初中数学函数动点及存在性问题专项

一、从动点角度

关于动点问题，又从两个角度从寻找满足条件的点的位置角度

从由动点问题探究题目中变化的量之间的关系角度（1）从寻找满足条件的点的位置角度

例1：如图1，在△ABC中，ABAC1，点D，E在直线BC上运动，设BDx，CEy． （1）如果BAC30，DAE105，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果BAC的度数为，DAE的度数为，当，满足怎样的关系式时，（1）中y与x之

Ａ 间的函数关系式还成立，试说明理由．

Ｄ 分析：根据角之间的关系找关系

解：（1）在△ABC中，ABAC1，∠BAC30，

Ｂ

图1

Ｃ

Ｅ

∠ABC∠ACB75

∠ABD∠ACE105 又∠DAE105，

∠DAB∠CAE75

又∠DAB∠ADB∠ABC75 ∠CAE∠ADB △ADB∽△EAC

ABBD  ECAC 即

1x1，所以y y1x

（2）当，满足关系式290时，函数关系式y1仍然成立 x 此时，∠DAB∠CAE 又∠DAB∠ADB∠ABC90，

∠CAE∠ADB

△ADB∽△EAC仍然成立 又∠ABD∠ACE，从而（1）中函数关系式y1成立． x

，B的坐标分别为(4，，，0)43，动点M，N 例2：如图2，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A

1

分别从O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点M作MP⊥OA，交AC于P，连结NP，已知动点运动了x秒． （1）P点的坐标为（ ， ）（用含x的代数式表示）； （2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值； （3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．

y C P Ｎ B O 分析：三角形边之间的关系 例3：（12分）如图6，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。

（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM∽△PCN；

（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。

y x=1 M 图2 A x A M P N C O x B

图6

0

解：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90， ∴四边形OBNM为矩形。

0

∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=90 ∵

AMPM，AO=BO=1， AOBO ∴AM=PM。

∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM ∴OM=PN

0

∵∠OPC=90

0

∴∠OPM+CPN=90

0

又∵∠OPM+∠POM=90

2

∴∠CPN=∠POM ∴△OPM∽△PCN （2）∵AM=PM=APsin450=2m 2∴NC=PM=

2m 22m 222m-m=12m

22∴BN=OM=PN=1-

∴BC=BN-NC=1-

例4：（2005，河南）如图7，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC上不与点B、C重合的任意一点，

连接AP，过点P作PQDC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm。

①求点P在BC上运动的过程中y的最大值； A ②当y=

D 1cm时，求x的值。 4分析：先证ABP与PCQ相似，通过相似三角形对应边成比例，得出x与 y之间的函数关系式。

解：①y有最大值，当x=2时，y最大=1（cm） ② 当y=

B P 图7

Q C 1cm时， x的值是23或23 4（2）从由动点问题探究题目中变化的量之间的关系角度

例6：（2005，泰州）如图2，ABC中，BC=4，AC=23，∠ACB=600，P为BC上一点，过点P作PD∥AB，交AC于D，连接AP，问点P在BC上何处时，APD的面积最大？

分析：如设BP＝x，则点P在BC边上的运动转化为x的取值变化，并且图形中APD的存在条件制约了x的取值，所以0解：x＝2，即P为BC中点时，APD的面积最大。 总结：从题目条件的角度看本题是一个几何问题，而从所求结论角度看本题，是求最大值的代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是指导我们思路的灵魂，为了实现这种转化，就要把静止转化为运动，把位置关系转化为数量关系，得出函数的解析式。 二、从动线角度

关于动线问题，主要从两个角度从直线的平移角度

从直线的旋转角度3

（1）从直线的平移角度

例1：（2004，河南）如图,边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），一次函数y＝x+t的图像l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分） ①当t取何值时，S＝3？

②在平面直角坐标系中，画出S与t的函数图象。 分析：直线y＝x+t与直线AC平行，所以， 当t取不同值时，说明直线l与y轴有不同 的交点，但平行关系不变，从而也断定了 DMC是等腰直角三角形。 解：① 当t＝4－2时，S＝3。 (1)

(2)

② s12t2(0t2) s412(4t)2(2t4)

s4(t4)

（2）从直线的旋转角度

例：（2005,福建三明）已知，如图，线段AM∥DN，直线l与AM、DN分别交于点B，C，直线l

绕BD的中点P旋转（点C由D点向N点方向移动）。

①线段BC与AD、AB、CD围成的图形，在初始状态下，形状是ABD（即ABC）,请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形名称；

