【推荐】小学数学总复习大全

一、单位换算

1、长度单位

1公里=1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米 1米=3尺 1尺=10寸 1寸=10分 2、面积单位

1平方公里=1平方千米=100公顷=1000000平方米

1公顷=10000平方米 1公顷=15亩 1亩=10000/15平方米=666.67平方米

1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 3、体积单位

1立方千米=1000000000立方米 （9个0）

1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1000立方毫米 4、容积单位

1升=1立方分米=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 5、质量单位

1吨=1000千克 1千克=1000克=1公斤=2市斤

1市斤=0.5公斤=0.5千克=500克 1市斤=10两 1两=50克 6、人民币单位换算

1元=10角 1角=10分 1元=100分 7、时间换算

1世纪=100年 1年=12月=365天（平年）\\366天（闰年） 大月（31天），有：1\\3\\5\\7\\8\\10\\12月，共7个月 小月（30天），有：4\\6\\9\\11月，共4个月 2月：平年28天 闰年29天 闰年：

a、能被4整除但不能被100整除的年份，例2016年是闰年但1900年不是闰年； b、能被400整除的年份，例如2000年是闰年。 1日=24小时 1时=60分=3600秒 1分=60秒 1日=24小时=1440分=86400秒

注意：在不同单位的数学计算中，必须先换成相同单位然后才能计算。 例如：

（1）7千克56克=（）千克

解：56克=56÷1000=0.056（千克） 7千克56克=7.056千克 （2）12千克45克 =（）克

解：12×1000=12000（克） 12000+45=12045（克）

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注：因克到千克是千进位，小单位（克）数换大单位（千克）数小数点向左移3位，例如56克=0.056千克；大单位（千克）数换小单位（克）数小数点向右移3位，例如12千克=12000克。 （3）8元7角5分=（）元

解：7角=0.7元 5分=0.05元 8元7角5分=8+0.7+0.05=8.75（元） （4）8米9分米6厘米=（）米 解：9分米=0.9米 6厘米=0.06米

8米9分米6厘米=8+0.9+0.06=8.96（米）

二、概念

1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。1+2=2+1=3 加数+加数=和 和-加数=另一个加数

2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，再与第三个数相加，和不变。(1+2)+3=1+(2+3)=6

3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 2×5=5×2=10

因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数 2×3=6 6÷2=3

4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，再与第三个数相乘，积不变。 (2×3)×4=6×4=24 2×(3×4)=2×12=24

5、乘法分配律：两数的和与另一个数相乘（或者一个数与另外两个数的和相乘），可以把两个数分别与另一个数相乘，再把两个积相加，结果不变。

(2+3)×5=5×5=25=2×5+3×5=10+15=25 5×(2+3)=5×2+5×3=10+15=25 6、除法的性质：

(1)在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。 24÷6=4=(24×2)÷(6×2)=48÷12=4=(24÷3)÷(6÷3)=8÷2=4 注：除法的这个性质是分数通分或分数约分的基础。 (2)0不能做除数

(3)0除以任何不为0的数都得0 (4)被除数、除数、商之间的关系：

被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 除数×商=被除数

7、自然数：用来表示物体个数的整数叫自然数。自然数包括0和正整数：0、1、2、3、4、5、6、7、8…… 8、偶数和奇数：能被2整除的数叫偶数。不能被2整除的数叫奇数。 偶数序列：0、2、4、6、8、10…… 奇数序列：1、3、5、7、9、11……

9、质数（素数）：一个数如果只能被1和它本身整除，这样的数叫质数（或素数）。最小的质数是2，也是质数中唯一的偶数。

质数序列：2、3、5、7、11、13、17、19、23…… 除了2以外的质数都是奇数。

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10、合数：一个数如果除了1和它本身外还能被其它数整除（还有其它的因数），这个数就叫合数。合数与质数是两个相对立的概念（即：是合数就不是质数，反之是质数就不是合数）。4是最小的合数。 合数序列：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18…… 1既不是质数也不是合数。

质数序列加上合数序列加上1是正整数序列，再加上0就是整数序列。 11、公倍数与最小公倍数：

公倍数：一个数是另外几个数的倍数，这个数就是它们的公倍数。例如60是2、3、5的倍数，那么60就是2、3、5的公倍数。2、3、5的公倍数有30、60、90、120、150……

