南昌大学高数试题及答案

一、填空题 (每空 3 分，共 15 分) : 1. 函数f(x)x21x3lg(5x)

的定义域为_______________.

2. 设函数 f(x)ex,x0,ln(ax),x0, 则a为_____值时,f(x)在x=0处 连续.(a>0) 3. 若函数f(x)在x=0可导, 且f(0)=0,

则limf(x)x0x__________. 4. 设f(x)x,在[1, 4]上使Lagrange(拉格朗日)中值

定理成立的_____.

5. 设F(x)2x0sint2dt,则dF(x)_______________. 二、单项选择题 (每题 3 分，共15分):

1. x0是函数f(x)xsin1x的( ).

(A) 跳跃间断点. (B) 可去间断点. (C) 无穷间断点. (D) 振荡间断点. 2. 设曲线ye1x2与直线x1相交于点P,

曲线过点P处的切线方程为( ).

(A) 2xy10. (B) 2xy30. (C) 2xy30. (D) 2xy20.

1

3. 若函数f(x)在区间(a,b)内可导,x1和x2是区间(a,b)内任意两点, 且x1x2, 则至少存在一点使( ). (A) f(b)f(a)f'()(ba), 其中ab. (B) f(b)f(x1)f'()(bx1), 其中x1b. (C) f(x2)f(x1)f'()(x2x1), 其中x1x2. (D) f(x2)f(a)f'()(x2a), 其中ax2. 4. 设函数f(x)在(,)上连续,

则df(x)dx等于( ).

(A) f(x). (B) f(x)dx. (C) f(x)C. (D) f'(x)dx.

5. 设Iddxf(x)dxd4dx3f(x)dxf'(x)dx存在, 则I( ).

(A) 0. (B) f(x).

(C) 2f(x). (D) 2f(x)C.

三、计算下列极限 (共2小题, 每小题7分, 共14分) :

1. lim1cosx2x01cosx.

2. lim(sinx)tanx.

x2

2

四. 解下列各题 (共3小题, 每小题7分, 共21分):

1. 设yln1x1x2, 求y''(0).

2. 设函数yy(x)由方程ln(x2y)x3ysinx确定,

求y'(0).

xtf(u2)du3. 设0, 其中f(u)具有二阶导数, 且f(u)0,yf(t2)2,d2求ydx2.

五.求下列不定积分 (共2小题,每小题7分,共14分): 1、1x(1x8)dx.

2. xsin2xdx.

六.已知f(2)12,f'(2)0,及20f(x)dx1,

求120xf''(2x)dx.(7分)

3

2x2,试求其单增、单减区间, 七.已知函数y2(1x)并求该函数的极值和拐点. (9分)

八.设f(x)在[a,)上连续,f''(x)在(a,)内存在且大于

f(x)f(a)零,记F(x)xa单调增加. (5分)

(xa). 证明:F(x)在(a,)内

南昌大学 2006～2007学年第一学期期末考试试卷及答案

一、填空题 (每空 3 分，共 15 分) : 1. 函数f(x)1x2lg(5x)

x3的定义域为 （ 2x3与3x5; ）

ex,2. 设函数 f(x)ln(ax),x0, x0,则a为（ e ）值时,f(x)在x=0处 连续.(a>0) 3. 若函数f(x)在x=0可导, 且f(0)=0,

f(x)（ f'(0) ） 则limx0x4. 设f(x)x,在[1, 4]上使Lagrange(拉格朗日)中值

定理成立的（ 9/4 ）

一、 5. 设F(x)0sintdt,则dF(x)（2sin(4x)dx）

2x22

二、单项选择题 (每题 3 分，共15分):

4

1. x0是函数f(x)xsin1x的( B ).

(A) 跳跃间断点. (B) 可去间断点. (C) 无穷间断点. (D) 振荡间断点. 2. 设曲线ye1x2与直线x1相交于点P,

曲线过点P处的切线方程为( C ).

(A) 2xy10. (B) 2xy30. (C) 2xy30. (D) 2xy20.

3. 若函数f(x)在区间(a,b)内可导,x1和x2是区间(a,b)内任意两点, 且x1x2, 则至少存在一点使( C ). (A) f(b)f(a)f'()(ba), 其中ab. (B) f(b)f(x1)f'()(bx1), 其中x1b. (C) f(x2)f(x1)f'()(x2x1), 其中x1x2. (D) f(x2)f(a)f'()(x2a), 其中ax2. 4. 设函数f(x)在(,)上连续,

则df(x)dx等于( B ). (A) f(x). (B) f(x)dx. (C) f(x)C. (D) f'(x)dx.

5. 设Iddxf(x)dxd4dx3f(x)dxf'(x)dx存在, 则I( D ).

(A) 0. (B) f(x).

5

(C) 2f(x). (D) 2f(x)C.

