《高等数学(下)》期末测试卷及答案详解

特别提示：请诚信应考,考试违纪或作弊将带来严重后果！

2007－2008学年第二学期 《高等数学》期末试卷（本A）

注意事项：1. 考前请将密封线内的各项内容填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共九大题，满分100分，考试时间120分钟。

题号 分数 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 阅卷人 一、填空。（163＝48分）

4xy21、函数z的定义域为___________。

ln(1x2y2)2、极限

(x,y)(0,0)lim(xy)sin1_________。

x2y23、函数zsinexy,则dz___________。

2z4、设zf(xy),其中f具有二阶导数，则2__________。

y225、积分I10dxeydy__________。

x12226、设质点在空间中的位置函数rf(t)(t1,4t,t1)，则质点在时刻t2秒时的速

度大小为_________。

7、设L是任意一光滑曲线，若线积分8、

aLxydxexdy与积分路径无关，则a_____。

eLx2y2ds_____，其中L为圆周xacost,yasint,(0t2)。

9、曲面uxyz在点（1，1，1）处沿函数增加最快的方向的方向导数为_______。

《高等数学》期末试卷A 第 1 页 共 9 页

10、曲面ezzxy3在点（2，1，0）处的法线方程为_____________。 11、已知为半径为R的球体，取其外侧球面，则

 xdydzydzdxzdxdy_____。

12、数项级数

(1)n1n1（绝对还是条件）______收敛。 lnn13、

1的幂级数展式为______________________。 214x14、设a、b、c为单位向量，且满足abc0，则a.bb.cc.a_____。 15、设f(x)是周期为2的函数，且它在,上的表达式为f(x)1,x0，

2,0x则由收敛定理，f(x)的傅丽叶级数在xk(kz)处收敛于______。 16、已知直线L1:x2y1z1，平面S:xyz0，则线面之间的位置关系为123_________。

二、已知ABC三边分别为a、b、c，面积为S,从其内部的动点P向三边作垂线，试问

当三条垂线长分别为多少时，它们的乘积最大。（8分）

三、利用重积分计算半球面1:x2y2z22(z0)和锥面2:z立体的体积。（8分）

x2y2所围成的《高等数学》期末试卷A 第 2 页 共 9 页

x2n四、求幂级数的和函数。（8分）

2n1n1

五、已知空间中点P(1,2,0)及平面S:x2yz10。求（1）过点P且垂直于平面的直线方程；（2）点P在平面上的投影坐标。（8分）

《高等数学》期末试卷A 第 3 页 共 9 页

六、已知柱面方程为x2y2a2，平面xyza。求两曲面交线所围平面区域的面积。（8分）

七、用格林公式计算:

(2xy4)dx(5y3x6)dy，其中L为三顶点分别为(0,0)，

L(3,0)，和(3,2)的三角形正向边界。（4分）

八、计算曲面积分

《高等数学》期末试卷A 第 4 页 共 9 页

(x2y2z2)dS，其中:zx2y2(x2y21)。（8分）

九、附加题：设f(x)是[0,1]上的连续函数，证明：之转化为二重积分进行计算）（8分）

10（提示：将ef(x)dxef(y)dy1。

01

《高等数学》期末试卷A 第 5 页 共 9 页

《高等数学》(A)（工科本科）参考答案及评分标准

一 填空题（每小题3分，共48分）

1、 (x,y)0x2y21且y4x2；2 、0 ；3、exycosexy(ydxxdy)；

14、2f'4y2f''；5、(e1)；6、43；7、e；8、2aea；9、3；

2x2y1z431；11、R；12、条件；13、(4)nx2n(x)； 10、12032n014、33；15、；16、平行

22

二 （本题8分）

解：设三垂线长度分别为x,y,z，其乘积为P，则由已知得

目标函数：Pxyz………………………………………………….1分

条件:axbycz2S,……………………………………………….2分 作拉格朗日函数: L(x,y,z,)xyz(axbycz2S)…………………..3分 并令LxLyLZL0得

2Sxyza03axzb02Sy解得 …………………………….7分 3bxyc02Saxbycz2Sz3c由已知,该问题确实存在最大值且在内部取得.所以,当三垂线长度分别为

2S2S2S,,,它们的乘积最大……………………………………………………8分 3a3b3c

三 、（本题8分）

解：设两曲面所围立体为，则

V.2分 dxdy……………………………………dz《高等数学》期末试卷A 第 6 页 共 9 页

1:x2y2z22(z0);2:zx2y2 易得投影Dxy:x2y21…….3

分

所以 Vdxdydzdd00212122dz…………………………………5分

=d(22)dp…………………………………………6分

004 =(21)…………………………………………………………8分

3 四、（本体满分8分）

x2n解:令S(x).易求得其收敛域为Ixx1……………………….2分

n12n1(1) 当x0时,显然有S(0)0;………………………………………………….3分

s(x)x2n1(2) 当x0时,有也收敛………………………………………4分 x2n1n1s(x)x2n11………………………………… 6分 ()'()x2n22x1xn12n1n1xs(x)xxdxs(x)11xdx11x()'dxdx()ln所以 ……7分 001x2xx201x01x21xx1xs(x)ln,而此时也有S(0)0.

21xx1x所以原级数和函数为s(x)ln(x1)…………………………………8分

21x

五 (本题满分8分)

解: (1)平面法向量为n(1,2,1),选作所求直线的方向向量

x1y2z;………………………………………….4分 121x1y2zt得直线参数方程为xt1,y2t2,zt,代入平面方令1212程得:(t1)2(2t2)(t)10t,再回代入直线参数方程得

3所以直线方程为

《高等数学》期末试卷A 第 7 页 共 9 页

522522x,y,z.所以投影为(,,)…………………………………….8

333333分

六(本题满分8分)

解:设交线所围区域为,则由已知知方程为:zaxy…………………..2分

因为交线也在柱面上,所以易知在xoy面的投影为Dxy:x2y2a2……….3分

而zxzy1……………………………………………………………………5分

22所以其面积为A1zxzydxdy3a2…………………………………..8

Dxy分

七(本题满分4分)

解： 记L所围的区域为D。令P＝2x－y, Q=5y+3x-6………………………2分

则由格林公式 原式=

DXY(QP1)dxdy4dxdy43212………………………4xy2Dxy分

八(本题满分8分)

解: 由已知:曲面方程:zx2y2(x2y21),其投影Dxy:x2y21……….1

分 又分

221zxzy2………………………………………………………………………….3

所以 原式=(x2y2x2y2)2dxdy22d2d2……8分

Dxy0021

九(附加题)

证:取区域D=[0,1][0,1]

因为ef(x)f(y)1f(x)f(y)…………………………………………………3分

《高等数学》期末试卷A 第 8 页 共 9 页

所以左边=分

f(x)f(y)edxdy[1f(x)f(y)]dxdy…………………………….5DD =(1f(x))dxdyf(y)dxdy……………………………………..6分

DD =(1f(x))dx11f(y)dy0…………………………………………8

0分

0期末试卷A 第 9 页 共 9 页

《高等数学》