时间序列分析 课程论文

关键词：时间序列、分类、特点、应用

摘要：本文是一篇文献综叙，主要介绍时间序列的一些基本内容。 前言：

在短学期里，听了陈平老师关于时间序列分析的讲座后，我对时间序列有了初步的了解和认识。结合老师上课所讲内容及课后搜集的一些参考资料，我写下一些我对时间序列的浅显理解。

正文：

时间序列的定义：

把同一现象在不同时间上取得的观察值按时间顺序排列而成的序列，称为时间序列（又称动态序列）。用{xt , t∈ T } 表示，并简记为 {xt}或xt。时间序列中的元素称为观测值。自然科学领域中的许多时间序列常常是平稳的。如工业生产中对液面、压力、温度的控制过程，某地的气温变化过程，某地100年的水文资料等。但经济领域中多数宏观经济时间序列却都是非平稳的。如一个国家的年GDP序列，年投资序列，年进出口序列等。

分类：

按照连续性来分，时间序列一般分为两类：一类是离散型的，一类是连续型的。一般地，为了研究和叙述的方便，我们考察的时间序列都是离散型随机过程和时间序列，即观测值是从相同时间间隔点上得到的。离散型时间序列可通过两种方法获得：一种是抽样于连续变化的序列，比如某市每日中午观测到的气温值序列；另一种是计算一定时间间隔内的累积值。比如中国的年基本建设投资额序列、农作物年产量序列等。时间序列分析的主要任务就是对时间序列的观测样本建立尽可能合适的统计模型。从而对相关的问题的预测、控制和诊断提供帮助。

按照平稳性来分，时间序列可以分为平稳序列和非平稳序列两大类。

1、平稳序列

基本上不存在趋势的序列。平稳序列中的各观察值基本上在某个固定的水平上波动，虽然在不同的时间段波动的程度不同，但不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的。 2、非平稳序列

包含趋势性、季节性或周期性的序列，它可能含其中的一种成份，也可能是几种成份的组合。又可分为有趋势（tend）的序列，有趋势、季节性（seasonality）和周期性（cyclists）的序列，即复合型序列。

特点：

任何时间序列形式都由时间和观察值两个基本要素组成 。时间序列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式，观察值根据表现形式不同有绝对数、相对数和平均数。因此，从表现形式上看，时间序列可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列。大量时间序列的观测样本都表现出趋势性、季节性和随机性，或者只表现出三者之中的其二或者其一。这样，可以认为每个时间序列，或者适当的函数变换的时间序列，都可以分解成三个部分的叠加：

Xt = Tt + St+ Rt ，t=1，2，…，

其中，{ Tt}是趋势项，{St}是季节项，{Rt}是随机项。时间序列{Xt}是这三项的叠加。时间序列分析的首要任务就是通过对观测样本的观察分析，把时间序列的趋势项、季节项和随机项分解出来。这项工作被称为时间序列的分解。

时间序列模型分类

1. 自回归过程

如果一个线性随机过程可表达

其中 fi, i=1, …, p是回归参数，ut 是白噪声过程，则这个线性过程xt 称为 p阶自回归过程，用AR(p) 表示。它是由xt 的p个滞后变量的加权和以及ut相加而成。（10.1）式可用滞后算子表示为

其中

2. 移动平均过程

如果一个线性随机过程可用下式表达

称为自回归算子或特征多项式。

xt = ut + θ1ut-1 + θ2ut-2 + … + θqut-q (10.10)