最小公倍数：在几个数的公倍数中最小的一个就是它们的最小公倍数。例如30是2、3、5的最小公倍数。 注：在几个分数通分时，我们应该找分母的最小公倍数。 12、公约数与最大公约数：

公约数：几个数都能被同一个数整除（也就是说这几个数都有同一个因子），这个共同的因子就叫这几个数的公约数。例如24、48、96都能被2整除，2就是24、48、96的公约数。24、48、96的公约数还有3、4、6、8、12、24。

最大公约数：在几个数的公约数中最大的一个叫最大公约数。例如24、48、96的最大公约数是24。 注：在分数约分时我们应该找最大公约数进行约分。 13、需要记住能整除的几个情况： ①偶数都能被2整除；

②各位数字之和能被3整除，该数就能被3整除；

③最后两位数能被4整除，该数就能被4整除；最后三位数能被8整除，该数就能被8整除； ④尾数是0或5的数能被5整除；尾数是00或25或50或75的数能被25整除； ⑤各位数字之和能被6整除，该数就能被6整除。或者能被3整除的偶数就能被6整除； ⑥各位数字之和能被9整除，该数就能被9整除；

⑦奇数位数字之和与偶数位数字之和相等，或者它们的差是11的倍数，该数就能被11整除，例如3003、803、4070506等。

⑧一个数分别能被两个或多个互质的数整除，那么一定能被这些互质数的积整除，例如60能被2、3、5整除，一定能被它们的积30整除。

14、互质数：公约数只有1 的两个或两个以上的数叫互质数。例如3和5是互质数，5、6、7是互质数，11、12、17是互质数等等。

注：互质数在我们找最大公约数和最小公倍数时都有作用。如果两个数互质，它们的最小公倍数就是它们的乘积。如果分数的分子与分母互质，那么它们的最大公约数就是1，或者说我们约分要约到分子分母互质为止。

15、小数：含有小数点的数，例如1.2、3.14、0.618等等。小数各位的名称有：……百位 十位 个位.十分位 百分位 千分位……

16、循环小数：一个小数，从小数的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断重复出现，这样的小数叫做循

4。 环小数。例如2.141414……，可以用循环节表示为2.1 3 / 16

注：7做除数时的特殊循环节：循环取142857，

4285785714，3÷7=0.4，2÷7=0.228571 1÷7=0.1，5÷7=0.77142814285，6÷7=0.857142 4÷7=0.517、不循环小数：一个小数，从小数起，没有一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做不循环小数。例如含9位小数的圆周率的近似值3.141592654是不循环小数。

18、无限不循环小数：一个小数，从小数起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做无限不循环小数。例如圆周率3.14159265358979……

19、分数：把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。 20、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。如，，等。

325591121、假分数：分子比分母大或者分子与分母相等的分数叫假分数。假分数都是大于或等于1的数。如等。

22、带分数：把假分数写成整数跟真分数的形式叫带分数。

357，，2372323 7723、分数的基本性质：分数的分子和分母同乘以或同除以一个不为0的数，分数值不变。因为分数其实就是分子除以分母，分数的基本性质其实就是除法的基本性质（被除数和除数同乘以或同除以一个不为0的数，值不变）。这个基本性质是分数通分或约分的基础。

24、通分：把不同分母的分数化成同分母的分数叫通分，方法就是找分母的最小公倍数作为共同分母，每个分数分子分母同乘以一个数，将分母化成该共同分母。

25、约分：把一个分数化成同它相等，但分子分母都比较小的分数叫约分。方法是，分子分母同除以它们的最大公约数。

26、最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫最简分数。分数计算结果必须化成最简分数。

27、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只需把分子相加减，分母不变。不同分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

2515215345 73-74-3717

1334523251355356151115 1120

-15354515-44-1542028、分数比较大小 分数比较大小的原理：

①分母相同，分子大的分数值大 (每份大小相同，份数多的大)

②分子相同，分母大的分数值小 (份数相同，分母大每份小，分数值小)

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分数比较大小的方法：

(1)同分母的分数比较大小：分子大分数值大，分子小分数值小。 (2)不同分母的分数比较大小：先通分，然后比较大小。 (3)分子相同，分母大分数值小，分母小分数值大。

