集合的概念

龙文教育学科教师辅导讲义

课 题 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 1.集合的概念 （1）集合中的元素具有三个特性：确定性、互 异性、无序性． （2）元素与集合之间用符号 或ￏ 表示，集合 与集合之间的关系用  、、=等符号表示． ﾹ（3）如果集合 A 中的任意元素都在集合 B 中， 则称 A 是 B 的子集．如果 A 是 B 的子集，且 B 中至 少有一个元素不属于 A，则称 A 是 B 的真子集．如果 集合 A 是 B 的子集，同时 B 也是 A 的子集，则称 A、 B 相等． （4）若有限集 A 有 n 个元素，则 A 的子集有 2个，真子集有 (21) 个，非空子集有 (21) 个，非 空真子集有 (22) 个． （5）空集是任何集合的子集，空集是任何非空 集合的真子集. （6）若A  B，B  C，则A C. （7）主要方法： ①解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元 素是什么； n n n n 教学内容 ②弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 对互异性要 注意检验； ③抓住集合中元素的三个性质， ④正确进行“集合语言”和普通“数学语言” 的相互转化． 2.集合的运算 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作 A  B ．由属 于集合 A 且属于 （1）由属于集合 集合 B 的元素所组成的集合，称为集 合 A 与 B 的交集，记作 A  B ．对于一个集合 A，由 全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为 集合 A 相对于全集 U 的补集，记作CU A ．符号表示 为： 交集： A  B  x | x  A且x  B ； 并集： A  B  x | x  A或x  B ； 补集：若 A  U , 则CU A  x | x U 且x ￏ A . （2）集合运算有关性质： ① A    , A    A , A A A, A A A 1 龙文教育·教务管理部

中小学1对1课外辅导专家 ② A  A  B,A  B  A,A  B  A  B. ③ A  B  A  A  B ．A  B  A  A  B ； ④ CU ACU B  CU (A B) ， CU A  CU B  CU ( A  B) . （3）主要方法： ① 求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或Venn 图的作用； ② 含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨 论时要防止在空集上出问题； ③ 集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． *【例 1】已知全集U  {x | x  9, x  N } ，两个集 合A 与B 同时满足： A B {2, 4}，A  (CU B)  {1, 3, 5} ， 且 CU ( A  B)  {7, 8} . 求集合 A、B. 解：画出 Venn 图，如右 A  B 、 A  (CU B) 、 图所示把 CU ( A  B) 的结果分别填Venn 图中相应区域，由全集 U，得到另一个区域 B  (CU A)  {6, 9} .由图可知， A  {1, 2, 3, 4, 5} ， B  {2, 4, 6, 9} . 例 2】集合 A  {x x2  4x  3  0},B  {x x值. 解：由 x 4 x  3  0 ，解得 x  1 或 3， 则 A  {1, 3} .又由 x ax  a  1  0 ，解得 x  1 或 a  1 . ∵ A  B  A ， ∴ B  A . ∴ B  {1, a  1}或B  {1}.(a  2时) A  C  C ，∴C  A . 当 B={1,a-1}时，有 a-1=3， ∴ a  4 .∵ 2   m 4  0 ，解得 2  m  2 ; 当 C   时, C 中方程无根，即 当 C   时若 C={1}，有 1-m+1=0 且 m2 4  0 解得 m  2 ; 9  3m  1  0 2 若 C={3}，有 ，m 4  0解得 m 无解 若 C={1,3}，则 m 无解 由上述得，a=4 或 a=2，2  m  2 . 2 2 2  ax  a  1  0} , C  {x x  mx  1  0}, 且A B  A, AC  C ，求 a, m 的2 2 龙文教育·教务管理部

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