洮北区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若

﹣

+1=0，则角B的度数是（ ）

A．60° B．120° C．150° D．60°或120°

2． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）

A．2sin2cos2 B．sin3cos3 C. 3sin3cos1 D．2sincos1

2xy203． 若变量x，y满足约束条件x2y40，则目标函数z3x2y的最小值为（ ）

x10A．-5 B．-4 C.-2 D．3 4． 设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

5． 已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（ ）

A．（﹣2，﹣1）∪（1，2） B．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）

C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）

6． 已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（ ）

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A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2} C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}

ππφ

7． 函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ≤）的部分图象如图所示，则的值为（ ）

22ω

1

A. 81C. 2

1B．

4D．1

8． 设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＜0}=（ ） A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|0＜x＜4}

9． 方程x11y1表示的曲线是（ ）

A．一个圆 B． 两个半圆 C．两个圆 D．半圆

2，且|a2b|23，|b|1，则|a|（ ） 3A． B．3 C． D．

10．已知平面向量与的夹角为

11．若圆心坐标为2,1的圆在直线xy10上截得的弦长为22，则这个圆的方程是（ ） A．x2y10 B．x2y14 C．x2y18 D．x2y116 12．若P是以F1，F2为焦点的椭圆tan∠PF1F2=A．

，则此椭圆的离心率为（ ） B．

C．

D．

=1（a＞b＞0）上的一点，且

=0，

22222222二、填空题

13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是 ．

14．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数fx是奇函数fx的导函数，f10，当x0时，

xfxfx0，则使得fx0成立的x的取值范围是__________．

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15．已知函数f(x)2tanx，则f()的值是_______，f(x)的最小正周期是______.

1tan2x3【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．

x2y21有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 16．设某双曲线与椭圆

2736(15,4)，则此双曲线的标准方程是 . 17．已知ab1，若logablogba10，abba，则ab= ▲ ． 318．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h__________.

三、解答题

19．AA1C1C是边长为4的正方形．AB=3，BC=5．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1C1C，

（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求

的值．

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20．（本题满分14分）已知两点P(0,1)与Q(0,1)是直角坐标平面内两定点，过曲线C上一点M(x,y)作y 轴的垂线，垂足为N，点E满足ME（1）求曲线C的方程；

（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为

2MN，且QMPE0. 33，求AOB面积的最大值. 2【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．

21．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|（a∈R）． （1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；

（2）在（1）的条件下，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．

22．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0． （1）证明：函数f（x）是奇函数；

（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．

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23．（本小题满分10分） 已知函数fxxax2．

（1）若a4求不等式fx6的解集；

（2）若fxx3的解集包含0,1，求实数的取值范围．

24．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4=7，S4=16． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=

，求数列{bn}的前n项和Tn．

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洮北区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：根据正弦定理有： =代入已知等式得：即

﹣1=

﹣，

+1=0，

，

整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC， 即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）， 又∵A+B+C=180°， ∴sin（B+C）=sinA， 可得2sinAcosB=sinA， ∵sinA≠0，

∴2cosB=1，即cosB=， 则B=60°． 故选：A．

【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

2． 【答案】A 【解析】

试题分析：利用余弦定理求出正方形面积S11212-2cos22cos；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积S24确答案为A.

考点：余弦定理和三角形面积的求解.

【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角

111sin2sin；故八边形面积SS1S22sin2cos2.故本题正21111sinsin求出个三角形的面积4S2sin；接下来利用余弦定理可求出正222222方形的边长的平方11-2cos，进而得到正方形的面积S111-2cos22cos，最后得到

形面积公式S答案.

3． 【答案】B 【解析】

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31xz，直线系在可22行域内的两个临界点分别为A(0,2)和C(1,0)，当直线过A点时，z3x2y224，当直线过C点时，z3x2y313，即的取值范围为[4,3]，所以Z的最小值为4.故本题正确答案为B.

试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系y考点：线性规划约束条件中关于最值的计算. 4． 【答案】D

【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；

C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线； 故选：D．

5． 【答案】D

【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图 则不等式xf（x）＜0的解为：

或

解得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 故选：D．

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6． 【答案】D

【解析】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，

xx

故可得f（10）＞0等价于﹣1＜10＜， x

由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10＞﹣1，

而10＜可化为10＜

x

x，即10＜10﹣，

x

lg2

由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2 故选：D

7． 【答案】

【解析】解析：选B.由图象知函数的周期T＝2， 2π

∴ω＝＝π，

2

1

即f（x）＝sin（πx＋φ），由f（－）＝0得

4ππ－＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋. 44πππ又－≤φ≤，∴当k＝0时，φ＝，

224φ1

则＝，故选B. ω48． 【答案】D

【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象 关于y轴对称，

且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0）， 故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个 单位得到的，

故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0）， 则由f（x﹣2）＜0，可得 0＜x＜4， 故选：D．

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【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．