(4)特殊情况1：当分子都比较小时，可以将分子变成相同(两分数分别将分子分母同乘一个数)再进行比较。 (5)特殊情况2：当分子分母接近(即真分数的分数值接近1)时可以比较他们与1的差的大小间接比较它们的大小(这时差的分子都比较小好比较。差小的原分数更接近1，其分数值大)。 推广的情况：当分数值接近1/2时，也可以比较它们与1/2的差。 29、分数乘整数：分数的分子乘以整数做分子，分母不变。

注意：①如果整数可以与分母约分，应先约分，然后再将分子与约分后的整数相乘做分子。②分数乘整数的结果往往分子大于分母，一般应化为带分数，如果接着做乘除法就不用化成带分数。

23265753553 145

1266677730、分数乘分数：分子乘分子（做分子），分母乘分母（做分母），可以约分的应先约分然后再作分数乘法。

34341235111

57573510622431、分数除以整数（0除外）：等于分数乘以整数的倒数。

33132 7721432、分数除以分数：等于作为被除数的分数乘以作为除数的分数的倒数。

32351511 75721414总结31和32，可以说：任何一个数除以另一个不为0的数都等于一个数乘以另一个数的倒数。

1333131.5 2例如：3232277214 7263235151331

277 75721414

33、百分数：分母为100的分数，其作用是：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数又叫百分率或百分比，是非常常用的一种数。 34、百分数与小数互换

(1)小数化成百分数：只需将小数点向右移动两位，同时在小数后面加上百分号即可。例如0.345=34.5% (2)百分数化成小数：只需将小数点向左移动两位，同时去掉百分号即可。例如123.456%=1.23456 35、百分数与分数互换

(1)分数化成百分数：因为小数很容易化成百分数，可以先将分数化成小数（做除法即可，除不尽的要确定保

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320.660%0.222222.22%（保留四位小数）留几位小数），然后直接写成百分数。例如5，9

(2)百分数化成分数

20a、无小数的百分数：直接写成分数，然后约分成最简分数，例如20%= 10015b、有小数的百分数：扩大分子分母使分子无小数，然后约分成最简分数，例如20.25%=

1036、等式：表示两个数值相等的式子叫等式。例如 2=

52025100008140037、代数式：含有用字母表示数的式子，例如a+b，3a-2b（3a表示3×a），字母表示数叫“代数”。 38、方程式：含有未知数的等式叫方程式，例如x+3=7，x+y=8等。

39、一元一次方程（式）：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1（即不含x2、x3……，x2=x×x，x3=x×x×x）

x的方程式。 例如3x+5=9，2x- +3=7等等。

540、解一元一次方程的方法：利用等式两边同加、同减任何数，同乘、同除一个不为零的数方程不变的原理，

化简方程，最后得到未知数的值。

41、比：两个数相除就叫做两个数的比，如2÷5=2:5=

25所以，两个数相除有三种表达形式：除、比、分数。 比的表达形式为 前项：后项

由于是除法的表达形式，因此有性质：比的前项和后项同时乘以或除以一个不为0的数，比值不变。 42、比例：表示两个比相等的式子叫做比例。例如3:5=6:10

由于有两个前项和两个后项，把与等号相邻的两项叫做内项，另外两项叫做外项。 比例的基本性质：两内项之积与两外项之积相等。例如3:5=6:10中，5×6=3×10=30

43、解比例。如果比例的四个项中有一项是未知数（或有一项中包含未知数），求出这个未知数就叫解比例（实际是解特殊的一元一次方程）。方法是：利用比例的基本性质化简方程，然后求出未知数。例如： 3:x=5:7 5x=21 x=21÷5 x=4.2

44、正比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量相对应的比值（也就是商）一定，这两个量就叫做成正比例的量。他们的关系就叫做正比例关系。

y例如： y：x=k或  k 或 y=kx（k一定），y与x成正比例；10÷2=5, 5一定，(10×5)÷(2×5)=50÷10=5，

x因此，在比值为5一定的情况下，10与2成正比。

45、反比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量相对应的积一定，这两个量就叫做成反比例的量。他们的关系就叫做反比例关系。 如：x×y =k （k一定） , x、y成反比例关系。

在6×8=48 积48一定的情况下，(6×2)×(8÷2)=12×4=48，6与8成反比例关系 46、利息=本金×利率×时间 （时间是指计算利息的日数、月数等）

47、利率：利息与本金的比值，一般与时间有关，例如半年、一年、三年…利率都不相同，时间越长利率越高， 到期计算利息为：利息=本金×利率

如果利率按日计算还要乘以日数，如果利率按月计算还要乘以月数，如果利率按年计算还要乘以年数，等等。

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48、年化利率（银行常用的利率）：不是一年但折合成一年的利率。例如，假定100天存款的年化利率为3%，利息计算公式为：利息=本金×3%×100÷365

