直线与圆地方程培优精彩试题

直线与圆的方程培优试题

一、选择题（题型注释）

1．直线axy2a0与圆xy1的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定

2．已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆x＋y－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( ) A．6 B.

2

2

221121 C．8 D. 223．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆

的标准方程是( )

2222

A．(x－2)＋(y－1)＝1 B．(x－2)＋(y－3)＝1

2222

C．(x－3)＋(y－2)＝1 D．(x－3)＋(y－1)＝1 4．直线

与圆

相交于

、

两点且

，

则a的值为( )

A.3 B.2 C.1 D.0

5．已知圆C1：(x＋1)＋(y－1)＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )

A.(x－1)＋(y＋1)＝1 B.(x＋2)＋(y－2)＝1 C.(x＋1)＋(y－1)＝1 D.(x－2)＋(y＋2)＝1

6．若圆xya与圆xyay60的公共弦长为23，则a的值为 A.2 B．2 C．2 D．无解

7．若实数x，y满足：3x4y120，则xy2x的最小值是（ ） A.2 B.3 C.5 D.8

22(x2)(y3)9截得的线段长为2时，P(2,0)l8．过的直线被圆直线l的斜率为

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2222222（ ）

A.

2234 B. 2 C.1 D. 3

9．过点P(1,1)的直线,将圆形区域(x,y)|x2y24分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（ ）

A．xy20 B．y10 C．xy0 D．x3y40

10．已知圆心(a，b)(a<0，b<0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( )

标准文案

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A．(x＋2)＋(y＋3)＝9 B．(x＋3)＋(y＋5)＝25 C．(x＋6)＋y2

2222

7249227249＝ D.＋ xy＝

333992211．直线ykx3与圆x3y24相交于M,N两点，若MN23，则k的取值范围是（ ） A．33323,0 B．,0, C．,0 , D．4433312．已知函数f(x)4(x2)2,x[2,4]对于满足2x1x24的任意x1，x2，给出下列结论：

①x1f(x2)x2f(x1) ②x2f(x1)x1f(x2)

③(x2x1)[f(x2)f(x1)]0④(x2x1)[f(x2)f(x1)]0 其中正确的是（ ）

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 二、填空题（题型注释）

13．圆xy2x4y10关于直线2axby20(a,bR)对称，则ab的取值范围是 .

14．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x＋y＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________． 15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

16．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)＋(y－1)＝2，则圆C上各点到l距离的最小值为________，最大值为________．

2217．已知过点P(1,2)的直线与圆xy2x6y50相切，且与直线axy102

2

2

2

2

2

22垂直，则a________.

18．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)＋y＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60三、解答题（题型注释）

19．已知ABC中，顶点A2,2，边AB上的中线CD所在直线的方程是xy0，边AC上高BE所在直线的方程是x3y40．

标准文案

2

2

M的方程为 ．

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（1）求点B、C的坐标； （2）求ABC的外接圆的方程．

22

20．已知圆C：x＋(y－1)＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0，且直线l与圆C交于A、B两点．

(1)若|AB|＝17，求直线l的倾斜角；

(2)若点P(1,1)满足2AP＝PB，求此时直线l的方程．

21．已知曲线C的方程为：axay2ax4y0（a0，a为常数）. （1）判断曲线C的形状；

（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；

（3）设直线l:y2x4与曲线C交于不同的两点M、N，且OMON，求曲线C的方程.

2

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

标准文案

222实用文档

22

23．已知直线l：2x＋y＋2＝0及圆C：x＋y＝2y. (1)求垂直于直线l且与圆C相切的直线l′的方程；

(2)过直线l上的动点P作圆C的一条切线，设切点为T，求|PT|的最小值．

24．已知圆C的方程:xy2x4ym0 （1）求m的取值范围；

45,求m的值 5（3）若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，

22（2）若圆C与直线l:x2y40相交于M,N两点，且MN求m的值；

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1．D

【解析】直线axy2a0过定点(2,0)，该点在圆xy1外.由于a的取值不确定，导致直线的斜率不确定，所以直线与xy1的位置关系不确定，如a0，直线y0与圆相交，a1时，由圆心到直线的距离2222|2|21（半径），直线与圆相离，选D. 2考点： 直线与圆的位置关系. 2．B

【解析】如图，过圆心C向直线AB做垂线交圆于点P，

这时△ABP的面积最小． 直线AB的方程为

xy＋＝1，即3x－4y－12＝0， 4316， 511611×5×(－1)＝. 252圆心C到直线AB的距离为 d＝3041123242＝

∴△ABP的面积的最小值为

3．A

【解析】设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，

4a3∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，

5∴a＝2.