②任取变化过程中的两个图形，测量AB、CD长度后分别计算每一个图形的AB+CD（精确到1cm），比较这两个和是否相同？试加以证明。 三、从图形的翻折、平移与旋转角度

例：如图3、图4、图5，以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标

系，A点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，4)．将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为OA1B1C1，BC，A1B1相交于点M． （1）求点B1的坐标与线段B1C的长；

（2）将图3中的矩形OA1B1C1沿y轴向上平移，如图4，矩形PA2B2C2是平移过程中的某一位置，

BC，A2B2相交于点M1，点P运动到C点停止．设点P运动的距离为x，矩形PA2B2C2与原矩形

OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

4

（3）如图5，当点P运动到点C时，平移后的矩形为PA3B3C3．请你思考如何通过图形变换使矩形

PA3B3C3与原矩形OABC重合，请简述你的做法．

B1 Ｃ

B3 y y Ｍ Ｂ B2 y C3 A3 M1 Ｂ Ｃ(Ｐ) C2 Ｃ Ｂ C1 A2 A1 P Ｏ 图3

Ａ x Ｏ 图4 Ａ x Ｏ 图5 Ａ x 解：（1）如图3，因为OB1OB32425，所以点B1的坐标为(0，5)

B1COB1OC541

（2）在矩形OA1B1C1沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中，点A1运动到矩形OABC的边BC上

11． 511当自变量x的取值范围为0≤x时，如图4，由△B2CM1∽△B2A2P，

533x1133x得CM1，此时，yS△B2A2PS△B2CM134(1x)．

42243323452即y(x1)6（或yxx）

884811当自变量x的取值范围为≤x≤4时，

522216322(x4)yxx求得yS（或） △PCM13333时，求得P点移动的距离x（3）部分参考答案：

①把矩形PA3B3C3沿BPA3的角平分线所在直线对折．

②把矩形PA3B3C3绕C点顺时针旋转，使点A3与点B重合，再沿y轴向下平移4个单位长度．

5

③把矩形PA3B3C3绕C点顺时针旋转，使点A3与点B重合，再沿BC所在的直线对折． ④把矩形PA3B3C3沿y轴向下平移4个单位长度，再绕O点顺时针旋转，使点A3与点A重合． 提示：本问只要求整体图形的重合，不必要求图形原对应点的重合．

是否存在问题

此类问题，通常先假设存在，然后根据题设条件和动点位置的变化，利用特殊图形的性质、面积计算公式或相似三角形性质定理等方法，建立动点与线段、面积之间的关系式，然后根据自变量的取值范围推导是否得出矛盾，若得出矛盾，则不存在；反之，不能得出矛盾，则成立，并根据假设求出符合要求的解。以下从多角度分析此类问题： 代数中的存在问题：

例1：已知方程a(2xa)x(1x)的两个实数根为x1、x2，若s（1） 当a2时，求s的值；

（2） 当a取什么整数时，S的值为1？

（3） 是否存在负数a，使s 的值不小于25？若存在，求出a的区值范围；若不存在，请说明理由。

分析：根据根系关系找关系

从是否存在点的角度

例1：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以2cm/s的

速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止)．设P、Q同时出发并运动了t秒． (1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；

(2)试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由。

2x1x2

分析：根据边之间的关系

例2：已知抛物线yaxbxc，经过点A(0，5)和点B（3 ，2）

(1)求抛物线的解析式：

(2) 现有一半径为l，圆心P在抛物线上运动的动圆，问⊙P在运动过程中，是否存在⊙P 与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请说明理由； (3) 若⊙ Q的半径为r，点Q 在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r的值 解：(1)由题意，得；

2c5b=-4 ………3分 解得3bc92c=56

抛物线的解析式为yx4x5 …… ……4分 (2)当⊙P在运动过程中，存在⊙P与坐标轴相切的情况． 设点P坐标为(x0,y0)，则

则当⊙P与y轴相切时，有x0=1，x0=±1

由x0= -1，得y0141510P,10)，…… ……5分 1(1由x0= 1，得y014152P,2) …… ……6分 2(1

当⊙P与x轴相切时有y01

∵ 抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方．∴y0=1

2 由y01=1，得x04x051，解得y0=2，B(2，1)

222 综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为： P1(1,10),P2(1,2),P3(2,1) ………… 8分

(3)设点Q坐标为(x，y)，则当⊙Q与两条坐标轴都相切时，有y=x 由y=x得x4x5x，即x5x50，解得x222255 …… 2 由y=-x，得x4x5x．即x3x50，此方程无解

∴⊙O的半径为 r55 2例3：抛物线y = ax2+bx+c (a≠0)过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点. （1）求该抛物线的解析式.