税后利息=本金×利率×时间×(1-5%) （假定税金是利息的5%，也称税率）

三、应用题

(一)、植树问题 1非封闭路线 (1)两端都要植树

株数=段数+1=全长÷株距+1 全长=段数×株距=(株数-1)×株距 株距=全长÷段数=全长÷(株数-1) (2)一端植树另一端不植树

株数=段数=全长÷株距 全长=段数×株距=株数×株距 株距=全长÷段数=全长÷株数 (3) 两端都不植树

株数=段数-1=全长÷株距-1

全长=段数×株距=(株数+1)×株距 株距=全长÷段数=全长÷(株数+1) 2、封闭路线：同一端植树另一端不植树

株数=段数=全长÷株距 全长=段数×株距=株数×株距 株距=全长÷段数=全长÷株数 以下(二)到(五)参考奥数“行程问题” (二)相遇问题

相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 (三)追击问题

追击距离=速度差×追击时间 追击时间=追击距离÷速度差 速度差=追击距离÷追击时间 (四)流水问题 1、一般公式

顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度-水流速度 静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2 水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2 2、两船相向航行（相遇问题）

两船航行总路程=(甲船顺流速度+乙船逆流速度)×航行时间=(甲船静水速度+乙船静水速度)×航行时间

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航行时间=两船航行总路程÷(甲船顺流速度+乙船逆流速度) =两船航行总路程÷(甲船静水速度+乙船静水速度) 3、两船同向航行（追击问题）

追击速度=后船速度-前船速度=后船静水速度-前船静水速度 远离速度=前船速度-后船速度=前船静水速度-后船静水速度 (五)火车(队伍)过桥(或过隧道)问题

过桥路程=桥长+车长=车速×过桥时间 过桥时间=过桥路程÷车速 车速=过桥路程÷过桥时间 (六)数量问题（参考奥数“数量问题”） 1、平均数问题

平均数=总数量÷总份数 总数量=总份数×平均数 总份数=总数量÷平均数

2、归一与归总问题：即求单一量与求总量的问题，有时又叫工程问题。为求总量往往先要求单一量。例如要求工厂某车间50人月生产机器零件的总数（总量），要先求出每人每天生产的零件数（单一量，或叫工作效率）。 (1)一般公式：

总量=单一量×份数 单一量=总量÷份数 份数=总量÷单一量 若是工程问题一般公式为： 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 (2)用假设工作总量为“1”的方法解工程问题

单位时间内完成工作总量的几分之几=1÷工作时间 工作时间=1÷单位时间内完成工作总量的几分之几 (七)浓度问题

溶液的重量=溶质的重量+溶液的重量 浓度=溶质的重量÷溶液的重量×100% 溶质的重量=溶液的重量×浓度 溶液的重量=溶质的重量÷浓度 (八)利润与折扣问题

利润=售出价-成本

利润率=利润÷成本×100%=(售出价-成本)÷成本×100% =(售出价÷成本-1)×100% 涨跌金额=本金×涨跌百分比 折扣=实际售价÷原售价×100%

(因实际售价<原售价,故折扣<100%，折扣数越小越便宜)

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(九)和差问题

已知条件：①已知两数和 ②已知两数差 公式： (和+差)÷2=大数 (和-差)÷2=小数 注：比较复杂（引申）的问题要画线段图帮助解题。 (十)和倍问题

已知条件：①已知两数和 ②已知两数的倍数关系 公式：两数和÷(倍数+1)=1倍数 1倍数×倍数=几倍数

或 和-1倍数=几倍数

注：比较复杂（引申）的问题要画线段图帮助解题。 (十一)差倍问题

已知条件：①已知两数差 ②已知两数的倍数关系 公式：两数差÷(倍数-1)=1倍数 1倍数×倍数=几倍数

或 差+1倍数=几倍数

注：比较复杂（引申）的问题要画线段图帮助解题。 (十二) 时间、日期与周期 1、时间与日期问题 (1)日期与时间的换算

(2)日期问题：从某天到某天共计天数=末日期-首日期+1 (因为包含两头日期故要加1，两头日期不在同月分开算) (3)时间问题 时间计算问题有：

经过的时间=结束的时刻-开始的时刻

结束的时刻=开始的时刻+经过的时间 开始的时刻=结束的时刻-经过的时间 2、周期问题

周期问题要了解的是①周期是多少？②出现了多少个周期？③有没有余数？等。 (十三)年龄问题 年龄问题的特点：

1、随着时间的向前或向后，两个人的年龄同时增加或减少相同的数量，因此两个人的年龄差总是不变的。 2、随着时间的向前或向后，两个人的年龄的倍数关系是会改变的。 年龄问题的求解一般都是化成：

