洮北区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 如图甲所示， 三棱锥PABC 的高PO8,ACBC3,ACB30 ，M,N分别在BC（0，3，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥NAMC的体积y与 和PO上，且CMx,PN2xx的变化关系，其中正确的是（

）

A．

B． C. D．1111]

）C．|a|＞|b|

D．a2＞b2

2． 若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（ A．

＞

B．＞

3． 向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（ ）

A．B．C．D．

4． 若动点A(x1,y1)、B(x2,y2)分别在直线： xy110和l2：xy10上移动，则AB中点M所在直线方程为（ A．xy60

）

B．xy60

C．xy60

D．xy60

5． △ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，已知a3，b6，A6，则

B（ ）111]

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2 D．

443336． 已知三棱柱ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，

A．

B．

或

3 4C．

或

则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（

）

A．3 4B．5 4）

C.7 4D．

347． 已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（ A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜c＜a

8． 底面为矩形的四棱锥P­ABCD的顶点都在球O的表面上，且O在底面ABCD内，PO⊥平面ABCD，当四棱锥P­ABCD的体积的最大值为18时，球O的表面积为（ A．36π C．60π

9． 已知双曲线的方程为A．

B．

C．

或﹣

B．48πD．72π

=1，则双曲线的离心率为（ D．

或

）））

10．三个数a=0.52，b=log20.5，c=20.5之间的大小关系是（ A．b＜a＜cB．a＜c＜bC．a＜b＜cD．b＜c＜a11．记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ A．C．

12．设0＜a＜1，实数x，y满足

B．D．

）

，

，则y关于x的函数的图象形状大致是（ ）

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A．B．C．D．

二、填空题

13．0）P，Q是单位圆上的两动点且满足已知A（1，，的 ，则

+

的最大值为　　　　　　．14．对于函数yf(x),xR,,“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”

▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）

15．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为　　km．

16．已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是　　　　　　．（填上所有正确结论的序号）

①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；

②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；

⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．　

17．（﹣）0+[（﹣2）3]　

=　　．18．已知数列{an}满足an+1=e+an（n∈N*，e=2.71828）且a3=4e，则a2015=　　　　　　．三、解答题

19．（本小题满分12分）

某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：

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频率组距a0.0250.020.0150.005O5060708090100销售量/千克

（Ⅰ）求频率分布直方图中的a的值，并估计每天销售量的中位数；

（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．

20．求同时满足下列两个条件的所有复数z：①z+

是实数，且1＜z+

≤6；

②z的实部和虚部都是整数．

21．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点P（1，0），

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斜率为，曲线C：ρ=ρcos2θ+8cosθ．

（Ⅰ）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．　

22．若数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）在y=（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有

．

x的图象上（n∈N*），

，求证：对任意正整数n≥2，总有

23．如图，已知椭圆C： +y2=1，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A，且线

段AB的中点E在直线y=x上（Ⅰ）求直线AB的方程

（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：OM•ON为定值．

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24．已知函数f（x）=

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当

．

时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．

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洮北区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A【解析】

考

点：几何体的体积与函数的图象.

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.

2． 【答案】A

【解析】解：∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，可知：B，C，D都正确，因此A不正确．故选：A．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．　

3． 【答案】B

【解析】解：如果水瓶形状是圆柱，V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D错；

由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A、C错．故选：B．　

4． 【答案】D【解析】

即

，

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考

点：直线方程5． 【答案】B【解析】

试题分析：由正弦定理可得:3sin6362,sinB,B0,,B 或，故选B.

4sinB24考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数.6． 【答案】D【解析】

考

点：异面直线所成的角.7． 【答案】C

【解析】解：由对数和指数的性质可知，∵a=log20.3＜0b=20.1＞20=1c=0.21.3 ＜ 0.20=1∴a＜c＜b故选C．

8． 【答案】

【解析】选A.设球O的半径为R，矩形ABCD的长，宽分别为a，b，则有a2＋b2＝4R2≥2ab，∴ab≤2R2，

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又V四棱锥P－ABCD＝1S矩形ABCD·PO

3

2

＝1abR≤R3.

