类型一、墙角模型（三条线两个垂直
，不找球心的位置即可求出球半径）
P
O
c
C
a
B a
才
B
b
C
图1
图2
图3
方法：找三条两两垂直的线段,直接用公式（2R）^ = a2 b2 c2,即2^ = a2 b2 c2 ,求出R 例1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
A. 16二
B . 20二 C . 24二 D . 32 :
，且侧棱长均为-.3,则其外接球的表面积是 ___________________________ 9二
4 ,体积为16,则这个球的表面积是（ C ）
（2）若三棱锥的三个侧面两垂直
解：（1） V =a2h *6, a =2, 4R2 =a2 a2 h2 =4 4 16 =24, S =24二,选 C；
（2） 4R2 =3+3 +3 = 9, S=4^R2=9X
（3）在正三棱锥 S - ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM _ MN ,若侧棱SA = 2、、3 ,则正 三棱锥
S-ABC外接球的表面积是 _________________________ 。 36二
解:引理:正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下： 如图（3） -1,取AB,BC的中点D,E ,连接AE,CD , AE,CD交于H ,连接SH ,则H是底面正三角形
ABC 的中心，SH _ 平面 ABC, SH_AB, AC 二 BC,AD=BD, CD_AB, AB _ 平面 SCD,
-AB _ SC,同理：BC _ SA, AC _ SB,即正三棱锥的对棱互垂直
本题图如图（3） -2, AM _ MN , SB//MN ,
AM_SB, AC_SB, SB_ 平面 SAC, SB_SA, SB_SC, SB_SA, BC _SA, SA_平面 SBC, SA_SC,
故三棱锥S~■ ABC的三棱条侧棱两两互相垂直 ，
⑶题-1
C
-（2R）2=（2'・3）2 （2、、3）2 （2、3）2=36,即 4R—36,
-正三棱锥S-ABC外接球的表面积是 36 ■
C
⑶题-2
(4)在四面体S - ABC中，SA _平面ABC _ BAC = 120 , SA二AC = 2, AB = 1,则该四面体的外接球
的表面积为(D ) A.11 ■
：
B.7 :
10 C.—二
(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直 (6)已知某几何体的三视图如图所示
,它们的面积分别为6、4、
40 D.- 3
3,那么它的外接球的表面积是
1
的正方形，则该几何
三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为
体外接球的体积为
解析：(4)在 ABC中，BC2 =AC2 AB2 -2AB BC cos120l7.
BC =：：；'7 , ABC的外接球直径为2r
BC _ .. 7 2一
sin ZBAC . 3 7
一
.(2R)=(2r)SA=(2 7)2 4 二40, S
2
2
2
\\ 3 3
40 二
3
,选 D
(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为 a,b,c( a,b,c・R '),则
ab =12
2 2 2 2 2
be =8 , abc = 24,. a =3, b = 4, c = 2 , (2R)=a b c=29 , S =4二R=29二， ac = 6
2
(6) (2R)2
二 a ■
b2 c 2=3, R2
3 4
2
2
4
3
V
3
R 二 —H
3
4 3<3
8
------ JT
2
类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)
1.题设：如图5, PA—平面ABC
解题步骤：
第一步：将 ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ,
连接PD,则PD必过球心O ;
第二步：01为AABC的外心，所以OO^! _平面ABC ,算出小圆01的半
径O1^r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
sin A sin B
c
sin C
OO1」PA ；
2
2 2 2
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径
:①(2R)二 PA (2r)=
2R= , PA2 (2r)2 ；
② R2 二 r2 OO/ u R ’r2 OO12
2.题设：如图6,7,8, P的射影是.'ABC的外心：=三棱锥P - ABC的三条侧棱相等 = 棱锥P - ABC的底面.SBC在圆
锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点
第一步：确定球心0的位置,取 ABC的外心Oj,则P,O,O1三点共线;
第二步：先算出小圆01的半径AOj = r,再算出棱锥的高 P01 ^h （也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：OA2 ^OjA2 •0102= R2 =（h-R）2 • r2,解出 R 方法二：小圆直径参与构造大圆。
例2 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 （）C 16兀
A. 3二
B. 2二
C.