三、计算下列极限 (共2小题, 每小题7分, 共14分) :

1cosx2. 1. limx01cosx解：

x0时，1cosx12x，1cosx2212x2214x 214x1cosx2lim22 limx01cosxx012x22. lim(sinx)tanx.

x2解：(1) 令ysinx(2)

xtanx lnytanxlnsinx

lnylimtanxlnsinx lim2x21cosxlnsinx0 limlimsinx2cscxcotxxx22 (3) lim(sinx)tanxlimylimelnye01

x2x2x2四. 解下列各题 (共3小题, 每小题7分, 共21分):

1x1. 设yln, 求y''(0). 21x1x12 解：yln[ln(1x)ln(1x). 221x 6

112x112xy'. 2221x1x21x1x

3分112(1x2)4x211x2y''.222222 2(1x)(1x)2(1x)(1x) 于是13 y''(0)1. 227分2. 设函数yy(x)由方程ln(x2y)x3ysinx确定,

求y'(0).

解：方程两边对x求导,得

1232xy'3xyxy'cosx. 2xy

4分当x0时,由原方程得y1,代入上式得y'(0)1. 7分xtf(u2)du,03. 设 其中f(u)具有二阶导数, 且f(u)0, 2f(t2),yd2y求2 dx.dydx224tf(t)f'(t),f(t2). 解: dtdt 7

dydydxdtdx4tf(t2)f'(t2)f(t2)4tf'(t2). dt dyd dyd2yddxdx4f'(t2)8t2f''(t2)dx2dxdtdxf(t2). dt五.求下列不定积分 (共2小题,每小题7分,共14分): 1、

1x(1x8)dx. 解: 原式 =x71181118x8(1x8)dx8x81x8dx=8x81x8dxln|x|18ln|1x8|C.

2. xsin2xdx.

解: 原式x1cos2x12dx2xdx14xcos2xdx x2414xsin2x18cos2xC.

六.已知f(2)12,f'(2)0,及20f(x)dx1,

求10x2f''(2x)dx.(7分)

解: 设t2x, 则

1x212t20f''(x)dx204f''(t)dt 8

121222tf'(t)020tf'(t)dt20tdf(t) 881122tf(t)00f(t)dt(11)0. 442x2,试求其单增、单减区间, 七.已知函数y2(1x)并求该函数的极值和拐点. (9分)

4x解: y',3(1x)8x4y''. 4(1x)1令y'0,得x0;令y''0,得x.

2x (,1/2) 1/2 (1/2,0) y' - - 0 拐点 - + 0 0 + (0,1) (1,) + + - + y'' y 极小值 故(0,1)为单增区间,(,0)和(1,)为单减区间;函数在x0处取得极小值,极小值为0;点(1/2,2/9)为拐点.

八.设f(x)在[a,)上连续,f''(x)在(a,)内存在且大于

f(x)f(a)零,记F(x)xa单调增加. (5分)

(xa). 证明:F(x)在(a,)内

1f(x)f(a)证明: F'(x)f'(x). xaxa 由拉格朗日中值定理知存在(a,x),使

9

f(x)f(a)f'().

xa1 F'(x)f'(x)f'().

xa 由f''(x)0可知f'(x)在(a,)内单调增加,因此对任意x和

(ax),

有f'(x)f'(),从而F'(x)0,故F(x)在(a,)内单调增加.

10

南昌大学 2009～2010学年第一学期期末考试试卷

一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)

x1. 设函数yarcsinlnx1，则它的定义域为

3论中的 3. 设yesin2x。

2. 设fxex，则它在0,ln2上满足拉格朗日中值定理的结

。 ，则dy

。

4. 设fx0存在，则limfx0fx03xx。



。

x05. 曲线fxxex的凹区间为

二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)

x2,x1,1. 设f(x)x3，则fx在x1处的（ ）.

,x13（A）左导数存在，右导数存在 （B）左导数存在，右导数不存在 （C）左导数不存在，右导数存在 （D）左导数不存在，右导数不存在

12．设fxarctan，则x0是（ ）.

x(A)可去间断点 (B)无穷间断点 (C)振荡间断点 (D)跳跃间断点

3．设fx在a,b上连续，则下列论断不正确的是（ ）

11

(A) afxdx是fx的一个原函数

(B) 在a,b上，aftdt是fx的一个原函数 (C) 在a,b上，xftdt是fx的一个原函数 (D) fx在a,b上可积

4．设函数yfx的导函数图形如下图所示，则（ ）.

y 1 bxb

1 o x

(A) x1是fx的驻点，但不是极值点 (B) x1不是fx的极值点 (C) x1是fx的极小值点 (D) x1是fx的极大值点

1225．设xn2nn1nn2则limxn（ ）

nn2， nnn11(A) 0 (B) 1 (C) (D)

23三、计算题（共7小题，每小题 7分，共 49 分） 1．求极限limx0e1.

x1cosxsin3x2．设ycos2xlntanx，求y. 3．设limx0exx2axbx2，求a，b.

12

4．设yyx是由方程eyxye所确定的隐函数，求y0. 5．设fex1e3x且f01，求fx. 6．求不定积分dxsin2x5cos2x. 0,x7．设f(x)1,1，计算30fx1dxx2,x1.

四、解答题（共2小题，每小题 8分，共 16 分）

1．求由参数方程xt3acos2usinudu0

yasin3t所确定的隐函数的一阶导数

dydx. 及二阶导数d2ydx2.

2．设fx在0,1上连续

且fx11x2x310fxdx， 求10fxdx.

