)dy在G与路径无关.在G从点

Lyx(x0,y0)到点(x,y)的曲线积分可表示为u(x,y)因为 u(x,y)y(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy.

00(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy

00(x,y)Q(x0,y)dyP(x,y)dx,

y0x0xuyQ(x,y)dyxP(x,y)dxP(x,y).

0xxy0xx0uQ(x,y) 类似地有,从而du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.即P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某一函

y所以 数的全微分. 求原函数的公式:

u(x,y)(x,y)(x0,y0)xx0yP(x,y)dxQ(x,y)dy,

yy0xu(x,y)P(x,y0)dxQ(x,y)dy, u(x,y)Q(x0,y)dyP(x,y)dx.

y0x0例6 验证

xdyydx在右半平面(x>0)是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.

x2y2yx

Q,

x2y2x2y221 / 29

解: 这里P 因为P、Q在右半平面具有一阶连续偏导数 且有

Qy2x2P x(x2y2)2y所以在右半平面,

xdyydx是某个函数的全微分.

x2y2 取积分路线为从A(10)到B(x0)再到C(xy)的折线 那么所求函数为

u(x,y)(x,y)(1, 0)yxdyxdyydxy0. arctan0x2y2x2y2x问:为什么(x0,y0)不取(0, 0)?

例7验证:在整个xOy面,xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数. 解这里P=xy2,Q=x2y

因为P、Q在整个xOy面具有一阶连续偏导数 且有

Q2xyP xy所以在整个xOy面,xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分.

取积分路线为从O(00)到A(x0)再到B(xy)的折线 那么所求函数为

u(x,y)(x,y)(0, 0)xydxxydy0xydyx220y220yx2y2ydy.

2思考与练习:

1.在单连通区域G,如果P(x,y)和Q(x,y)具有一阶连续偏导数,且恒有(1)在G的曲线积分

QP,那么 xyLP(x,y)dxQ(x,y)dy是否与路径无关? LP(x,y)dxQ(x,y)dy是否为零?

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(2)在G的闭曲线积分

(3) 在GP(x,y)dx+Q(x,y)dy是否是某一函数u(x,y)的全微分? 2.在区域G除M0点外,如果P(x,y)和Q(x,y)具有一阶连续偏导数,且恒有不含M0的单连通区域,那么 (1)在G 1的曲线积分

QP,G1是GxyLP(x,y)dxQ(x,y)dy是否与路径无关? LP(x,y)dxQ(x,y)dy是否为零?

(2)在G 1的闭曲线积分

(3) 在G 1P(x,y)dx+Q(x,y)dy是否是某一函数u(x,y)的全微分? 3. 在单连通区域G,如果P(x,y)和Q(x,y)具有一阶连续偏 导数,

PQ,但QP非常简单,那么 yxxy(1)如何计算G的闭曲线积分? (2)如何计算G的非闭曲线积分? (3)计算

L(exsiny2y)dx(excosy2)dy,其中L为逆时针方向的

QPPdxQdyLDxydxdy上半圆周(x-a)2+y2=a 2,y0,

小结

1.格林公式

2. 格林公式中的等价条件。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意格林公式和其中的等价条件，要结合实例，反复讲解。

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师生活动设计 讲课提纲、板书设计

作业 P214: 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)

§11.4对面积的曲面积分

一、对面积的曲面积分的概念与性质

物质曲面的质量问题:设S为面密度非均匀的物质曲面,其面密度为r(x,y,z),求其质量:把曲面分成n个小块:S1,S2 ,,Sn(Si也代表曲面的面积);求质量的近似值:

(i,i,i)Sii1nn((xi,hi,zi )是Si上任意一点);取极限求准确

值:Mlim(i,i,i)Si(l为各小块曲面直径的最大值).