33

2

∴R3＝18，则R＝3，3

∴球O的表面积为S＝4πR2＝36π，选A.9． 【答案】C

【解析】解：双曲线的方程为

﹣

=1，

焦点坐标在x轴时，a2=m，b2=2m，c2=3m，离心率e=

．

焦点坐标在y轴时，a2=﹣2m，b2=﹣m，c2=﹣3m，离心率e=故选：C．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．　

10．【答案】A

【解析】解：∵a=0.52=0.25，b=log20.5＜log21=0，c=20.5＞20=1，∴b＜a＜c．故选：A．

【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．　

11．【答案】 　A【解析】

进行简单的合情推理．【专题】规律型；探究型．

【分析】将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的ai，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．【解答】因为

=

（a1×103+a2×102+a3×10+a4），

=

．

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括号内表示的10进制数，其最大值为 9999；从大到小排列，第2013个数为9999﹣2013+1=7987

所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7则第2013个数是故选A．

【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可．12．【答案】A

【解析】解：0＜a＜1，实数x，y满足轴对称，

在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），故选：A．

【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．　

，即y=

，故函数y为偶函数，它的图象关于y

二、填空题

13．【答案】　

【解析】解：设∴

+

．

=

故答案为：

　．

=

，则=1×

×

=

≤

=

，

的方向任意．

．

，因此最大值为

【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．　

14．【答案】必要而不充分【解析】

2试题分析：充分性不成立，如yx图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，yf(x)是奇函数，

|f(x)||f(x)||f(x)|，所以y|f(x)|的图象关于y轴对称.

考点：充要关系

【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1.定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．

2.等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

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3.集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．15．【答案】　

【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，在△ABC中，根据正弦定理得：BC=则这时船与灯塔的距离为故答案为

．

海里．

=

海里，

16．【答案】　①②⑤　

【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=定点，故②正确；

对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，1，由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0还有另外两解

不动点，故③④错误；

对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；

若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，

假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾；假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确．故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．　

，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，

，其中

是稳定点，但不是

或x=1，故①正确；

对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳

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17．【答案】　　．

【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]=1+（﹣2）﹣2=1+=．故答案为：．

18．【答案】　2016　．

【解析】解：由an+1=e+an，得an+1﹣an=e，∴数列{an}是以e为公差的等差数列，则a1=a3﹣2e=4e﹣2e=2e，

∴a2015=a1+2014e=2e+2014e=2016e．故答案为：2016e．

【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．　

三、解答题

19．【答案】（本小题满分12分）

解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数．（Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025a)101得a0.035 （3分）

0.151074.3千克 （6分）0.35（Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180元；

每天销售量的中位数为70 若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300元， （10分）∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270元. （12分）20．【答案】 【解析】解：设z+解方程得 z=

±

=t，则 z2﹣tz+10=0．∵1＜t≤6，∴△=t2﹣40＜0，

i．

又∵z的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6，故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或 z=3±i．　

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21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，0），斜率为∴直线l的一个参数方程为

（t为参数）；

，

∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1﹣cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）2=4ρcosθ，∴y2=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（Ⅱ） 把

代入y2=4x整理得：3t2﹣8t﹣16=0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则∴

．

，

【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

22．【答案】

【解析】（I）解：∵点（an，Sn）在y=∴当n≥2时，∴

当n=1时，∴

=，化为

，解得a1=．

=

．

=2n+1，

，

，

，

x的图象上（n∈N*），

（2）证明：对任意正整数n都有

∴cn=（cn﹣cn﹣1）+（cn﹣1﹣cn﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3=

∴当n≥2时，

=

=（n+1）（n﹣1）．

=

．

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∴

=，

又∴

=+…+=＜

=．

．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

23．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），∵点A在椭圆C上，∴

整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），则

，

，

直线AP方程为：y+=（x+），

联立直线AP与直线y=x的方程，解得：xM=直线BP的方程为：y+1=

，

，

，

联立直线BP与直线y=x的方程，解得：xN=∴OM•ON==2•|

|xM|

|xN||•|

|

=||

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=||

=|=．

|

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．　

24．【答案】

【解析】解：（1）f（x）==sin2x+=

=sin（2x﹣周期T=π，

因为cosx≠0，所以{x|x≠当2x﹣

∈，即

+kπ，k∈Z}…5分

+kπ，x≠

+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，

sinxcosx﹣+

sin2x﹣）…3分

﹣

+kπ≤x≤

所以函数f（x）的单调递减区间为，，k∈Z…7分（2）当sin（2x﹣故当x=

，2x﹣

∈，…9分

时取最大值，

）∈（﹣，1），当x=

时函数f（x）取最大值为1…12分

【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．　

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