五、证明题（ 5 分）

设0，若fx在x0,x0上连续， 在x0,x0内可导且limfx0A，

xx0证明：fx0A.

13

南昌大学 2009～2010学年第一学期期末考试试卷及答案

一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)

x1. 设函数yarcsinlnx1，则它的定义域为

3论中的 3. 设yesin2x1,3

2. 设fxex，则它在0,ln2上满足拉格朗日中值定理的结

lnln2，则dy。

esin2xcos2xdxsin2x。

4. 设fx0存在，则

limx0fx0fx03xx3fx0。

5. 曲线fxxex的凹区间为2,.

二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)

x2,x1,31. 设f(x)x，则fx在x1处的（ B ）.

,x13（A）左导数存在，右导数存在 （B）左导数存在，右导数不存在 （C）左导数不存在，右导数存在 （D）左导数不存在，右导数不存在

12．设fxarctan，则x0是（ D ）.

x(A)可去间断点 (B)无穷间断点

14

(C)振荡间断点 (D)跳跃间断点

3．设fx在a,b上连续，则下列论断不正确的是（ A ） (A) afxdx是fx的一个原函数

(B) 在a,b上，aftdt是fx的一个原函数 (C) 在a,b上，xftdt是fx的一个原函数 (D) fx在a,b上可积

4．设函数yfx的导函数图形如下图所示，则（ C ）.

y 1 bxb

1 o x

(A) x1是fx的驻点，但不是极值点 (B) x1不是fx的极值点 (C) x1是fx的极小值点 (D) x1是fx的极大值点

1225．设xn2nn1nn2则limxn（ C ）

nn2， nnn11(A) 0 (B) 1 (C) (D)

23三、计算题（共7小题，每小题 7分，共 49 分）

e11．求极限lim.

x0x1cosxsin3x 15

sin3x解: 原式=lim2

x01xx222．设ycos2xlntanx，求y.

解: y2sin2xlntanxcos2xcotxsec2x

2sin2xlntanx2cot2x

3．设limx0exx2axbx2，求a，b. 2 解:

limx0exx2axbx limexx2axb0

x0 1b0 即b1 又limx0exx2axbxlimx0ex2xa1a2

a1

4．设yyx是由方程eyxye所确定的隐函数，求y0. 解: 方程两边同时对x求导, 有：eyyyxy0

y yy

ex当x0时, 从原方程得y1.

1代入上式得: y'(0).

e

16

5．设fex1e3x且f01，求fx. 令 tex 则：ft1t3

ft141tdtttC

43又f01 所以C1

1414故fttt1 即fxxx1

44dx6．求不定积分. 22sinx5cosx1解: 原式dxdcotx 22215cotxsinx15cotx1151

15cotx2d15cotxarctan55cotxC0,x1,37．设f(x)1，计算0fx1dx.

x12,x解: 令tx1, 则dtdx 由于x:03 t:12 0fx1dx1ftdt 1ftdt1ftdt

1232 17

110dt211t2dt 21t12

1四、解答题（共2小题，每小题 8分，共 16 分）

1、求由参数方程xt3acos2usinudu0

yasin3t所确定的隐函数的一阶导数dydx.

及二阶导数d2ydx2.

dy解: dydxdxdt3asin2tcost3acos2tsinttant dtddyd2yddydxdxsec2x1dx2dxdxdt3acos2tsint3acos4tsint dt2、设fx在0,1上连续

且fx11x2x310fxdx， 求10fxdx. 解: 令A10fxdx,

18

13fxAx 21x113A0Axdx 21x arctanx故 AA41xA 4044115 即0fxdx5

五、证明题（ 5 分）

设0，若fx在x0,x0上连续， 在x0,x0内可导且limfxA，

xx0证明：fx0A. 证明：

证法一：fx0limxx0fxfa limxx0xafxlimfxA 1xx0

证法二：

因为fx0limxx0fxfaxa

又fx在x0,x0上连续，

在x0,x0内可导，所以由拉格朗日中值定理可知，

xx0,x0，有fxfx0fxx0，

其中x0x 所以

19

fx0limfxfalimfxx0limf

xx0xaxx0xaxx0当xx0时x0，且limfxA，

xx0

所以 limf=limfA，

xx0x0即 fx0A.

20

南昌大学 2008～2009学年第一学期期末考试试卷

三、 填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 设f(x)的定义域是[0,1],则函数f(xa)(a0) 的定义域是。

2. lim3nnsin23n。

3. 设yf(ex),f(x)为可导函数, 则dy ，

单调增加区间为

。

4. 若点(1,3)是曲线yax3bx2的拐点, 则 a, b 。

四、 单项选择题 (每小题3分,共15分)