0i1定义设曲面S是光滑的,函数f(x,y,z)在S上有界.把S任意分成n小块:S1,S2 ,,Sn(Si也代表曲面的面积) 在Si上任取一点(xi,hi,zi ) 如果当各小块曲面的直径的最大值0

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时 极限limf(i,i,i)Si总存在 那么称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积的曲

0i1n面积分或第一类曲面积分 记作

nf(x,y,z)dS,即

limf(i,i,i)Si. f(x,y,z)dS0i1其中f(x,y,z)叫做被积函数,S叫做积分曲面. 对面积的曲面积分的存在性:

我们指出当f(x,y,z)在光滑曲面S上连续时对面积的曲面积分是存在的.今后总假定f(x,y,z)在S上连续.

根据上述定义面密度为连续函数r(x,y,z)的光滑曲面S的质量M可表示为r(x,y,z)在S上对面积的曲面积分:

Mf(x,y,z)dS

如果S是分片光滑的我们规定函数在S上对面积的曲面积分等于函数在光滑的

各片曲面上对面积的曲面积分之和.例如设S可分成两片光滑曲面S1及S2(记作SS1S2)就规定

12f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS.

12对面积的曲面积分的性质: (1)设c 1、c 2为常数 那么

[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dSc1f(x,y,z)dSc2g(x,y,z)dS

25 / 29

(2)假设曲面可分成两片光滑曲面S1及S2 那么

f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS

12(3)设在曲面上f(xyz)g(xyz) 那么

f(x,y,z)dSg(x,y,z)dS

(4)

dSA 其中A为曲面的面积

 二、对面积的曲面积分的计算

面密度为f(x,y,z)的物质曲面的质量为Mlimf(i,i,i)Si0i1nf(x,y,z)dS.

另一方面,如果S由方程z=z(x,y)给出,S在xOy面上的投影区域为D, 那么 曲面的面积元素为

2dA1zx(x,y)z2y(x,y)dxdy,

质量元素为

2f[x,y,z(x,y)]dAf[x,y,z(x,y)]1zx(x,y)z2y(x,y)dxdy.

根据元素法, 曲面的质量为

2Mf[x,y,z(x,y)]1zx(x,y)z2y(x,y)dxdy.

D因此

y(x,y)dxdy. f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]1zx2(x,y)z2D化曲面积分为二重积分:设曲面S由方程z=z(x,y)给出,S在xOy面上的投影区域为Dxy,函数z=z(x,y)在Dxy上具有连续偏导数,被积函数f(x,y,z)在S上连续 那么

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22f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]1z(x,y)zxy(x,y)dxdy. Dxy 如果积分曲面S的方程为y=y(z,x)Dzx为在zOx面上的投影区域 那么函数f(x,y,z)在S上对面积的曲面积分为

f(x,y,z)dSf[x,y(z,x),z]Dzx221yz(z,x)yx(z,x)dzdx.

如果积分曲面S的方程为x=x(y,z),Dyz为在yOz面上的投影区域那么函数f(x,y,z)在S上对面积的曲面积分为

22f(x,y,z)dSf[x(y,z),y,z]1x(y,z)x(y,z)dydz. yzDyz例1计算曲面积分

1dS,其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面

zz=h(0ha)截出的顶部.

解S的方程为za2x2y2,Dxy:x2+y2a2-h2. 因为 zxyx,zy,

222222axyaxyadxdy

222axy2dS1zxz2ydxdy所以

21dSaza2x2y2dxdy

Dxya2h2ad00rdr1ln(a2r2)]a2h22alna.

2a[0a2r2h22y2xa1222222

222axyaxyaxy提示

21zxz2y27 / 29

例2 计算界曲面.

xyzdS,其中S是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边

解整个边界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的局部依次记为S1、S2、S3及S4,于是

xyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdS

1234000xyzdS3xy(1xy)dxdy

4Dxy3xdx011x0(1x)3dx3. y(1xy)dy3x061201提示S4z1xy

22dS1zxzydxdy3dxdy

小结

1. 对面积的曲面积分的定义和计算 2. 格林公式中的等价条件。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式，简化计算的技巧. ，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

课后习题：1，3，7

讲课提纲、板书设计

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作业 P218: 4(3); 5(2);6(1), (3), (4);8

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