D .以上都不对
3
解:选 C, （ . 3 - R）2 1 二 R2, 3-2 ..3R R2 1 =R2, 4 - 2.3R=0,
16 =—Ji 3
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
1题设：如图9-1,平面PAC _平面ABC,且AB_ BC （即AC为小圆的直径）
第一步：易知球心0必是. PAC的外心,即：PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径 AC = 2r ; 第二步：在:PAC中，可根据正弦定理 — b C 2R,求出R
sin A sin B sin C
2.如图9-2,平面PAC _平面ABC ,且AB _ BC （即AC为小圆的直径）
OC2 =0Q2 OQ2 = R2 二r2 OQ2二 AC = 2、. R2二OQ2
3•如图9-3,平面PAC _平面ABC,且AB _ BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是 ABC的外心 三棱锥P -
ABC
的顶点
的三条侧棱相等
三棱P - ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥
解题步骤：
第一步：确定球心O的位置，取 ABC的外心O「则P,O,O1三点共线；
第二步：先算出小圆O1的半径AO^r ,再算出棱锥的高 PO1 ^h （也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：OA2 =O1A2 O1O^ R2 =（h-R）2 • r2,解出 R
4•如图9-3,平面PAC _平面ABC ,且AB _ BC （即AC为小圆的直径），且PA_ AC ,则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径 ② R2 二 r2 OO12 二 R = ;r2 OO12
：①（2R）2 =PA2 • （2r）2= 2R=JPA2 • （2r）2 ；
例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上 ，若该棱锥的高为1,底面边长为2 3,则该球的表面积为 ____________________ < （2）正四棱锥S - ABCD的底面边长和各侧棱长都为 解：（1）由正弦定理或找球心都可得
..2 ,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 —
2R =7, S =4二R2 =49二,
4m
（2） 方法一：找球心的位置，易知r=1,h=1,h=r,故球心在正方形的中心 ABCD处，R=1,V =
3
方法二：大圆是 轴截面所 的外接圆，即大圆是ASAC的外接圆，此处特殊，Rt SAC的斜边是球 半
4兀
径，2R =2, R =1, V -
3
（3） 在三棱锥P - ABC中，PA = PB = PC - 3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接
球的体积为（
A.二
B. —
）
n
C. 4 二
D.
4兀 3
3
解：选D,圆锥A, B, C在以r 的圆上，R=1
2
（4）已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 O的求面上，厶ABC且SC = 2,则此棱锥的体积为（ ）A
是边长为1的正三角形，SC为球O的直 径,
A.
B.乜 C .辽
6
一2
2
3
3 2 6
, h
2 6
解：0Q
R2 -r2「1 - (一)2
Y 3
3
1 , V Sh = - 3 3
1 . 3 2、6 3
4
3
• 2 6
类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)
题设：如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱 ，棱柱的上下底面可以是任
意三角形) 第一步：确定球心0的位置，01是 ABC的外心，则001 _平面ABC ； 第二步：算出小圆01的半径
A0^r , 00^^AA^-h( AA,二h也是圆柱的高)；
2 2
第三步：勾股定理：OA2 =01A2 +0102n R2=(£)2+r2n R = *r2+(^)2,解出 R 例4 (1)一个正六棱柱的底面上正六边形
，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上
9
且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3,则这个球的体积为 ___________________________________
8
1
解：设正六边形边长为 a ,正六棱柱的高为h,底面外接圆的关径为r,则a二一，
2
底面积为 S =6
3 1 2 (—)2 4 2
4兀
33
,V柱工Sh
8
3 \\ 3 9 2
h ,. hh：：：3,R2=( 8 8 . 3 2 1、2 彳
)2 ( )2 =1, 2 2
R =1,球的体积为V =—
3
(2)直三棱柱 ABC - A B1C1的各顶点都在同一球面上 ，若AB二AC二AA一 = 2 , • BAC = 120 ,则此球
的表面积等于 _______________ 。
—
解:BC =2.3 , 2r
2 ： ：' 3 —
4, r = 2 , R = . 5 , S = 20\"
sin 120
(3)已知 」EAB所在的平面与矩形 ABCD
所在的平面互相垂
直，EA = EB = 3, AD = 2, AEB 二 60 ,则多面体 E - ABCD 的外 接球的表面积为 ___________________ 。16'：