①和差问题②和倍问题③差倍问题等来求解。 (十四)鸡兔同笼问题

可引申到租车租船问题、解题得分（答对答错没答分别多少分）问题、飞虫的翅膀和脚问题等等。 鸡兔同笼问题的求解：

方法一：假设法 ①先假定全是鸡（或全是兔）②根据脚数算出误差 ③算出兔数（或鸡数）。 方法二：列方程求解（相对比较简单些）

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(十五)推理问题（参考奥数） 1、简单推理

简单推理常用方法：

(1)排除法：在推理的过程中不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论。

(2)假设法：对可能出现的问题作出假设，然后再根据条件推理①如果结论与条件不矛盾，假设正确②如果结论与条件矛盾，假设错误。

(3)反证法：假设命题不成立，然后通过推理出明显矛盾或不可信的结果从而结论为假设不成立，原命题得证。

(4)借助线段图、图表等进行分析、推理。

2、逻辑推理：根据某些条件、结论以及它们之间的逻辑关系进行判断、推理，最终找到问题的答案。

逻辑推理的方法：

(1)直接推理：从已知条件出发，运用简单的逻辑推理，逐步推出正确答案。

(2)间接推理 ：先假设一个结果，然后根据已知条件和客观规律推出矛盾的结论从而否定假设（反证法）。 (十六)按比例分配问题

1、基础问题

把20分成4等分，每份是多少？20÷4=5（除法，分成4等分） 20的四分之一是多少？20× =5（分数，按比例分配， 是多少） 数的 是5，这个数是多少？5÷ =20（已知部分数求总数） 2、按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。

已知条件：①已知总量/部分量②用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数或直接给出份数。

求：几个部分量各是多少/总量及其他部分量。

方法：由总份数＝比的各项之和，先把比的各项相加求出总份数，再把各部分量的比转化为各

占总量的几分之几（以总份数作分母，比的各项分别作分子）最后按照求一个数的几分之几是多少的方法，分别求出各部分量的值。有时也可以先求出1份是多少然后求出各部分量的值。

如果是已知部分量求总量及其他部分量，也要先求出总份数以及各部分量占总量的几分之几，从部分量及其占比求出总量，最后按其他部分量占几分之几分别求出各部分量的值。 例1、学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，

三班有45人，三个班各植树多少棵？ 解法一：

三个班的人数比：47:48:45. 分成的份数：47＋48＋45＝140. 一班栽树棵树：560×(47/140)＝188(棵) 二班栽树棵树：560×(48/140)＝192(棵) 三班栽树棵树：560×(45/140)＝180(棵)

答：一班栽树188棵；二班栽树180棵；三班栽树192棵.

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141414解法二：

总人数：47＋48＋45＝140（人） 平均每人栽树：560÷140=4（棵） 一班栽树：47×4=188（棵） 二班栽树：48×4=192（棵） 三班栽树：45×4=180（棵）

答：一班栽树188棵；二班栽树180棵；三班栽树192棵.

例2： 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多

少厘米？ 解法一：

总份数：3+4+5=12 60×(3/12)=15（厘米） 60×(4/12)=20（厘米） 60×(5/12)=25（厘米）

答：三条边的长各是15厘米、20厘米、25厘米。 解法二：

总份数：3+4+5=12

每份的长度：60÷12=5（厘米） 第一条：3×5=15（厘米） 第二条：4×5=20（厘米） 第三条：5×5=25（厘米）

答：三条边的长各是15厘米、20厘米、25厘米。

例3： 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿

子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。 解：三个儿子分羊数比为： 1/2：1/3：1/9=9:6:2