1. 下列函数在其定义域内连续的是( )。

(A) f(x)cosx,x0,sinx,x0. （B） f(x)lnxcosx. (C) f(x)1x,x0,

0,x0.x1,x0,(D) f(x)0,x0, x1,x0.2．曲线yarctanx在横坐标为1的点处的 切线方程是（ ）。

21

(A) y412(x1)； (B) y12(x1)；

（C） y4x1； （D） yx1。

3．在区间[1,1]上满足拉格朗日中值定理

条件的函数是 ( )。 （A）

1x2； (B) lnx； 1 （C） 2x13； (D) arctan1x。

4．曲线yx34x23x4的凹区间是（ ）. （A）[43,)； （B）(,43]；

（C）[2,0]； （D）没有凹区间。 5．函数yy(x)是可微函数且由方程

yt200edtxcostdt0所确定,则y'(x) ( )。

（A） ey2cosx； （B） ey2

； (C) ey2cosx ； （D）ey2cosx。

三、求下列极限（共2小题，每小题 8分，共 16 分）x11．lim2x3x2x1 。

xt2et22．lim0dtx0xex2 。

四、求下列导数（共2小题，每小题 7分，共 14 分）

22

1、设y3x3x, 求y'(x)。 xln(1t2),d2y2、设  求 。 2dxytarctant,五、求下列不定积分（共2小题，每小题 7 分，共 14 分） 1、tan3xsecxdx。 2、

lnxx2dx。 六、计算题（共2小题，每小题 7 分，共 14 分） 1、计算定积分20cosxcos4xdx。

2、(应用题) 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋， 现有存砖只够砌20m长的墙壁，问应围成怎样的 长方形才能使这间小屋的面积最大？

七、解下列各题

(共2小题, 第1小题7分, 第2小题5分, 共12分)

11、 讨论函数f(x)x3sinx,x0, 0,x0在x0处的连续性与可导性。

2、 设函数f(x)在[0,2]上连续, 在(0,2)内可导, 且f(0)f(1)2,f(2)1.

证明：必存在(0,2)，使f'()0。

23

南昌大学 2008～2009学年第一学期期末考试试卷及答案

三、 填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 设f(x)的定义域是[0,1],则函数f(xa)(a0) 的定义域是

na,1a2。

22. lim3sinnn3。

f'(ex)exdx3. 设yf(ex),f(x)为可导函数, 则dy4. 若点(1,3)是曲线yax3bx2的拐点, 则 a。

32, b92 。

四、 单项选择题 (每小题3分,共15分)

1、下列函数在其定义域内连续的是( B )。 cosx,(A) f(x)sinx,x0, （B） f(x)lnxcosx. x0.1,(C) f(x)x0,x0,x1,f(x) (D) 0,x1,x0.x0,x0, x0.2、曲线yarctanx在横坐标为1的点处的切线方程是（ A ） 11(A) y(x1)； (B) y(x1)；

422（C） y

4x1； （D） yx1。

24

3、在区间[1,1]上满足拉格朗日 中值定理条件的函数是 ( A )。

1（A） ； (B) lnx；

x21 （C） 2x1； (D) arctan。

x134、曲线yx34x23x4的凹区间是（ A ）. 44（A）[,)； （B）(,]；

33（C）[2,0]； （D）没有凹区间。 5、函数yy(x)是可微函数且由方程所确定,则y'(x) ( D )。

（A） ecosx； （B） e； (C) ey2yt2edt0xcostdt0

0y2y2

cosx ； （D）ey2cosx。

三、求下列极限（共2小题，每小题 8分，共 16 分） 2x31．limx2x1x1 。

x12解: 原式lim1x2x1

2x12x12x122lim1 x2x1e

25

xt2et22．lim0dtx0xex2 。

解: 由洛必达法则有

2x2原式 limxex0ex22x2ex2

limx2x012x20 四、求下列导数（共2小题，每小题 7分，共 14 分）

1、设y3x3x, 求y'(x)。 解: y'1x33x231123x3 2、设 xln(1t2), 求 d2y 。ytarctant,dx2 dy1t2解: dx2tdt11t21t2,dt1t2. dydydxdxdtt2.

dtddy

dxdt12. dyddyd2yddxdx1dt1t2dx2dxdx22t4t. dt1t2

26

五、求下列不定积分（共2小题，每小题 7 分，共 14 分）

1、tan3xsecxdx。

解: 原式tan2xd(secx)

(sec2x1)d(secx)

13sec3xsecxC 2．lnxx2dx。 解: 原式lnxd1x

lnx1xx2dx lnxx1xC

六、计算题（共2小题，每小题 7 分，共 14 分）

1、计算定积分20cosxcos4xdx。

解: 原式cos2x(1cos20x)dx0cos2xsin2xdx0cosxsinxdx

20cosxsinxdxcosxsinxdx

2 20sinxd(sinx)sinxd(sinx)

2

27

1212sinxsinx 1.

2202202．(应用题) 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋， 现有存砖只够砌20m长的墙壁，问应围成怎样 的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 解: 如图所示. 设这间小屋的宽为x,长为y,

则小屋的面积为Sxy.

已知 2xy20, 即 y202x. 则 Sx(202x)20x2x2.x(0,10). S'204x. 令 S'0, 得驻点 x5.

由S''40 知x5 为极大值点,

又驻点唯一, 故极大值点就是最大值点. 因此当宽为5m, 长为10m时, 这间小屋的面积最大.

y

x

七、解下列各题

(共2小题, 第1小题7分, 第2小题5分, 共12分)

13xsin,x0,1. 讨论函数f(x) xx00,在x0处的连续性与可导性。

28

1解:

limf(x)limx3x0x0sinx0 而 f(0)0, f(x)在x0处连续.

x3sin10又 f'(0)limf(x)f(0)xx0x0limx0x0 limx0x2sin1x0. 故f(x)在x0处可导.