（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90º.若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标. （3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠PMK=90º，说明理由.

7

例4：已知⊙O1与⊙O2外切于O，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A，交y轴于点C(0，2)，交x轴于点M，BO的延长线交⊙O2于点D，且OB:OD13（1）求⊙O2的半径长；（2）求直线AB的解析式；（3）在直线上是否存在:，点P，使MO2P与MDB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

例5：已知：在平面直角坐标系xoy中，二次函数yx(m1)xm2 ，的图像与x轴交与A B两

点，点A在x轴负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交与点C，且OB=3OA。 （1） 求这个二次函数的解析式；

（2） 设抛物线的定点为D，过点A的直线y211x与抛物线交与点E。问：在抛物线的对称轴22上是否存在这样的点F，使得ABC与以B、D、F为顶点的三角形相似，若存在，求出点F

的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） 点G(x,1)在抛物线上，求出过点A、B、G的圆的圆心坐标。

例6：已知：如图圆D交Y轴于A、B，交X轴于C,过点C的直线：y22x8与Y轴交于P。(1)求证：PC是圆D的切线；(2)判断在直线PC上是否存在点E，使得SEOP4SCDO，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当直线PC绕点P转动时，与劣弧AC交于点F(不与A、C重合)，连结OF，设PF=m，OF=n,，求m,n之间满足的函数关系式，并写出自变量n的取值范围。

例7：已知：如图，⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A（0，2）是⊙P与y轴的交 点，点B（22，0），连结BP交⊙P于点C，连结AC并延长交x轴于点D， （1）求线段BC的长；

（2）求直线AC的函数解析式；

当点B在x轴上移动时，是否存在点B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合条件点的坐标，若不存在，请说明理由。

例8：已知抛物线y125xk1xk与x轴的负半轴交于A,B两点，且OA=3OB. 22（1）求抛物线解析式；

（2）若直线yax1(a2)与抛物线只有一个交点，试确定a的值；

（3）设抛物线的顶点为C，在（2）中的直线上是否存在点P，使△ACP是等腰三角形？如果存在，请

8

写出所有这样的点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

例9：（本小题12分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形0ABC的边OA在x轴上．

∠B=60,OA=6.OC=4,D是BC的中点，延长AD交OC的延长线于点E.

(l）画出△ECD关于边CD所在直线为对称轴的对称图形△E1CD，并求出点E1的坐标; (2）求经过C、E2、B三点的抛物线的函数表达式;

(3）请探求经过C、E1、B三点的抛物线上是否存在点P．使以点P、B、C为顶点的三角形与

△ECD相似，若存在这样的点P，请求出点P的坐标；若不存在这样的点P，请说明理由．

是否存在直线、线段的角度

1．如图，在直角坐标系中以点A（3，0）为圆心，以23为半径的圆与x轴交于B，C两点，与y轴交于D、E两点，

（1） 求D点坐标； （2）

若B、C、D三点在抛物线yaxbxc(a0)上，求这个抛物

20

线的解析式。

（3） 若A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴于负半轴点N，且∠OMN

。

＝30，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由。

2． 在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上. （1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积； （2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由.

9

.解：（1）由已知条件得：

梯形周长为12，高4，面积为28 过点F作FG⊥BC于G 过点A作AK⊥BC于K 12－x

则可得：FG= ×4

5

1224

∴S△BEF= BE·FG=－ x2+ x（7≤x≤10）

255（2）存在

224

由（1）得：－ x2+ x=14

55得x1=7 x2=5（不合舍去）

∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7 （3）不存在 ′

假设存在，显然是：S△BEF∶SAFECD=1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2 21628

则有－ x2+ x=

553整理得：3x2－24x+70=0

△=576－840<0

∴不存在这样的实数x。

即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积 同时分成1∶2的两部分

3．已知抛物线yaxbxc(a0)经过x轴有两点A(x1，0)和B（x2，0），和y轴上的点C（0，23），2P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b＝3a，AB＝23，

（1） 求抛物线的解析式；

（2） D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD

是否经过圆心P？并说明理由？

（3） 设直线BD交P于另一点E，求经过点E的P的切线的解析式。

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是否存在某个字母值的角度

1．已知方程a(2xa)x(1x)的两个实数根为x1、x2，若s（4） 当a2时，求s的值；

（5） 当a取什么整数时，S的值为1？

（6） 是否存在负数a，使s 的值不小于25？若存在，求出a的区值范围；若不存在，请说明理由。

分析：根据根系关系找关系

2．已知抛物线yx(2m3)xm10与x轴交于A、B两点，C为抛物线顶点， （1） 是否存在m的值，使ACBC.

