1
一、错例目录1.因数与倍数
1.1质数与合数…………………………………………………………………（2.长方体和正方体
2.1.1长方体正方体的特征……………………………………………………（**） 5
**） 6 2.1.2长方体正方体的特征……………………………………………………（2.1.3长方体正方体的特征……………………………………………………（2.2.1表面积计算………………………………………………………………（2.2.2表面积计算……………………………………………………………（2.2.3表面积计算……………………………………………………………（2.2.4表面积计算……………………………………………………………（2.2.5表面积计算……………………………………………………………（2.3.1体积和体积单位………………………………………………………（2.3.2体积和体积单位………………………………………………………（2.4.1体积计算公式…………………………………………………………（2.4.2体积计算公式…………………………………………………………（2.4.3体积计算公式…………………………………………………………（2.4.4体积计算公式…………………………………………………………（2.5.1体积单位间的进率……………………………………………………（2.6.1不规则物体的体积……………………………………………………（3.分数的意义和性质
3.1.1分数的意义……………………………………………………………（3.1.2分数的意义……………………………………………………………（3.1.3分数的意义……………………………………………………………（3.1.4分数的意义……………………………………………………………（3.1.5分数的意义……………………………………………………………（3.2.1分数与除法……………………………………………………………（
2
**） 7 **） 8 **） 9 **） 10 **） 12 **） 13 **） 14 **） 15 **） 18 **） 19 **） 20 **） 22 **） 23 **） 24 **） 25
**） 27 **） 29 **） 30 **） 31 **） 32 **） 33
3.2.2分数与除法……………………………………………………………（3.2.3分数与除法……………………………………………………………（3.2.4分数与除法……………………………………………………………（3.2.5分数与除法……………………………………………………………（3.3.1真分数与假分数………………………………………………………（**） 34 **） 35 **） 36 **） 37 **） 38 3.3.2真分数与假分数………………………………………………………（3.4带分数……………………………………………………………………（3.5分数的基本性质…………………………………………………………（3.6.1最大公因数……………………………………………………………（3.6.2最大公因数……………………………………………………………（3.6.3最大公因数……………………………………………………………（3.6.4最大公因数……………………………………………………………（3.7最小公倍数………………………………………………………………（3.8.1分数大小比较…………………………………………………………（3.8.2分数大小比较…………………………………………………………（3.8.3分数大小比较…………………………………………………………（3.9分数化小数………………………………………………………………（4.分数的加减法
4.1异分母分数减法…………………………………………………………（4.2.1不带括号分数加减混合运算…………………………………………（4.2.2不带括号分数加减混合运算…………………………………………（5.总复习
5.1.1分数的意义和性质……………………………………………………（5.1.2分数的意义和性质……………………………………………………（5.2.1分数的加法和减法……………………………………………………（5.3.1空间与图形……………………………………………………………（5.3.2空间与图形……………………………………………………………（
3
**）**）**）**）**）**）**）**）**）**）**）**）**）**）**）**）**）**）**）**） 39 40 42 43 44 48 49 51 52 54 55 57
58 60 61
62 63 64 65 67
二、原始错例