C
解析：折叠型,法一 ：EAB的外接圆半径为r, = . 3,00, =1,
R= 1 3=2 ；法二：0側=仝，r2 =02D =』，R2 =壬 13 = 4, R = 2, S =16二
4 4
(4)在直三棱柱 ABC-ARG 中，AB=4,AC=6,A
的表面积为
160
。 二
,AA1 二4则直三棱柱 ABC - A1B1C1的外接球 3
3
解析：BC2 =16 36 -2 4 6 丄=28, BC =2 一 7,2r 二
2
AA 2
!) 2
28
4 3
3 40
, S
2 2
160
R =r (
类型五、折叠模型
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起
第一步：先画出如图所示的图形，将. BCD画在小圆上，找出 BCD和- A BD的外心H1和H2 ； 第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 O,连接OE,OC ； 中，勾股定理：OH • CH = OC
2 2 2 第三步：解 OEH 1,算出
OH1,在Rt OCH 1
例5三棱锥P-ABC中,平面PAC _平面ABCA PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥
P- ABC
外接球的半径为
2
解析:2口 = 2D
4
, A = a *
2
, O2H
1
,
si n60 <3
R2 =O2H2
『J 4 = 5, R = 15
V3 <3
3 3 3 1
法二：O2H =
1
,。屮=「一, AH V3 丁3
-1,
2 2 2 2 2
R2 =A02 = AH 2 O1H 2 O1O2
5
, R 二-
15 3
3
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB二CD , AD二BC , AC = BD） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b, c, AD = BC = x, AB = CD = y, AC = BD二z,列方程组， 『2
a c
b x
c = y= (2R) = a b c a z
2 2 2 2 2 2.2 2
2 2
小2
2
x2 y2 z2
补充:VA _BCD
1
=abc abc 4 abc
6
1 3
第三步：根据墙角模型 ,2R 二 a2 b2 c2
x2 y2 z2
222
R2
_ x y z
x2 y2 z2
------------------ ,求出R,
例如，正四面体的外接球半径可用此法。
例6 （ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是 （2） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为
1
的球面上，其中底面的三个顶点
在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（
-3
4
12
解：（1）截面为 PCO,,面积是.2 ； （2）高h = R =1,底面外接圆的半径为 设底面边长为a ,则2R 旦 2
R=1,直径为2R =2,
a「3,S
3 a2
33
⑴题解答图
sin 60
三棱锥的体积为V = 1 Sh = —3
4
3 4
中，AB二CD
（3）在三棱锥A-BCD
A - BCD
外接球的表面
= 2,AD =BC =3, AC = BD =4,则三棱锥
积为
解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长
，设长宽高分别为a,b,c,则a2 b^9,
b2 c2 =4, c2 a2 =16 2(a2 b2 c2) =9 4 16 =29, 2(a2 b2 c2) =9 4 16 =29 ,
2
(4)如图所示三棱锥 A-BCD,其中AB =CD =5,AC =BD =6,AD =BC =7,则该三棱锥外接球的表
面积为 ____________ .
解析：同上，设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长 ，设长宽高分别为
2 2 2 2 2 2 2
2
29 ,4R2 29 29
,S
a,b,c,2(a b c ) =25 36 49 =110, a b c =55, 4R =55,S=55二
【55二；对称几何体；放到长方体中】 (5)正四面体的各条棱长都为
..2 ,则该正面体外接球的体积为 ___________________
解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R = ... 3 ,
V 兀.空色=空冗
3 8
2,
(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥 )模型
类型七、两直角三角形拼接在一起
C
题设：.APB =• ACB =90 ,求三棱锥P - ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点 O,连接
1
OP,OC ,则OA=OB=OC=OP AB,. O为三棱锥P-ABC外接球球心，然后在OCP中求出半 2
,只要不是平角球半径都为定值。 例7 (1)在矩形 ABCD中，AB =4,
BC =3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B - AC - D ,则四
面体
ABCD的外接球的体积为( )
125 125 厂 125 A.