。

（2） 是否存在m的值，使∠ACB＝60，求此时抛物线的解析式。 答案：（1）存在，m＝（3） 存在，m＝

3、已知抛物线yx6xm与x轴有两个不同交点A和B，以A、B为直径作（1） 求圆心C的坐标；

（2） 是否存在实数m，使抛物线的顶点在

理由。

222x1x2 213 4311239 ，yxx1624C

C上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明

4、已知：直线y＝2x+6与x轴和y轴分别相交于A，C两点，抛物线yxbxc经过A,C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点。

（1） 求抛物线的解析式及点B的坐标；

（2） 设点P是直线AC上一点，且SABP:SBPC1:3,求点P的坐标； （3） 直线y＝

21，xa与（1）中所求抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON＝90。

2若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。

5、已知抛物线y12x3mx18m2m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1< x2）两点，与y轴交8于点C（0，b）,O为原点。 （1） 求m的取值范围； （2） 若m>

1,且OA+OB=3CO，求抛物线的解析式及A、B、C三点的18坐标；

（3） 在（2）的情况下，点P、Q分别从A、O两点同时出发，以相同的

速度沿AB、OC向B、C运动，连结PQ与BC交于M，设AP＝K，问是否存在K的值，使以P、B、M为顶点的三角形与ABC相似，

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若存在，求出所有K的值，若不存在，请说明理由。

是否存在图形的角度

1、 已知四点A(1，2)，B(3，0) ，C(-2，20)，D(-1，12).试问，是否存在一个二次函数，使它的图像同时经过这四点.如果存在，请求出它的解析式;如果不存在，请说明理由. 答案：yx25x6

2、已知抛物线C：yaxbxc(a0)与x轴交于原点O及点D，且与直线y＝kx+4交于点A（1，m）和B（4，8），若将抛物线C向下平移得到抛物线C1，记抛物线C1与x轴的两个交点为E、F，抛物线C1的顶点坐标为C。

。

（2） 能否使∠ECF＝60

。

（3） 将抛物线向下平移几个单位才能使∠ECF＝90 答案：（1）能，yx6x6 （4） 向下平移8个单位

3、设 ABC 的三边分别为a、b、c, a 和 b 是方程 x2c2x2c10的两个实数根。

(1) 试判断 ABC 是否为直角三角形，并说明理由； (2) 若 ABC 为等腰三角形，求a、b、c的值。

从实际应用角度

1．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽为10m。

（1） 建立如图所示的坐标系，求此抛物线的解析式； y （2） 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥

O 开往乙地，已知甲地距此桥280㎞（桥长忽略不计）。货车正

x

以每小时40㎞的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接 到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速 度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达桥 拱最高点O时，禁止通行）。试问：如果货车按原来速度行 驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由。若不能，要使货 车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

2．某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图． 请结合图象，回答下列问题：

(1)根据图中信息，请你写出一个结论； (2)问前15位同学接水结束共需要几分钟? (3)小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗?请说明理

12

22由．

图表 1

解：（1）锅炉内原有水96升；接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升；接水4分钟后，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等． （2）当0≤x≤2时，

设函数解析式为y=k1x+b1，

把x=0，y=96和x=2，y=80代入得： b196,k18, 解得

2k1b180,b196, ∴y=-8x+96（0≤x≤2）． 当x>2时，

设函数解析式为y=k2x+b2，

把x=2，y=80和x=4，y=72代入得： 802k2b2,k24,解得

724k2b2,b288, ∴y=-4x+88（x>2）．

因为前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升）， 所以 66=-4x+88， x=5.5．

答：前15位同学接完水需5.5分钟．

（3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分）， 即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符．

②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t•分钟开始接水．当0∴（2-t）+[3-（2-t）]=3（分），符合． 当t>2时，

则 8×2÷4=4（分）．

即8位同学接完水，需4分钟，与接水时间恰好3分钟不符．

所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟．

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