2. 设函数f(x)在[0,2]上连续, 在(0,2)内可导, 且f(0)f(1)2,f(2)1.

证明：必存在(0,2)，使f'()0。 证明:

f(x)在[0,2]上连续, f(x)在[0,1]上连续,

且在[0,1]上必有最大值M和最小值m, 于是

mf(0)M,mf(1)M.

故 2mf(0)f(1)2M

mf(0)f(1)2M.

由介值定理知,至少存在一点c[0,1],使

f(c)f(0)f(1)21.

f(c)f(2)1,且f(x) 在 [c,2] 上连续,

在(c,2)内可导,由罗尔定理知, 必存在(c,2)(0,2),

使 f'()0. 证毕.

29

南昌大学 2010～2011学年第一学期期末考试试卷

五、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设yex2，fx1x且x0，则x2.

2。

x2011sinxdx23. 反常积分12xlnx2dx。 4. 极限nlimnlnn1lnn。 5. 设yx32xxx，则dy。

六、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 若fx和gx都为可导函数，

则ddxxafxgtdt（ ）. （A）fxgx （B）fxgx （C）fxgxfxgx （D）fxgxfxxagtdt

2．设fxex3x2，当x0时，fx是比x的（ （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）非等价的同阶无穷小3．设fx在a,b上连续，则在a,b上至少有一点， 使得（ ）

（A）f0 （B）f0

。

30

） fxdxfbfaa（C）f （D）f

babab12lnxx11e4．设函数fx ，在,3内（ ）

1x11x3e（A）不满足拉格朗日定理条件；

（B）满足拉格朗日定理条件且9e35e；

（C）满足拉格朗日定理条件，但无法求出； （D）不满足拉格朗日定理条件，

但有9e35e满足中值定理的结论。

xsinxxx05．设函数fx0x0，则x0是fx的（ 1xsinxx0（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）振荡间断点 三、计算题（一）（每小题 8分，共 24分）

1．求极限limexsinx1.x0sin3x 2．计算不定积分1

1exdx3．计算定积分10lnx1x2dx

） 31

四、计算题（二）（每小题 8分，共 16 分）

1．求由方程y1x2xey所确定的隐函数yyx

dy的导数.

dxxln1t2dyd2y2．设求：. 2. tu2dxdxduy201u五、解答题（每小题 8分，共 16 分）

1．确定a,b的值，使点1,3是曲线yax3bx2x的拐点， 并求该曲线在点1,3处的切线方程．

x342．设函数y，求该函数的单调区间和极值． 2x六、应用题（本题满分8分）

某房地产公司有50套公寓要出租．当租金定为每月1800 元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费200元整的维修费用．试问房租定为多少可获得最大收入? 七、证明题（本题满分8分）

设fx可导，证明：fx的两个零点之间 一定有fxfx的零点．

32

南昌大学 2010～2011学年第一学期期末考试试卷及答案

五、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设ye，fx1x且x0，

x2则xln1x

2.

2x2011sinxdx2。

23. 反常积分21xlnx2dx

1ln21。 。

4. 极限limnlnn1lnnn5. 设yx32xxx， 则dy3x22xln2xxlnx1dx.

六、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 若fx和gx都为可导函数，

dx则afxgtdt（ D ）. dx（A）fxgx （B）fxgx （C）fxgxfxgx （D）fxgxfxagtdt

2．设fxex3x2，当x0时，fx是比x的（ D ） （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）非等价的同阶无穷小 3．设fx在a,b上连续，则在a,b上至少有一点，

33

x使得（ C ）

（A）f0 （B）f0

fxdxfbfaa（C）f （D）f

babab12lnxx11e4．设函数fx ，在,3内（ B ）

e111x3x（A）不满足拉格朗日定理条件；

9e3（B）满足拉格朗日定理条件且；

5e（C）满足拉格朗日定理条件，但无法求出； （D）不满足拉格朗日定理条件，

9e3但有满足中值定理的结论。

5esinxxx05．设函数fx1xsinxx0x0，则x0是fx的（ C ） x0（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）振荡间断点 三、计算题（一）（每小题 8分，共 24分）

exsinx11．求极限lim. 3sinxx0 34

xsinx1cosx1lim 解: 原式=lim23x0x063xx

2．计算不定积分11exxdx

2tdt 解: 令t1e则xlnt1，dx2t1211原式2dtdt

t1t1t12t1lnC2lnt1（或写成ln11ex1xC

1ex11ex1C ）

3．计算定积分0lnx1x2dx 解: 原式xlnx1x ln ln211xdlnx1x2dx

00211x1x2dxln012121x2

2012121

四、计算题（二）（每小题 8分，共 16 分）

1．求由方程y1x2xey所确定的隐函数yyx

dy的导数.

dx解:

y2xeyxeyy

35

2xey yy1xexln1t2dyd2y2．设求：. 2 tu2dxdxduy201ut2dydydt1t21t 解:

2tdxdx2dt1tdydd2ydxdxdx2dyd1dx21t dt2dx2t4tdt1t2五、解答题（每小题 8分，共 16 分）

1．确定a,b的值，使点1,3是曲线yax3bx2x的拐点， 并求该曲线在点1,3处的切线方程． 解:

y3ax22bx1 ， y6ax2b

由题意可知：6a2b0， ab10

a1， b3

又y14 故所求的切线方程为：即：y4x10

y34x1

x342．设函数y，求该函数的单调区间和极值． 2x 36

解: 函数的定义域为：,0 令y10,

80 ，得驻点：x2 3x 当x,02,时，fx0

当x0,2时，fx0

所以：单调增区间为：,0，2, 单调减区间为：0,2 极小值为：f23

六、应用题（本题满分8分）

某房地产公司有50套公寓要出租．当租金定为每月1800元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费200元整的维修费用．试问房租定为多少可获得最大收入? 解: 设房租为每月x元，

x1800则 租出去的房子有：50套。

100每月总收入为：

x1800xRxx20050x20068

100100xx1Rx68x20070 10050100 令Rx0，得唯一驻点：x3500

10 由于R350050 37

R3500108900为极大值。且为最大值。

故每月每套租金为3500元时，收入最高。 最高收入为R3500108900（元） 七、证明题（本题满分8分）

设fx可导，证明：fx的两个零点之间 一定有fxfx的零点． 证明: 设x1，x2为fx的两个零点，

令xfxex，则x1x20， 由fx可导，知x可导。

xfxfxe且xfxexfxex 由罗尔定理知：存在x1,x2或x2,x1， 使得：0.

ffe即：0

由于e0 ff0

也即：fx的两个零点之间一定有fxfx的零点．

38

南昌大学 2013～20014学年第一学期期末考试试卷

七、 填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 函数

1f(x)36x2 的定义域是 。

lg(3x)2. 设函数 yarctanex, 则dy 。

3. 函数y(x1)(x1)3的单调增加区间是 。

4.

dx31dxdt_________。

x21t425.

xx2xdx 。 22八、 单项选择题 (每小题3分,共15分)

1. 当x0时，曲线yxsin1x （ ）。

（A）有且仅有铅直渐近线. （B）有且仅有水平渐近线.

（C）既有水平渐近线，又有铅直渐近线. （D）既无水平渐近线，又无铅直渐近线. 2. 当x0时，xsinx是x2 的（ ）。

（A） 高阶无穷小. （B） 低阶无穷小.

（C） 等价无穷小. （D） 同阶但非等价无穷小.

3. 曲线

yxsin2x在点(2,12)处的切线方程为（ (A) yx1. (B) yx2.

(C) yx1. (D) yx12.

24. 曲线yex的上凸区间是（ ）。

(A) (12,12). (B) (,12).

39

）

(C)

(15.

2tanx,). (D) 没有凸区间.

。 dx（ ）

(A)

cosx2 (C)

sinx2C. (D)

cosx3sinxC. (B)

2C.

tanx2cosxC.

三、计算题（一）（每小题 8分，共24分） 1.

lim12xx0 。

2.

1xlimx(e1) 。

x3. 设函数求

yy(x)是由方程2xyxy所确定的隐函数，

y'(0)。

四、计算题（二）（每小题 8分，共 16分） 1. 设

xln(1t2),d2y 求 。 2dxytarctant,2. 求不定积分

1ex1dx。 xe14五、求下列各题（每小题 8分，共 16分） 1. 计算定积分

2. 试问a为何值时，函数在x11xdx。

1f(x)asinxsin3x

33处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。

六、解答题与证明题（第1小题 8分，第2小题 6分，共 14分）

40

1.确定常数a和b，使函数

axb,f(x)2x,x1,x1 处处可导。

2. 设

f(x)在区间[0,1]上可微，且满足条件：

f(1)2120xf(x)dx，

试证: 存在(0,1)，使得f()f'()0。

41

南昌大学 2013～2014学年第一学期期末考试试卷及答案 七、 填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 函数是

1f(x)36x2 的定义域

lg(3x)

x6,22,3yarctane2. 设函数

, 则dy2x1e2exx

3. 函数

y(x1)(x1)x3x23的单调增加区间是

1,2

4.

ddx11t24dt3x21x

122x1x85.

22xx2xdx ln3八、 单项选择题 (每小题3分,共15分)

11. 当x0时，曲线yxsin （ B ）。

x（A）有且仅有铅直渐近线. （B）有且仅有水平渐近线.

（C）既有水平渐近线，又有铅直渐近线. （D）既无水平渐近线，又无铅直渐近线. 2. 当x0时，xsinx是x2 的（ A ）。

（A） 高阶无穷小. （B） 低阶无穷小.

（C） 等价无穷小. （D） 同阶但非等价无穷小. 3. 曲线 (A)

yxsinx在点(,1)处的切线方程为（ C ）

22yx1. (B) yx.

242

2

(C)

yx1. (D) yx1x22.

ye的上凸区间是（ A ）。 111(A) (,). (B) (,).

2221 (C) (,). (D) 没有凸区间.

2tanx5. 。 dx（ D ）

cosx22C. (A) C. (B)

tanxsinx4. 曲线

 (C)

2C. (D)

cosx3sinx2cosxC.