五年级下册典型错例
采集样本
62
错误率
27%
采集者
***
采集学校课时时
综合
√
机
单元总复习√
√
课型***
新授课练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第二单元
题
基本
题目出处课堂作业本
型
相关知识知识属性教学简述◆典型错题题目：
质数与合数陈述性知识
拓展程序性知识
学生已经学习了质数与合数的概念，并能说出100以内的质数。
两个质数相乘的积一定是（①奇数学生错解：
②偶数
）
③合数
两个质数相乘的积一定是（ 2 ）①奇数◆原因分析
1、学生对于质数的理解不够深刻，对于“
2是最小的质数”使得在本题中受到了负迁移
②偶数
③合数
的影响。
2、教师在教学中过于强调对质数的记忆，而忽视了对于学生来说“质数”“合数”的概念的真正理解。◆教学建议
1、在教学中，除了让学生对几个常见的质数进行记忆外，还应该注重对质数、合数概念的理解与掌握。
2、可以多一些变式的练习，增加灵活性和趣味性，而不只是枯燥的记忆与背诵。
4
◆资源链接
两个质数的和可以是（两个质数的积可以是（
）1、质数2、合数3、奇数4、偶数）1、质数2、合数3、奇数4、偶数
%
◆大样本问卷调查结果：错误率
五年级下册典型错例
采集样本
62
错误率
17%
采集者
***
采集学校课时时
综合
√
机
单元总复习√
***
新授课课型
练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第三单元
题
基本√
题目出处课堂练习
型
相关知识知识属性教学简述◆典型错题
长方体和正方体的特征陈述性知识
拓展程序性知识
学生学习并了解了长方体的长、宽、高的分类，以及棱长总和的求法。
5
题目：
填空：用一根96厘米长的铁丝，恰好可以焊成一个长方体框架。框架长6厘米、高（学生错解：
用一根96厘米长的铁丝，恰好可以焊成一个长方体框架。框架长10厘米、宽6厘米、高（ 32 ）厘米。◆原因分析
1、学生对于立体图形的空间观念还有待加强。
2、教师在教学过程中，只注重介绍以知长、宽、高求棱长总和的方法，而没有采取多一点变式，让学生的理解更深刻。
3、有的学生错误地将棱长和相对的面等同理解，使得棱长数和长方体的面的个数混淆。◆教学建议
1、教师在教学长方体和正方体的组成时，应让学生自己去接触、去感受，加深自己的理
解，而不是抽象的讲授。
2、教师应该让学生加深对基础公式的理解和记忆，如棱长总和、表面积、体积等等，还应该多一些变式的练习让学生加深理解。3、学生提高审题能力。◆资源链接
请说一说长方体的组成？长方体的棱长可以分成几组？每组各几条？◆大样本问卷调查结果：错误率
%
）厘米。
10厘米、宽
五年级下册典型错例
采集样本
60
错误率
36.7%
采集者
**
采集学校课时时机单元
总复
***
新授课课型
练习课复习
√
错题来源第三单元
题
基本√√
题目出处相关知识
教材P32第8题长方体正方体的特征
型综合
拓展
6
习
知识属性
陈述性知识
程序性知识
课
策略性知识
√
教学简述
这道题出现在“长方体和正方体认识”一课的练习中。学生初步认识了长方体和正方体的特征，对一般学生来说，已经初步具有一定的空间想象能力。但是中等及偏下学生，还是无法建构起知识的联系。
◆典型错题
用棱长1厘米的正方体摆成稍大一些的正方体，至少需要多少个这样的正方体？动手摆摆看。
我先请学生在脑中思考，然后猜测是几个。结果◆原因分析
教师方面：在教学时，没有渗透几个正方体的组合，只是对正方体和长方体的特征进行有
效地教学。学生方面：无法形成空间想象。◆教学建议
1.教学时适当渗透几个相同正方体拼成不同形状的长方体和正方体的环节，那么可以大大减少错误的发生。
2.加强空间观念的培养，在教学时，充分利用实物和教具强化长方体和正方体之间的关系。◆资源链接相关跟踪研究：
1.课间我让学生猜测几个小正方体可以可以摆成稍大的正方体后，再让学生通过摆去验证，这时大家发现4个小正方体摆成的还是一个长方体。学生自然就知道答案了。但是教学中的故事其实还没有完。2.让学生说一说：你是怎样摆的？两层，一共8个。)
(要求他们说出每排摆2个，摆两排，一层共4个，放
，让学生动手操作，在操作中
22位学生的答案是4个。
3.如果要摆成再大一点的需要几个？想一想，一层9个，那么3层27个。）4.比上面再大些呢？……
怎样摆？（让学生不断说每排3个，摆3排，
7
学生通过上面活动，基本上的学生就能建构起这一知识网络。后来在课堂作业本P16第1题中又出现同样的一道题。
用一些棱长是1厘米的小正方体木块拼成一个稍大的正方体，至少需要这样的小正方体木块（）块。结果全班没有一个学发生错误了。◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
