初一数学有理数(绝对值与乘方)

初一数学——有理数（绝对值与乘方）

一、考点、热点回顾

正整数(如:1,2,3) 整数零(0)负整数(如:1,2,3)※ 有理数11 正分数(如:,,5.3,3.8)23 11分数负分数(如:,,2.3,4.8) 23

第二章 有理数及其运算

※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 ※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）

※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0）

※在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。 ¤数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。

※绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。 ※正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。

a(a0)a(a0)|a|0(a0) 或 |a|

a(a0)a(a0)越来越大 -3 -2 -1 0 1 2 3 ※绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；

互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0

※比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小；

③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 ※绝对值的性质：

①对任何有理数a，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b，则a=±b

④对任何有理数a,都有|a|=|-a|

※有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。

③一个数同0相加，仍得这个数。

※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 ¤灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加；

. s ..

. ..

④几个数相加能得到整数，可以先相加。

※有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 ¤有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号； ②改变减数的性质符号（变为相反数）

有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。 ¤有理数的加减法混合运算的步骤：

①写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；

②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。 （注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。） ※有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘，积仍为0。

※如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。（如：-2与

135 、 与…等） 253※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。

¤有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号； ②求出各因数的绝对值的积。 ¤乘积为1的两个有理数互为倒数。注意： ①零没有倒数

②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。 ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

※有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 ②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。

n个a※有理数的乘方   指数 n aaaa底数

幂 1

※注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=5；

②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。 ※乘方的运算性质：

①正数的任何次幂都是正数；

②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③任何数的偶数次幂都是非负数；

④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0； ⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；

⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 ※有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。

a二、典型例题

和绝对值有关的问题

例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：

则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）

. s ..

. ..

A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． B 练习:表示数a、b、c、d的点在数轴上的位置，如图所示：

化简│b-c│-│a-2c│-•│d+b│+│d│．

例2．已知：x0z，xy0，且yzx， 那么xzyzxy

的值（ ）

A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号 练习：计算|

111111-|+|-|-|-|。

200620052007200620072005

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

练习：如果abc0，求

例4．（整体的思想）方程x20082008x 的解的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个

练习：绝对值不小于3但小于5的所有整数的乘积为________； 例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相反数，试求下式的值．

|a||b||c|的值。 abc111aba1b1a2b2

练习：若│a-1│+│ab-2│=0，求

1a2007b2007

11的值．

(a1)(b1)(a2004)(b2004) . s ..

. ..

若x=-

，化简│x+1│-│x+2│+│x+3│-│x+4│+…-│x+10│得（ ） 2 （A）2x+7 （B）2x-7 （C）-2x-7 （D）-2x+7

2aabb23例6．已知a与b互为相反数，且│a-2b│=，求代数式2的值．

aabb12

练习：已知a+│5a-4b+3│=0，求a 已知式子

2

2006

-8b3的值．

abab2

的最大值为p，最小值为q，求代数式669p-q的值． |a||b||ab|

1.若a、b为有理数,a2b2,则a、b的关系是 （ ） A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、相等或互为相反数

2.某地遭遇旱灾，约10万人的生活受到严重影响，现调拨一批粮食救济灾区人民的生活，

若这批粮食可供灾区人民生活20天，平均每人每天需0.5千克，则这批救济粮约为 （ ）

A、1.0106千克 B、1.0105千克

. s ..

. ..

C、1.0107千克 D、1.0108千克

3.m为任意有理数，下列说法正确的是 （ ） A、m12的值总是正的 B、m21的值总是正的 C、m12的值总是负的 D、1m2的值总比1小

4.下列各数按从小到大的顺序排列正确的是 ( ).

A..（-0.2）3

<0.54

<(-0.3)

4

B.-0.54<(0.3)4<(-0.2)3

C.-0.54<(-0.2)3<(-0.3)4

D.(0.3)4<-0.54<(-0.2)3

5.设n是一个正整数，则10n是 ( )

A..10个n相乘所得的积； B.是一个n位的整数； C.10的后面有n个零的数；

D.是一个(n+1)位的整数.

6.下列各式中，计算结果得零的是 （ ）.

A．-22+（-2）2

B．-22-22

C．-22-（-2）2

D．（-2）2-（-22）

7.若x2+32y=0,则yx2=_______。

8.地球离太阳约有一亿五千万千米，用科学记数法可记为 千米.

9.把下列各数写成科学记数法：800＝___________，613400＝___________。 27. 85(1413)(15)2(23)3 28. 23(2)3(6)(0.9)2(0.3)

. s ..

. ..

42(23)2(3) 30. 42(2)3(2)2(1)(46)2 29. (5)32

35332217631、42

32、地球上的植物每年能生产1.651017克即6.61017大卡的有机物质，但实际上人类只能利用其

1，即6.61016大卡，若每人每天消耗2200大卡植物能量，试问地球上最10多可以养活多少亿人口？（6分）

三、课后练习

1、如图，有理数a,b在数轴上的位置如图所示：

-2a-10b1则在ab,b2a,ba,ab,a2,b4中，负数共有（ ） A．3个 B．1个 C．4个 D．2个 2、若m是有理数，则mm一定是（ ）

. s ..

. ..

A．零 B．非负数 C．正数 D．负数

3、如果x2x20，那么x的取值范围是（ ） A．x2 B．x2 C．x2 D．x2

4、a,b是有理数，如果abab，那么对于结论（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数，其中（ ）

A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）（2）都正确 D．（1）（2）都不正确 5、已知aa，则化简a1a2所得的结果为（ ） A．1 B．1 C．2a3 D．32a

6、已知0a4，那么a23a的最大值等于（ ） A．1 B．5 C．8 D．9 7、已知a,b,c都不等于零，且xabcabc，根据a,b,c的不同取值，x有（ ） abcabcA．唯一确定的值 B．3种不同的值 C．4种不同的值 D．8种不同的值 8、满足abab成立的条件是（ ） A．ab0 B．ab1 C．ab0 D．ab1 9、若2x5，则代数式

x5x5ababx22xxx的值为 。

10、若ab0，则

aabb的值等于 。

11、已知a,b,c是非零有理数，且abc0,abc0，求

abcabc的值。 abcabc12、已知a,b,c,d是有理数，ab9,cd16，且abcd25，求badc的值。

11、计算515的结果是 （ ）

511A、－5 B、5 C、 D、－

55162.下列计算正确的是 ( )

. s ..

. ..

A..-52×(-

1)=-1 25

B.25×(-0.5)5=-1

3523D.()2÷(1÷2)=

559C.-24×(-3)2=144

3.如果一个有理数的偶次幂是正数，那么这个有理数 ( ).

A..一定是正数; B.是正数或负数; C.一定是负数;

D.可以是任意有理数.

4.下列结论正确的是 ( )

A..若a2

=b2

，则a=b;

B.若a>b，则a2>b2;

C.若a，b不全为零，则a2+b2>0;

D.若a≠b，则 a2≠b2. 5、 －0.5的倒数是 ，0.52= ，0.53= 。

6.在1:5000000的地图上量得A、B两地的距离是2.1cm，用科学记数法表示A，实际距离是__________m

7.已知x29，则x=____________，若x3(4)3，x=__________。

23. 141722(3)2 24. (81)9559(5)2

71125. (23)222(6)(13) 26. 6(63)31435

. s

两地的 ..

B . ..

. s ..