9． 【答案】A 【解析】

试题分析：由方程x11y1，两边平方得x1(1y1)，即(x1)2(y1)21，所

2222以方程表示的轨迹为一个圆，故选A. 考点：曲线的方程. 10．【答案】C

考点：平面向量数量积的运算． 11．【答案】B 【解析】

考

点：圆的方程.1111] 12．【答案】A

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【解析】解：∵∴

∵Rt△PF1F2中，∴∴

又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t ∴此椭圆的离心率为e=故选A

=

=

=

，设PF2=t，则PF1=2t

，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．

，

=2c，

=

【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 （﹣3，21） ．

【解析】解：∵数列{an}是等差数列，

∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d， 由待定系数法可得

∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18， ∴两式相加即得﹣3＜S9＜21． ∴S9的取值范围是（﹣3，21）． 故答案为：（﹣3，21）．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

14．【答案】,10,1

，解得x=3，y=6．

【解析】

15．【答案】3，.

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xk2tanx2tan2xf()tan3【解析】∵f(x)，∴，又∵，∴f(x)的定义域为221tanx331tan2x0k)(k,k)，kZ，将f(x)的图象如下图画出，从而

244442可知其最小正周期为，故填：3，. (k,k)(k,16．【答案】【解析】

yx1 4522

x2y21的焦点在y轴上，且c236279，故焦点坐标为0,3由双曲试题分析：由题意可知椭圆

2736线的定义可得2a150432215043224,故a2，b2945，故所求双

y2x2y2x21．故答案为：1． 曲线的标准方程为4545考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 17．【答案】43 【解析】

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试题分析：因为ab1，所以logba1，又logablogba3101101logbalogba3或（舍），3logba33因此ab3，因为abba，所以b3bbb3bb3,b1b3,a33，ab43 考点：指对数式运算 18．【答案】 【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA底面ABC，且ABC为直角三角形，且

11AB5,VAh,AC6，所以三棱锥的体积为V56h5h20，解得h4.

32

考点：几何体的三视图与体积.

三、解答题

19．【答案】

【解析】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC． 又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC， ∴AA1⊥平面ABC．

（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．

222

∴AC+AB=BC，∴AB⊥AC．

建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），

∴，，． 设平面A1BC1的法向量为

则

，平面B1BC1的法向量为

=（x2，y2，z2）．

，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴

．

，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴

．

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==

．

=

．

∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为

（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D ∴∵∴∴

．

=

，∴

，， ，解得t=

．

=（0，3，﹣4），

，

【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．

20．【答案】

【解析】（1）依题意知N(0,y)，∵ME2221MN(x,0)(x,0)，∴E(x,y) 3333则QM(x,y1)，PE(x,y1) …………2分

131x2y21 ∵QMPE0，∴xx(y1)(y1)0，即

33第 13 页，共 17 页

x2y21 …………4分 ∴曲线C的方程为3

21．【答案】

【解析】解：（1）f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|

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

＝－x＋2a＋1，－1＜x＜a， 3x－2a＋1，x≥a，

2

2

2

2

－3x＋2a2－1，x≤－1，

当x≤－1时，f（x）≥f（－1）＝2a2＋2， －1＜x＜a2，f（a2）＜f（x）＜f（－1）， 即a2＋1＜f（x）＜2a2＋2， 当x≥a2，f（x）≥f（a2）＝a2＋1，

所以当x＝a2时，f（x）min＝a2＋1，由题意得a2＋1＝3，∴a＝±2. （2）当a＝±2时，由（1）知f（x）＝ －3x＋3，x≤－1，

－x＋5，－1＜x＜2， 3x－3，x≥2，

由y＝f（x）与y＝m的图象知，当它们围成三角形时，m的范围为（3，6]，当m＝6时，围成的三角形面积

1

最大，此时面积为×|3－（－1）|×|6－3|＝6.

2

22．【答案】

【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称． 又f（x﹣y）=

，

所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]= = =

= = =，

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故函数f（x）奇函数．

（2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]=令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]=∵f（x﹣2）=∴f（x﹣4）=则函数的周期是4．

先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0， 设2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1， 则f（x﹣2）=设2≤x1≤x2≤3，

则f（x1）＜0，f（x2）＜0，f（x2﹣x1）＞0， 则f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），

即函数f（x）在[2，3]上为减函数，

则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1．

【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．

23．【答案】（1）,0【解析】

，

，即f（x）=﹣

＜0，

=

，

，

=

=

=

，

，

6,；（2）1,0.

试题分析：（1）当a4时，fx6，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为,0试题解析：

恒成立，即1a0.

6,；（2）fxx3等价于xa2x3x，即1xa1x在0,1上

x2x42x4a4（1）当时，fx6，即或或，

4x2x64xx26x4x26解得x0或x6，不等式的解集为,06,；

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考

点：不等式选讲． 24．【答案】

【解析】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得：a1=1，d=2an=2n﹣1… （2）由①得∴∴

…（12分）

…（7分）

…（11分） …（2分）

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．

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