47
错误
率
55.3%
采集者
**
采集学校课时时机
单元总复习√
√
课型***
新授课练习课复习课
策略性知识
√
错题来源题目出处相关知识知识属性教学简述◆典型错题
第三单元课本练习五
长方体、正方体的特征陈述性知识
题型
基本综合拓展
√
程序性知识
本题在学习长方体特征之一棱长后，课本练习五中出现，在单元整理和复习时再一次让学生练习。
题目：为迎接“五一”国际劳动节，工人叔叔要在工人俱乐部的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知工人俱乐部的长90m，宽55m，高20m，工人叔叔至少需要多长的彩灯线？学生错解：（90×20+20×55）×2 5人 90 =(180+1100) =1280 =2560(
×2 =4950+1100
×55+55×20×2+90×20×2 7
×2+1800×2
人
×2 =4950+2200+3600 米) =7150+3600
（米）
10750米的彩带。
=10750
答：工人叔叔至少需要
2560米的彩带。答：工人叔叔至少需要
（90×55）+（20×4）
=4950+80 =5030
（米）
5030米的彩带。
8
答：工人叔叔至少需要
◆原因分析
1.数学阅读感知粗浅，理解往往错位。本题中“地面的四边不装”同学们都读到了信息，但是其真实的含义（脑中的对应模型）是模糊甚至错误的。所以在列式时把不该算的棱长算进去，该算的则没有算进去。有的只算了一部分，没有算全。
2.在学习完长方体或正方体的特征、面积、体积后，这些几何知识点便开始互相干扰学生的解题策略。特别是面对具体的情境时，该用何种数学知识解决问题让学生手足无措，当学生失去思考的方向后，便会采用自己较熟悉的策略应用于该问题，胡子眉毛一把抓，结果当然是错的了。
3.当出现稍大的数据或比较多的数据参与计算时，出错的想象陡增。尤其是计算长方体和正方体的棱长之和或者它们的表面积。◆教学建议
1.读一读关键语句，画一画关键语句在图中的意思。解决图形问题特别是立体图形，教师要在平时教学中强调和落实画图，逐步培养学生自觉画简易图的意识。本题如果学生能画框架图，并给每一条棱标上数据，错误不会这么多。
2.在整理和复习时，需要用一定的时间，安排一些教学环节帮助学生区分立体几何体的知识点的区别和联系。并让学生举例说说现实生活中哪个现象可以用数学某个知识点来解释。
3.小学高段要进一步帮助学生提高计算能力。有必要增加一些强化性训练。◆资源链接练习题：
小红过生日时，妈妈给他买来一盒长方体生日蛋糕，蛋糕盒上扎了一条漂亮的丝带，
捆扎的方法如图。已知蛋糕盒的长是30厘米，宽30厘米，高20厘米，丝带接头共22厘米长。这条丝带长多少米? ◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
错误率
采集者
**
采集学校
题基本
9
采集样本46
67.4%
***
错题来源第三单元√时课时√课
新授课
√
题目出处新授课时的课堂练习长方体和正方体表面积的计算陈述性知识
型
综合
机
单元总复习√
型
练习课复习课
相关知识知识属性
拓展程序性知识
策略性知识
在教学长方体的表面积计算公式后，学生对于直接用表面积公式求图形
教学简述
的表面积都已基本掌握。但在数学课堂作业本中出现的这道题目，学生错误相当多。
◆典型错题
错题：做一个长120分米，宽和高都是5厘米的长方体落水管，至少需要多少铁皮？学生错解：①（120+0.5+0.5）×4=484dm；②(120 ×0.5+0.5 ×0.5) ×2=120.5 dm
③（1200×5+1200×5+5×5）×2=24050cm
◆原因分析
1.有许多学生审题不够仔细，单位没有换算统一就在进行计算。2.表面积、棱长和两者的概念模糊不清，混淆起来了。
3.缺少实际生活经验，该物体到底由哪些面围成，缺了哪些面不清楚。◆教学建议
1.通过模型，让学生通过指一指、画一画来理解、掌握长方体棱长和、表面积、体积的概念。
2.课堂教学中，通过让学生找一找身边的长方体物体，然后说一说求长方体物体的什么就是求长方体的什么，如求游泳池要贴多少瓷砖就是就长方体的表面积，求游泳池能装多少水就是求游泳池的容积等，从教学棱长和开始，就应该让学生自己说，每节课都要让学生说。
3.先通过模型，再在脑中抽象出长方体模型，通过抽象能说出长方体各由哪些面围成，这些面是怎样计算的。◆资源链接
多进行一些生活中出现的长方体物体的表面积练习：
2
3
2
10
1.一只无盖的长方形鱼缸，长玻璃多少平方米？
2.一个通风管的横截面是边长是管50只,需要多少平方米的铁皮?