22

所以圆的方程为(x－2)＋(y－1)＝1. 4．D

【解析】圆的圆心为

,半径

。因为

，所以圆心到直线的距离

标准文案

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，即，所以，平方得

，解得，选D.

5．D

22

【解析】圆C1：(x＋1)＋(y－1)＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴

解得

圆C2的半径为1，∴圆

C2的方程为(x－2)＋(y＋2)＝1，选D 6．A 【解析】

试题分析：圆xya的圆心为原点O，半径r|a|． 将圆xya与圆xyay60相减， 可得aay60，

即得两圆的公共弦所在直线方程为aay60． 原点O到aay60的距离d=|2222222222222

6a|， a6a)2∴a24，∴a=±2．故a22设两圆交于点A、B，根据勾股定理可得a＝(3)+(选A．.

考点：圆与圆的位置关系． 7．D 【解析】

试题分析：由于 xy2x=[(x1)y]1，而点（-1，0）到直线3x4y120的距离为d2222(1)31253，所以(x1)2y2的最小值为3，所以x2y22x的最

2小值为318，故选D

考点：1直线和圆的位置关系；2点到线的距离公式。 8．A 【解析】

ykx2试题分析：由题意直线l的斜率存在设为k，则直线l的方程为，即

kxy2k0由点到直线的距离公式得，圆心到直线l的距离为

标准文案

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32k32k3129d2k21k21，由圆的性质可得d212r2，即k1，解得

2k221k4． 8，即

考点：直线与圆的位置关系．

9．A 【解析】 试题分析：要使得两部分面积之差最大,则两部分中肯定存在一个小扇形,只要使其面积最小即可.只有当OPL时,扇形面积最小.所以kL1,过点P(1,1),由点斜式有直线为

xy20.

考点：直线与圆的位置关系. 10．A

【解析】由圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x轴相切，由题意得圆的半径

222

为|b|，则圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝b.由于圆心在直线y＝2x＋1上，得b＝2a＋1 ①，令x＝0，得(y－b)＝b－a，此时在y轴上截得的弦长为|y1－y2|＝2 ba，由已知得，

2

2

2

222 a＝a＝－2 322222 ba＝25，即b－a＝5 ②，由①②得或 (舍去)．所以，所求

b＝－3b＝73圆的方程为(x＋2)＋(y＋3)＝9.故选A.

11．A 【解析】

试题分析：因为MN23，说明圆心3,2到直线ykx3的距离d2

2

3k23k121，

解得k3,0. 4考点：直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式.

12．C 【解析】 试题分析：令y22化简得(x2)y4，其中,x[2,4]，y0,4(x2)2,x[2,4]，

得函数的图象为以(2,0)为圆心，半径为2的圆的上半圆的右半部分，如图所示．

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观察图象，可得在图象上任意取两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))．对于①②，注意到x1，x2都是正数，不等式x2f(x1)x1f(x2)等价于

f(x1)f(x2)， 结合2x1x24，可得x1x2A,B两点与原点的连线斜率满足kOAkOB，②正确，①错误；对于③④，由于函数

y4(x2)2在x[2,4]上为减函数，可得当x1＞x2时，f(x2)f(x1)，所以

C． (x2x1)[f(x2)f(x，故③正确，④错误，故选01)]考点：1、函数的单调性；2、函数图象；3、直线的斜率、4、圆的方程与性质． 13．(,]

【解析】xy2x4y10即(x1)(y2)4，由已知，直线

2222142axby20(a,bR)过圆心(1,2)，所以，2a2b20,ab1，

由ab2ab,(ab)4ab得ab22211,答案为(,]

4.4考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，基本不等式.