----- 兀
12 9
6 5 4 3 4
125 125 3=—兀- 2R=AC=5,R ,V R
3 8 2 3
(2)在矩形ABCD中，AB = 2, BC =3,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥 A - BCD的外接 球的表
面积为
解析：(2) BD 的中点是球心 O, 2R 二 BD = .13 , S =4二R2 =13二； 类型八、锥体的内切球问题 P
1 •题设：如图14,三棱锥P - ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心； 1 第二步：求DH BD , PO=PH -r , PD是侧面 ABP的高;
径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关
E
AC
3
第三步：由POE相似于 PDH ,建立等式：延=堕，解出r DH PD
2.题设：如图15,四棱锥P _ABC
上正四棱锥，求其外接球的半径
P
第一步：先现出内切球的截面图，P,0, H三点共线;
1 第二步：求FH二丄BC , P0二PH - r, PF是侧面 PCD的高; 2
OG PO
第三步：由：POG相似于 PFH ,建立等式：曲 =PO,解出
3•题设：三棱锥P - ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径HF PF 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为r ,建立等式：V JBC二V公BC ■ VO-PAB - VO PAC ■ Vo^BC -
11111 VP 山BC S ABC r — SPAB r — SPAC r — SPBC r (S ABC ' S PAB ' SPAC ' S PBC ) r 3 3 3 3 3 Wp 4BC
第三步：解出r - SO 」BC SO _PAB SO _PAC SO _PBC
习题： 1 .若三棱锥 S - ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2,SB = SC = 4,则该三棱锥的外接球半径为(
A. 3 B. 6 C. 36 D. 9 解:【A】 (2R)2「4 16 16 =6, R
=3 【三棱锥有一侧棱垂直于底面 ，且底面是直角三角形】【共两种】
2.三棱锥S - ABC中，侧棱SA _平面ABC ,底面ABC是边长为3的正三角形，SA二2 3 ,则该三棱
锥的外接球体积等于 32 二
J3
解析：2
2r 2, (2R) =4 1^16, R2 =432
, R=2,外接球体积
二
sin 60
8 = ■
【外心法(加中垂线)找球心；正弦定理求球小圆半径】 3 2,则该三棱锥的外接球体积等3
.正三棱锥S - ABC中，底面ABC是边长为.3的正三角形，侧棱长为 于 . 2 4 解析：「ABC外接圆的半径为，三棱锥S - ABC的直径为2R =- sin 60
,外接球半径R= 2 ,
v3 寸3
或R2 =(R - J3)2 +1, R =呂，外接球体积 4 8 = 32 3 3 3 4 _
V3 V R3 = :—TL ■ 3” 327
4 .三棱锥 P - ABC中，平面PAC _平面 3 3 AB _ BC ,则三棱锥
P-ABC
外接球的半径为 _____________ 」
ABC , △ PAC
边长为2的正三角形，2
解析:PAC的外接圆是大圆，2R
, R 解析:COS • P = •
sin 60
<3
2PA PC
5.三棱锥P - A B C中，平面PAC _平面ABC , P - A B C
2
外接球的半径为
2 2 2
7PA PC -AC 9 9 -4
, sin2. P =1 _(7)2 二16^ , sin P-4^
9 9 81 9
D
7
3，
AC =2 , PA = PC =3 , AB _ BC ,则三棱锥
：
2 9 9 2 9 2
2R =
2、2 T 4、2
9 6.三棱锥P - ABC中，平面PAC _平面ABC , AC = 2 , PA _ PC , AB _ BC ,则三棱锥P- ABC解：AC是公共的斜边，AC的中点是球心 0 ,球半径为R =1
外 接球的半径为
.
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