三、计算题（一）（每小题 8分，共24分） 1.

lim12xx0 。

1x62xsinx解: 原式lim12xx0e6

2.

1xlimx(e1) 。

x1x11x2e1e1解: 原式lim limex1 limxxxx112xx3. 设函数求

yy(x)是由方程2xyxy所确定的隐函数，

y'(0)。

解: 方程两边对x求导，有

2xyln2yxy'1y'

由原方程知

x0时，y1，代入上式，得

43

y'(0)ln21

四、计算题（二）（每小题 8分，共 16分） 1. 设

xln(1t2),d2y 求 。 2dxytarctant,解:

dy1t21,22dt1t1tdx2t. 2dt1tdydydtt.

dxdx2dtd(dy)dx1. dt2dyd1dx21tdt2dx2t4tdt1t2dyd2dydx2dxdx.

2. 求不定积分

解: 原式ex1dx。 xe1ex1exexdxxe12ex(1ex)dx xe1ex2xdxdx

e12lnex1xC.

五、求下列各题（每小题 8分，共 16分） 1. 计算定积分解: 令411xdx。

1xt，则 xt2,dx2tdt，于是

44

2tdt 原式11t12t112 2dt211dt 11t1t2

22tln(1t)121ln

322. 试问a为何值时，函数在x1f(x)asinxsin3x

33处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。

解:

f'()acosxcos3xx0，得 a2

33f''()(2sinx3sin3x)x30 33又

x3时，

f(x)取极大值，f()3

3六、解答题与证明题（第1小题 8分，第2小题 6分，共 14分） 1.确定常数a和b，使函数解: 当x当xaxb,f(x)2x,x1,x1 处处可导。

1时，f(x)显然可导。

1时，因f(x)在x1处连续，由

f(10)f(10)f(1)，得 ab1

x21由f'(10)lim2，

x10x1axb1axaf'(10)limlima

x10x10x1x1得

a2

故当a

2，b1时，f(x)处处可导。

45

2. 设

f(x)在区间[0,1]上可微，且满足条件：

f(1)2120xf(x)dx，

试证: 存在(0,1)，使得f()f'()0。

xf(x)，

证明：设F(x)1由积分中值定理知，[0,]，使

201/2xf(x)dx01/21/21F(x)dxF()

2由已知条件，有

f(1)201xf(x)dx2F()F()

2f(1)F()，且F(x)在[,1]上连续，在(,1)上可导，

(,1)(0,1)，使F'()0，

又由于F(1)故由罗尔定理知：即

f()f'()0

46

一、单项选择题（每题3分，共15分） 1.下列叙述正确的是( )

A.发散数列必是无界数列 B.有界数列必收敛

C.收敛数列必是有界数列 D.发散数列的任何子数列也发散 2.下列叙述正确的是( )

A.lim|an||a|，则limana B.limana，则lim|an||a| nnnnC. an>0，且limana，则a>0 D.若limana>0，则an≥0 (n=1,2,…)

nn3.当x+时，函数f(x)=xsinx是( )

A.无穷大量 B.无穷小量 C.无界函数 D.有界函数 4.设函数f(x)在x0及其邻域有定义，且有f(x0+x) f(x0)=ax+b(x)2，(a, b为常数)，则f(x)在x= x0处( )

A.不连续 B.不可导 C.不可微 D.可微 5.下列等式中正确的是( ) A.

dd B.f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)

dxdxC.df(x)dxf(x)c D.df(x)dxf(x) 二、填空题（每题3分，共15分）

1.设函数f(x)的定义域为D=[0,1]，则f(x2)的定义域为__________

eax11，则a=__________ 2.若limx0sin2x3.当x0+时，x3x是x的_________(高阶，低阶，同阶)无穷小 4.若f(x)是偶函数，且f (0)存在，则f (0)=__________ 5.11dx=__________ x2三、求下列极限（每题6分，共12分）

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1.求极限lim2nsinnx (x0) 2.求极限limxx nx02四、求下列各题（每题6分，共12分）

1.已知y=y(x)是由方程0etdtxcost2dt0所确定的隐函数，求dy

xf(t)d2y2.求由参数方程所确定的函数的二阶导数2

dxytf(t)f(t)y0五、求下列不定积分（每题6分，共12分） 1.cos2xdx 2.sin(lnx)dx 六、求下列定积分（每题6分，共12分） 1.0xarctanxdx 2.01sinxdx 21cosx七、应用题（每题8分，共16分）

1.设生产谋产品时的固定成本为10000元，可变成本与产品日产量x顿的立方成正比，已知日产量为20顿时，总成本为10320元，问：日产量为多少吨时，能使平均成本最低？并求最低平均成本。(假定最高产量为100吨)

2.求由曲线xy=a (a>0)，x=a，x=2a以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体体积。 八、证明题（6分）

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点A(0, f(0))与B(1, f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于C(c, f(c))，其中0一、1.C 2.B 3.C 4.D 5.B

二、1.[1, 1] 2. 2 3.低阶 4. 0 5. 1

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三、1.原式=limnsinx2nxx x2nlnxlimx01xx0lim2.原式=limex0xlnxee1x1x2e01