14．3

【解析】∵l与圆相交所得弦的长为2，1mn22＝41，

1111≥2|mn|，∴|mn|≤.l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，∴S△36nm111111·||||＝·≥×6＝3. AOB＝22mn2mn∴m＋n＝

2

2

15．(－13,13) 【解析】圆上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，该圆半径为2，即圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d<1，即0<

c<1，∴－13标准文案

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【解析】由圆的标准方程得圆的圆心C(1,1)，半径长r＝2，则圆心C(1,1)到直线l的距离d＝1142＝22>2＝r，所以直线l与圆C相离，

则圆C上各点到l距离的最小值为d－r＝22－2＝2，最大值为d＋r＝22＋2＝32. 17．

1 222【解析】

试题分析：圆M配方为(x1)(y3)5，由于点P(1,2)在圆上，由已知得，过点P(1,2)的直线与圆的半径MP垂直，故半径MP与直线axy10平行，即a故a321，1121． 2考点：1、直线和圆的位置关系；2、直线和直线的位置关系.

18．(x1)y1 【解析】

试题分析：根据题意利用直线与圆的关系，在直角三角形APM中，由APM226勾股定理可得：PM2AM2r，联想圆的定义知：点M和点C重合，又PC2，则r1，

故圆M：(x1)y1．

考点：1.圆的定义;2.圆的几何性质;3.直线和圆的位置关系 19．（1）

22结合

B(4,0)C1.1911325 （2）xy或

883222x2y2【解析】

911xy70 44试题分析：（1）求B,C点就设B,C点的坐标,同时可以表示出D的坐标,根据B在BE上,且A,B中点D在CD上.两式联立可求出B;根据C在CD上,且ACBE得到

kACkBE1,两式联立可求出C.

（2）所求的圆经过三角形的三个顶点,所以设出圆的一般方程,将A,B,C代入解方程组即可得到所求圆的方程.或者根据三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点，所以可以

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根据（1）中的B,C和已知的A求两个边的垂直平分线,取其交点做圆心,该点到各个顶点的距离为半径,求出圆的方程.

试题解析：（1）由题意可设Bx1,y1Cx2,y2,则A,B的中点D2x12y1,.

222x12y12x12y10① 因为A,B的中点D,必在直线CD上,代入有2222又因为B在直线AB上，所以代入有

2x12y1340② 22由①②联立解得B(4,0).则D1,1, 因为C在直线CD上，代入有x2y20③ 又因为直线ACBE,所以有kACkBE1,则有根据③④有C1.1.

（2）因为三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点，

所以找到三角形两边的垂直平分线求得的交点就是外接圆的圆心，该点到各顶点的距离就是半径.

根据A,B两点,可得斜率为ky2211④ x2231,所以中垂线斜率为3,A,B中点为1,1,则中垂线为33xy20⑤

同理可得直线BC的中垂线为y5x7⑥,

526911325911由⑤⑥可得圆心,，半径为，所以外接圆为xy

8883288法二：（2）设A其中D2E24F0。 BC外接圆的方程为xyDxEyF0，因为三角形的个顶点都在圆上，所以根据（1），将三点坐标代入有：

22229D422222D2EF0112 解得E (4)4DF0411DEF0F7标准文案

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∴ABC外接圆的方程为x2y2911xy70． 44考点：三角形中，中线，垂线与各边，各个顶点的关系；外接圆的求法. 20．（1）

2或. （2）x－y＝0或x＋y－2＝0.

332

2

【解析】(1)由圆C：x＋(y－1)＝5，得圆的半径r＝5，

AB32又|AB|＝17，故弦心距d＝r＝. 22再由点到直线的距离公式可得d＝2011mm12，

011m3∴＝，解得m＝±3.

22m1即直线l的斜率等于±3，故直线l的倾斜角等于

2或.

33(2)设A(x1，mx1－m＋1)，B(x2，mx2－m＋1)，由题意2AP＝PB可得2(1－x1，－mx1＋m)＝(x2－1，mx2－m)，

∴2－2x1＝x2－1，即2x1＋x2＝3.①

222222

再把直线方程y－1＝m(x－1)代入圆C：x＋(y－1)＝5，化简可得(1＋m)x－2mx＋m－5

m232m2＝0，由根与系数2关系可得x1＋x2＝2.②

m1m1m23m2312mm2由①②解得x1＝2，故点A的坐标为(2，)． 2m1m1m1把点A的坐标代入圆C的方程可得m＝1，即m＝±1，故直线l的方程为x－y＝0或x＋y

－2＝0.