总份数：9+6+2=17

大儿子：17×(9/17)=9（只） 二儿子：17×(6/17)=6（只） 三儿子：17×(2/17)=2（只）

答：大儿子分得9只羊、二儿子分得6只羊、三儿子分得2只羊。

注意：由于三个儿子分总数的比例之和(1/2+1/3+1/9=17/18)不为1，故不能用这些比例求三个儿子各分多少只羊(结果都不是整数)。

例4 ：某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个

车间共多少人？

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解法一：分析：由题意，第一、二、三车间的人数比为8：12：21，第一车间的人数比第二车

间少80人，这80人就相当于（12-8）份，由此用80÷（12-8）可求得1份是多少人，进而求得三个车间各有多少人． 解：1份的人数：80÷(12-8)=20(人)，

一车间：20×8=160(人)； 二车间：20×12=240(人)； 三车间：20×21=440(人)；

答：第一车间有160人，第二车间有240人，第三车间有440人。 解法二：

分析：根据“第一、二、三车间人数的比为8：12：21”得出一二三车间的总份数8+12+21=41份，第一车间人数占总数的8/41，第二车间人数占总数的12/41，把车间总人数看作单位“1”是未知的，数量80除以对应分率（12/41-8/41）求出车间总人数，再分别按照总数乘以占比求出各部分量的值。

解：总份数8+12+21=41（份）， 总人数：80÷(12/41-8/41)=820（人）； 第一车间人数：820×(8/41)=160（人）， 第二车间的人数：820×(12/41)=240（人）， 第三车间的人数：820×(21/41)=420（人）； 答：三个车间各有160人、240人、420人。

四、平面图形问题

(一)平面图形的周长与面积

设平面图形的边长为a、b、c，高为h，半径为r，直径为d，周长为C，面积为S 序号 图形名称 正方形 1 a 长方形 对称轴数（条） 周长 面积 C=4a 4 2 a 无 1 1a=C÷4= C 4C=2(a+b) a=C÷2-b b=C÷2-a C=a+b+c C=a+2b 12 / 16 S=aa=a2 S=a×b=ab a=S÷b b=S÷a S=a×h÷2 = ah2 b 2 三角形 c h b a 等腰三角形 13 b h b a 等边三角形 a h a a 直角三角形 c b a 平行四边形 3 无 C=3a C=a+b+c C=2(a+b) 1S= ac2S=ah a=S÷h h=S÷a 4 h b a 梯形 a d h c b 等腰梯形 a 无 C=a+b+c+d 无 1 无 C=a+b+2c C=a+b+c+d C=πd=2πr d=2r r=d÷2 1S= (ab)h2a=2S÷h-b b=2S÷h-a S= (ab)d 5 c h c b 直角梯形 a d c b 圆 r 12S=πr2 = 1d246 d 无数条 CCd= r= 2半圆周长C=πr+d 圆环周长=C大+C小 =πD+πd=π(D+d) 13 / 16 圆环 r 无数条 圆环面积= S大-S小 =πR2-πr2 =π(R2- r2) 11444 R =2πR+2πr=2π(R+r) = πD2- πd2= (D2- d2) (二)平面图形总结

1、平面图形：用若干条直线段或曲线段组成的外突的图形叫平面图形（不能内折） 2、平面图形的分类（按由直线段或曲线段组成分） a、由曲线段组成：圆、椭圆、扇形等

b、由直线段组成：三角形、四边形、五边形……. (三)各种平面图形知识 1、三角形

(1)三角形的特性：三角形具有稳定性（四边形、五边形……都没有此特性） (2)三角形的组成：有三个顶点、三条边和三个内角 三角形的内角和：无论什么三角形，其内角和都是180°

(3)三角形分类： a按角分：

锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形 直角三角形：有一个内角是直角的三角形 钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形 b按边长分： 普通三角形

等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的边叫腰，另外一条边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，

底边所对的角叫顶角。

等边三角形：三条边都相等的三角形，它的每一个内角都是60°。

(4)三条边能组成三角形的条件：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 因此，当周长确定时，最长边的长度小于周长的一半（因为另一半多是另外两条边的长度之和），最短边的长度大于0（或大于另外两条边之差）。

(5)三角形的边角关系：大角对大边（钝角三角形钝角所对的边最长），小角对小边，等角对等边（等腰三角形两底角相等，等边三角形三底角相等都是60°）。

(6)三角形的高：由一个顶点向对边所作的垂线段。因此三角形有三条高，在图形内的叫内高，在图形外的叫外高。锐角三角形的三条高都是内高；直角三角形有一条内高，另外两条高与直角边重合；钝角三角形有一条内高（由钝角顶点所作的高）和两条外高。 2、四边形

