第7讲消元问题

消元问题

消元问题是指消去或去掉某一个未知数的意思。当数学问题中只有一个未知数时，我们可以采用一般的数学方法进展解答，当数学问题中的未知数多的时候就要用消元的方法进展解答, 这种解题方法叫做消元法，也叫消去法，这类应用题叫消去应用题。

常用的消元法有“加减消元法〞、“代入消元法〞、“比拟消元法〞等。

【例1】父亲与儿子的年龄加起来是51岁，母亲与儿子的年龄加起来是47岁，父母子的年龄加起来是87岁，求父、母、子各人的年龄？

分析：根据题意，可以找到三人之间的年龄关系

父+子=51〔岁〕 母+子=47〔岁〕 父+母+子=87〔岁〕

式中“父〞、“母〞、“子〞代表三人的年龄数，这三个式子不难发现，87与

51的差就是母亲的年龄，可以通过下面方式来表达.

父 + 母 + 子 = 87

— 父 + 子 = 51

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母= 36

同样的方式可求父亲的年龄

父 + 母 + 子 = 87

— 母 + 子 = 47

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父 = 40

儿子的年龄就可以求出来了

解： 87-51=36〔岁〕……母亲年龄

87-47=40〔岁〕……父亲年龄

51-40=11〔岁〕……儿子年龄

答：父亲的年龄是40岁，母亲的年龄是36岁，儿子的年龄是11岁。

【例2】A、B两数之和为154，A的6倍与B的2倍之差为340，求A、分析: 根据题意知：A+B=154， 6A-2B=340

根据这两个式子，不能直接消元，为此我们可以将A+B=154扩大2倍，两个数.

B

变为2A+2B=308，这样就将两个式子中的一个未知数消掉了.

2 A + 2 B = 308

+ 6 A - 2 B = 340

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8 A = 648

这样A和B分别是几就能很快求出来了。

解： 〔154×2+340〕÷〔1×2+6〕=648÷8=81……A

154-81=73……B

答：A为81，B为73。

【例3】3支金笔与5支铱金笔合起来值76元，又知2支金笔与7支铱金笔合起来值80元，求每种笔每支的价格。

分析：根据题意有关系式样 3金+5铱=76〔元〕 2金+7铱=80〔元〕

为了能到达消元的目的，我们可通过将2个式子中“金笔〞的数扩大成一

致.这样可以先求出铱金笔的价钱，再求金笔的价钱，而将金笔数扩大时，

可以找到3和2的最小倍数是6，所以上面两个式子可以写成

6金 + 21铱 = 240〔元〕

—6金+10铱 = 152〔元〕

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11铱 = 88〔元〕

解: (80×3-76×2)÷(7×3-5×2)=8(元)……铱金笔

(76-8×5)÷3=12(元)……金笔

答：铱金笔每支8元，金笔每支12元。

【例4】有大小两种球，6个大的与14个小的共重290克，15个大的与2个小的共重296克，求每个大、小球的重量。

分析：依题意有6大+14小=290，15大+2小=296

从上面式子中可以看到，我们可以将大球的个数扩大成一样后，将大球消

去，然后可以先求出小球的重量，再求出大球的重量。

30大 + 70小 = 1450

— 30大 + 4 小 = 592

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66小 = 858

解： 〔290×5-296×2〕÷(14×5-2×2)=858÷66=13(克)……小球

(290-13×14)÷6=18〔克〕……大球

答：大球每个18克，小球每个13克。

【例5】小明去水果店买水果。原方案买4千克梨和5千克苹果，要付出50元。结果他买了4千克梨和6千克苹果，一共付出56元，求1千克梨多少元？

解:(1)实际比方案多买了多少千克苹果

6-5=1(千克)

(2)1千克苹果要多少元

56-50=6(元)

(3)5千克苹果多少元

6×5=30(元)

(4)4千克梨要多少元

50-30=20(元)

(5)1千克梨要多少元

20÷4=5(元)

综合算式:

[(50-(56-50)÷(6-5)×5)÷4=(50-6÷1×5)÷4

=(50-30)÷4=20÷4

=5(元)

答:1千克梨5元.

【例6】学生用的课桌椅，买一只椅子和2只桌子价钱是105元，如果买2只椅子和一只桌子价钱是90元，椅子单价是多少元？桌子单价是多少元？

分析：先求3只椅子和3张桌子的价钱,再求1只椅子和一张桌子的价钱,进而用减法分别求出1只椅子和一张桌子的价钱.

解:1只椅子+2张桌子=105(元)……①

2只椅子+1张桌子=90(元)……②

由①+②得:3只椅子+3张桌子=195(元)……③

由③÷③得:1只椅子+1张桌子=65(元)……④

由①-④得:1张桌子=40(元)

由②-④得:1只椅子=25(元)

答:一张桌子40元,1只椅子25元.

【例7】甲买了3千克苹果，2千克梨，乙买了4千克苹果，3千克梨，丙买了3千克苹，果4千克梨，乙比甲多花5元钱，甲比丙少花4元钱，问甲乙丙各花了多少元？

分析： 甲:3千克苹果 2千克梨

乙:4千克苹果 3千克梨

丙:3千克苹果 4千克梨

解:4÷(4-2)=2(元)……1千克梨,假设乙也买的梨2千克与甲同样多,这时

乙少花2元,乙比甲多花5元转化为乙比甲多花(5-2)元,正好是1千克苹

果的价钱3÷(4-3)=3(元)

甲花的钱:3×3+2×2=13(元)

乙花的钱:3×4+2×3=18(元)

丙花的钱:3×3+2×4=17(元)

答：甲花了13元，乙花了18元，丙花了17元。

【例8】3袋大米和4袋黄豆重500千克，5袋大米和2袋黄豆重600千克，每袋大米重多少千克？

解： 3袋大米+4袋黄豆重量=500千克 ①

5袋大米+2袋黄豆重量=600千克 ②

②×2 10袋大米+4袋黄豆重量=1200千克 ③

③－① 7袋大米 = 700千克

1袋大米 = 100千克

答：每袋大米重100千克。