21．（1）圆；（2）详见解析；（3）xy4x2y0.

【解析】

试题分析：（1）在曲线C的方程两边同时除以a，并进行配方得到

222

242，从而得到曲线C的具体形状；（2）在曲线C的方程中分别yaxa2aa22令x0与y0求出点A、B的坐标，再验证AOB的面积是否为定值；（3）根据条件并且得到圆心与原点O的连线与直线lOMON得到圆心在线段MN的垂直平分线上，

垂直，利用两条直线斜率乘积为1，求出a值，并利用直线与圆相交作为检验条件，从而

确定曲线C的方程.

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试题解析：（1）将

2曲线

C的方程化为

4242x2y22axy0xaya22，

aaa可知曲线C是以点a,422a为圆心，以为半径的圆； 2aa（2）AOB的面积S为定值.

证明如下：

在曲线C的方程中令y0得axx2a0，得点A2a,0， 在曲线C方程中令x0得yay40，得点B0,4， aS（3）

114OAOB2a4（定值）； 22a圆C过坐标原点，且OMON，

212

圆心a,在MN的垂直平分线上，2，a2，

a2a

当a2时，圆心坐标为2,1，圆的半径为5， 圆心到直线l:y2x4的距离d直线l与圆C相离，不合题意舍去，

414595， 5a2，这时曲线C的方程为x2y24x2y0.

考点：1.圆的方程；2.三角形的面积；3.直线与圆的位置关系.

22

22．（1）(x－3)＋(y－1)＝9.（2）a＝－1.

【解析】(1)曲线y＝x－6x＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±22，0)．故可设圆心坐标

2

为(3，t)，

则有3＋(t－1)＝22＋t.

解得t＝1，则圆的半径为3+11＝3.

222

2

22

所以圆的方程为(x－3)＋(y－1)＝9.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组2

2

22

x－y＋a＝0，(x－3)＋(y－1)＝922，

消去y得到方程2x＋(2a－8)x＋a－2a＋1＝0，

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由已知可得判别式Δ＝56－16a－4a＞0，

2

a22a1由根与系数的关系可得x1＋x2＝4－a，x1x2＝，①

2由OA⊥OB可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a.所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a＝0. 由①②可得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1. 23．（1）x－2y＋2±5＝0

2

（2）

25 52

2

【解析】(1)圆C的方程为x＋(y－1)＝1，其圆心为C(0,1)，半径r＝1. 由题意可设直线l′的方程为x－2y＋m＝0. 由直线与圆相切可得C到直线l′的距离d＝r，即2m5＝1，解得m＝2±5. 故直线l′的方程为x－2y＋2±5＝0. (2)结合图形可知：|PT|＝PCr2＝2PC1.故当|PC|最小时，|PT|有最小值．

3. 52易知当PC⊥l时，|PC|取得最小值，且最小值即为C到直线l的距离，得|PC|min＝所以|PT|min＝PCmin1＝225. 524．(1)m5;(2)m4;(3)m【解析】

8. 5试题分析：(1)圆的方程要满足DE4F0;或配成圆的标准方程，r0; (2) 利用弦心距公式，先求点到面的距离，利用rd(222221MN)2 ，求出m的值; 2(3)设Mx1,y1,Nx2,y2,若OMON,那么x1x2y1y20,利用直线方程与圆的方程联立，得到根与系数的关系式，代入后，求得m的值.

22

试题解析：解：（1）(1)方程x＋y－2x－4y＋m＝0，可化为

22

(x－1)＋(y－2)＝5－m， ∵此方程表示圆， ∴5－m＞0，即m＜5.

22(2) 圆的方程化为 (x1)(y2)5m，圆心 C（1，2），半径 r5m，

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则圆心C（1，2）到直线l:x2y40的距离为 d1224122215

由于MN1412222，则MN，有rd(MN)，

22555m(15)2(25)2,得m4.

x2y22x4ym0（3）

x2y40消去x得(4－2y)＋y－2×(4－2y)－4y＋m＝0，

2

化简得5y－16y＋m＋8＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则

2

2

1610yyyy221155  ①② m8m8yyyy121255由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0

即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0， ∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0. 将①②两式代入上式得 16－8×

16m8＋5×＝0， 558. 5解之得m考点：1.圆的方程;2.直线与圆的位置关系.

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