(1)四边形的内角和为360°（可以用一条对角线将四边形分成两个三角形每个三角形内角和180°，总的内角和即为360°）

(2)四边形的演变

一般四边形

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梯形(有且只有一组对边平行) 长方形(有一个内角是直角) 正方形(邻边相等)

平行四边形(两组对边都平行) 菱形(四条边都相等) (有一个内角是直角)

(3)梯形分类

一般梯形(四条边分别叫上底、下底和两条腰) 直角梯形：有两个内角是直角的梯形

等腰梯形：两腰相等的梯形（是对称图形，四个内角两两相等）

(4)平行四边形的性质：两组对边相互平行且长度相等，对角相等，邻角的和是180°。

(5)菱形的的性质：除了平行四边形的性质外，还有四条边都相等，两对角线相互垂直平分都是图形的对称轴。 3、多边形

(1)多边形内角和，设为n边形，内角和为(n-2)×180°(可以从一个顶点画所有对角线将n边形分成n-2个三角形看出，例如五边形可分成3个三角形，六边形可分成4个三角形等等)

因此，三角形、四边形、五边形、六边形……的内角和分别为180°、360°、540°、720°……。

(2)正多边形的内角：正n边形有n个内角，它们都相等，每个内角都为内角和的1/n。

因此，正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形……的一个内角分别为60°、90°、108°、120°……。规律：边数越多内角越大，但一定小于180°。 (四)密铺问题

1、什么是密铺：用小的直线或曲线平面图形铺成大的无缝隙不重叠的平面叫密铺。 2、用直线图形密铺的原则：每一结合点的小图形张开的角度之和为360° 3、能够密铺的直线平面小图形，根据上面的原则，以下图形可以密铺：

三角形(各种)：因其内角和为180°，结合点用同样的6个三角形(角编号1、2、3各2个)即可。 四边形(各种)：因其内角和为360°，结合点用同样的4个四边形(角编号1、2、3、4各1个)即可。 正六边形：因其每个内角为120°，结合点用3个正六边形即可。

根据原则其余直线平面小图形均不能密铺。

五、立体图形问题

(一)长方体（设长宽高分别为a、b、c，棱长之和为L，表面积为S，体积为V） 长方体有12条棱：分别有四条长、四条宽和四条高；有六个面；有八个顶点 长方体的棱长之和L=4a+4b+4c=4(a+b+c) 长方体的表面积S=2(ab+ac+bc)

长方体的体积V=abc=底面积×高 （以任何面为底，不包含的棱即为高）

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(二)正方体（设棱长为a，棱长之和为L，表面积为S，体积为V） 正方体是特殊的长方体（每条棱都相等），因此： 正方体的棱长之和L=12a 正方体的表面积S=6×a×a=6a2 正方体的体积V=a×a×a=a3

(三)圆柱体（设底面半径为r、直径d，高为h，底面周长为C，侧面积为S侧，底面积为S底，体积为V） 侧面积S侧=Ch=2πrh=πdh

表面积S=S侧+2S底=2πrh+2×πr2 =2πr(h+r)=C(h+r)

只有一个底面的表面积S= S侧+S底=2πrh+πr2=πr(2h+r) 体积V=S底×h=πr2 h

(四)圆筒（设大圆柱底面半径R、直径D、周长C，小圆柱底面半径r、直径d、周长c，高均为h） 表面积S=S大圆柱侧+ S小圆柱侧+2(S大圆柱底- S小圆柱底)

=2πRh+2πrh+2(πR2-πr2)= 2πh(R+r)+ 2π(R2- r2)

体积V=V大圆柱-V小圆柱=S大圆柱底×h- S小圆柱底×h=πR2 h-πr2 h=πh(R2- r2)

(五)圆锥体（设底面半径为r、直径d，高为h，底面周长为C，底面积为S底，体积为V）

体积VS底×h= πr2h (圆锥的体积=1/3同底面半径等高的圆柱体的体积)

(六)所有直柱体(包括圆柱和直棱柱)的体积都有：V=底面积×高

直棱柱：所有侧面的棱都垂直于底面而上下两底相互平行的棱柱。按底面形状可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……。其中四棱柱的底面是长方形的是长方体，如果长方体所有棱长都相等就是正方体。

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