其中 θ1, θ2, …, θq是回归参数，ut为白噪声过程，则称（10.10）式为q 阶移动平均过程，记为MA(q)。它是由ut及其q个滞后项的加权和组成。上式还可写为 xt = (1 + θ1L + θ2L2 + … +θqLq ) ut 或

xt = Θ(L)ut

由定义知任何一个q 阶移动平均过程都是由q + 1个白噪声变量的加权和组成，所以任何一个移动平均过程都是平稳的过程。

与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。移动平均过程具有可逆性的条件是特征方程

Θ (L) = (1 + θ1L + θ2L2 + … + θqLq ) = 0

的全部根的绝对值必须都大于1。由xt = Θ(L)ut 有Θ (L)-1xt = ut 。由于Θ(L) 可表示为

Θ(L) = (1 - H1L) (1 - H2L) … (1 - HqL) 所以

可见保证MA(q) 过程可以转换成一个无限阶自回归过程，即MA(q) 具有可逆性的条件是Θ ( L)-1收敛。则必须有 | Hj | < 1 或 | Hj -1| > 1，j = 1，2，…，q成立。而Hj -1是特征方程 Θ ( L) = 0的根，所以MA(q) 过程具有可逆性的条件是特征方程 Θ ( L) = 0的根必须在单位圆之外。（因为xt = Θ ( L) ut是平稳的，如果变换成 Θ ( L)-1 xt = ut 后变得不平稳，显然失去可逆性。） 3. 自回归移动平均过程(ARMA)

由自回归和移动平均两部分共同构造的随机过程称为自回归移动平均过程，记为ARMA(p, q)，其中p, q分别表示自回归和移动平均分量的阶数。ARMA(p, q) 的一般表达式是

或

Φ(L)xt = Θ(L)ut (10.17)

其中 Φ(L) 和 Θ(L) 分别表示L的p, q阶特征多项式，分别称为自回归算子和移动平均算子。

ARMA(p, q) 过程的平稳性只依赖于其自回归部分，即 Φ(L) = 0的全部根取值在单位圆之外（绝对值大于1）。其可逆性则只依赖于移动平均部分，即 Θ(L) = 0的根取值应在单位圆之外。

实际中对于非季节序列，最常用的是ARMA(1, 1) 过程， xt - φ1xt-1 = ut + θ1ut-1 (10.18) 或

(1 - φ1L)xt = (1 + θ1L)ut

很明显只有当 -1<φ1<1和 -1<θ1<1 时，上述模型才是平稳的，可逆的。

时间序列建模基本步骤：

时间序列建模基本步骤是：①用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据。②根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数。相关图能显示出变化的趋势和周期，并能发现跳点和拐点。跳点是指与其他数据不一致的观测值。如果跳点是正确的观测值,在建模时应考虑进去,如果是反常现象，则应把跳点调整到期望值。拐点则是指时间序列从上升趋势突然变为下降趋势的点。如果存在拐点，则在建模时必须用不同的模型去分段拟合该时间序列，例如采用门限回归模型。③辨识合适的随机模型,进行曲线拟合,即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据。对于短的或简单的时间序列，可用趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合。对于平稳时间序列，可用通用ARMA模型（自回归滑动平均模型）及其特殊情况的自回归模型、滑动平均模型或组合-ARMA模型等来进行拟合。当观测值多于50个时一般都采用ARMA模型。对于非平稳时间序列则要先将观测到的时间序列进行差分运算，化为平稳时间序列，再用适当模型去拟合这个差分序列。

应用：

分析时间序列数据通常有两个目的：描述现象的发展变化过程、考察现象发展变化方向

和速度、探索现象发展变化规律性；预测某一现象未来可能达到的数值。

时间序列分析主要用于：①系统描述。根据对系统进行观测得到的时间序列数据，用曲线拟合方法对系统进行客观的描述。②系统分析。当观测值取自两个以上变量时，可用一个时间序列中的变化去说明另一个时间序列中的变化，从而深入了解给定时间序列产生的机理。③预测未来。一般用ARMA模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。④决策和控制。根据时间序列模型可调整输入变量使系统发展过程保持在目标值上，即预测到过程要偏离目标时便可进行必要的控制。

参考资料：

[1]何书元.时间序列分析.北京；北京大学出版社，2003

[2]顾岚.时间序列分析在经济中的应用，北京；中国统计出版社， 1998 [3]张德远，经济时间序列分析.上海；上海财经大学出版社，1996