四、1.方程两边对x求导，得eyycosx20 则dycosx2eydx

(t)dy(tf(t)f(t))d2y1tt2.由方程，得 t2dx(f(t))(f(t))f(t)dxtt1cos2x11dxxsin2xC 22412.原式=xsin(lnx)xcos(lnx)dx

x五、1.原式==xsin(lnx)cos(lnx)dx

=xsin(lnx)xcos(lnx)sin(lnx)dx 则原式=[sin(lnx)cos(lnx)]C 六、1.原式=

112 arctanxdx20x221x112dx] =[(xarctanx)0021x2111)dx] 2241x111=(x0arctanx0) 241= 421dcosxarctanx(cosx)2.原式=0= 2021cosx=[0(1七、1. C(x)=kx3+10000 C(20)=10320k=0.04

C(x)C(x)10000 0.04x2xx49

令C(x)00.08xC(50)300

100000x50为唯一驻点 x22.Va2aa1a ()2dxa2()xxa2f(c)f(0)f(1)f(c) c01c2a八、A、B、C共线，则斜率相同，得

f(x)在[0, c]上满足拉格朗日中值定理的条件，故1(0, c)，

使得f(1)f(c)f(0)

c0f(x)在[c, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，故2( c, 1)，

使得f(2)则有f(1)f(2)

由已知，f (x)在[1, 2]上满足罗尔定理的条件， 则(1, 2)(0, 1)，使得f ()=0

f(1)f(c) 1c 50

一、单项选择题（每题3分，共15分）

1.设对任意x，总有(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[g(x)(x)]0，则limf(x)

xx( )

A.存在且等于零 B.存在但不一定等于零 C.一定不存在 D.不一定存在 2. x=0是函数f(x)xsin的( )

A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.无穷间断点 D.振荡间断点 3.下列函数的弹性函数不为常数的为( )，其中a, b, 为常数 A. y=ax+b B. y=ax C.y D. y=x 4.若函数f(x)在点x可微，则当x0时，ydy较之dy为( )无穷小

A.同阶 B.等价 C.低阶 D.高阶 5.设f(x)在区间[a, b]上连续，则F(x)af(t)dt在区间[a, b]上( ) A.不一定有界 B.不一定连续 C.不一定可积 D.一定可导 二、填空题（每空3分，共15分）

1.若函数f(x)的定义域为D=[0,]，则f(arcsinx)的定义域为__________

4x1xax2.lim{n[ln(n2)lnn}__________

nex, x03.若f(x)在x=0处可导，则b=_________

abx, x04.设函数f(x)在(,+)上连续，则d[f(x)dx]=__________ 5.1(x1x2)2dx=__________

三、求下列极限（每题6分，共12分）

1 51

1.求极限limx0(1x)1 2.求极限lim(secxtanx) cosx1x2213四、求下列各题（每题6分，共12分） 1.设y=(lnx)x，求y

12xtd2y2.求由参数方程2所确定的函数的二阶导数2

dxy1t五、求下列不定积分（每题6分，共12分） 1.11xdx 2.lnxdx 2x六、求下列定积分（每题6分，共12分） 1.0sinxsin3xdx 2.1lnxdx 七、应用题（每题8分，共16分）

1.某产品的总成本C（万元）的边际成本为生产量x（百台）的函数C(x)=1，总收益R（万元）的边际收益为生产量x（百台）的函数R(x)=6x，（1）求生产量等于多少时，总利润最大？（2）从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？ 2.求由抛物线y+1=x2与直线y=1+x所围图形的面积。 八、证明题（6分）

设f(x)，g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，试证：存在(a, b)，使得f ()=g()

5 52

一、1.D 2.A 3.A 4.D 5.D 二、1.[0,2] 2. 2 3. 1 4. f(x)dx 5. 2 212x2三、1.原式=lim3 x013x222.原式=limx21sinxcosxlim0 sinxcosxx2四、1.方程两边取对数，得lny=xln(lnx) 则yln(lnx)1y11y(lnx)x[ln(lnx)] lnxlnx21()tdy(1t)1dy1tt2.23

112dxtdxt(t2)(t)tt22五、1.令xt，则x=t2，dx=2tdt

2t1dt2(1)dt2[tln(1t)]C2[xln(1x)]C 1t1t111lnx1lnx12.原式=lnxd(lnx2dx)()CC

xxxxxx原式=六、1.原式=0sinx|cosx|dx02sinxdsinxsinxdsinx

2121212522224sinxsinx() 3333302232322.原式=xlnx11xdlnx5ln54 七、1.(1)L(x)=R(x)C (x)=6x1=5x 令L(x)=0，得x=5

1(2)5(5x)dx5x5x226665511总利润减少了万元

22 53

y1x22.联立得交点(1, 0), (2, 3)

y1x则A1[(1x)(x21)]dx

八、构造辅助函数F(x)=f(x)g(x)，由题设F(a)=F(b)=0 又f(x)，g(x)在(a, b)内具有相等的最大值

不妨设x1[a,b][a,b]292若x1=x2，令c=x1，则f(x1)g(x2)=F(c)=0

若x11(a, c), 2(c, b)，使得F (1)=F (2)=0

再对F (x)在[1, 2]上利用罗尔定理，

(1, 2)(a, b)，使得F ()=0，即f ()=g()

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