0.4米，宽0.25米，深0.3米，做这只鱼缸至少要用
0.5米的正方形,长2.5米.如果用铁皮做这样的通风
3.一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
4.一间大厅有四根长方体柱子，每根高子，油漆的面积是多少平方米？◆大样本问卷调查结果：错误率
%
4米，长和宽都是0.6米，如果要油漆这些柱
五年级下册典型错例
采集样本
47
错误率
80.85%
采集者
**
采集学校课时
√
时机
单元总复习
***
新授课课型
练习课复习课
策略性知识
√√
错题来源题目出处相关知识知识属性教学简述
第三单元课本练习五长方体表面积陈述性知识
题型
基本综合拓展程序性知识
√
学习了长方体表面积的含义，学会了长方体表面积的计算方法。
◆典型错题
题目：这个颁奖台是由3个长方体合并而成的，它的前后两面涂上黄色油漆，其他露出来的面涂上红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？
11
学生错解：涂黄色油漆的：40×40×2+65×40×2+（65-10）×40×2=12400（平方厘米）
（65-10）×40×2+65×40×2+40×40×2=10600（平方厘米）
40
×10×2+65×40×2+40×40×2=9200（平方厘米）（40+40+40）×（10+65+40）×2=27600（平方厘米）
涂红色油漆的：（40+40+40）×40×2+40×40+（65-40）×40+（65-10）×40=14400（平方厘米）
（65-40）×40×2+40×40×4=8400（平方厘米）（65-40）×40+40×40×4+10×40=7800（平方厘米）
（65-40）×40×+40×40+（65-10）×40+10×40=5200（平方厘
米）◆原因分析
1.解决涂黄色油漆的问题错误比较少。一部分错误是因为数据较多，计算错误导致。一部分同学因为列式的疏忽，导致错误。还有部分同学想从整体上考虑，但没有找准对应的数据导致列式错误。
2.解决涂红色油漆的问题错误比较多。除了部分同学因计算错误之外，更多的同学是因为列式错误。红色部分面积是很多块面积不同的正方形或长方形组成的，学生的解决策略都
是从独立的长方形或正方形面积相加而成。因为面比较多，就出现算了这个面忘了那个面，或重复计算。面多了，找对应的数就容易干扰，结果就错了。3.图上10cm指哪部份长度不清楚。
4.学生缺少整合的意识，不善于观察。学生没有细心观察零散的面的共同特征。◆教学建议
1.按常规的思考方法让学生说一说黄色和红色的面有哪些？然后把这些面画在草稿本上，再给每个面找到对应的计算数据。这样一来，学生能清楚地知道列式时需要相加多少个面，又会用到哪些数据。
2.本题运用整合的思考方法会让列式简洁，计算简单。计算黄色的面时，观察图就可以发现这三个面宽都是40厘米，如果把这三个面以相同的边连接就拼成了长是65-10+65+40厘米，宽是40厘米的长方形，然后算出2倍面积。计算红色面积时，学会从三个角度：左面、上面、右面来思考。左面经2个面平移拼合就是中间长方体的侧面积，右面同理。上面经3个面的平移拼合就是长为40×3厘米，宽为40厘米长方形的面积。3.本题如果学生能正确列出算式就可以了，没有必要让其计算。
4.学生要正确应用整合拼接的思考方法，还必须培养一定的空间观念。如果学生能在脑中想象几个面拼接的模型，那解决此类问题就不会出错。◆资源链接教学片断：
12
师：请同学们认真观察，看一看黄色部分的面是由哪些面组成的？（学生能比较容易地指出黄色的面的组成部分）师：请你把这些面画在草稿本上，同时标上数据。（教师巡视）
大部分学生画了三个面。
师：请根据你的图列出计算黄色面面积的算式。同样教学红色的面。
师：我们用分解的办法列出了正确的算式，但是我们看到这些算式比较复杂，还有没有比较简便的列式方法呢？
生：我们可以把3个图形拼起来变成一个长方形，这样算就方便了。师：怎么算？
生：正面黄色的3个面正好拼成一个长方形，它的长是（65-10）+65+40厘米，宽是40厘米。然后用长方形面积公式算出面积，最后还要乘上2，因为后面的面跟前面的面积一样。师：你说得很棒，你运用了数学中拼接的方法解决。在数学上用整体的思考角度解决问题往往会事半功倍。利用这种方法能解决红色的油漆面积吗？生：能。
（学生独立尝试操作）师：谁能来说一说？
生：我从左边看红色的面积是由2块长方形面积组成的，它们的长不同，宽相同。拼合后就是一个长65厘米，宽40厘米长方形面积。右边的面积跟左边的面积一样。上面的面积把3块面拼起来，就是长120厘米，宽40厘米长方形面积。师：你的思路很清晰，请同学们看大屏幕。
教师演示左、右、上几个面的平移和拼接过程，让学生直观地感受过程。
师：同学们可以在课后计算一下他们的面积各是多少？如果底下也涂上红色，涂红色油漆的总面积是多少呢？
◆大样本问卷调查结果：错误率
%
13
五年级下册典型错例
采集样本
42
错误率
38.1%
采集者
**
采集学校课时
√
时机
单元总复习
***
新授课课型
练习课复习课
策略性知识
√√
错题来源题目出处相关知识知识属性
第三单元课本P37 表面积计算陈述性知识
题型
基本综合拓展程序性知识
√
教学简述
本题是长方体与正方体的表面积的计算练习课中的当堂练习，为让学生进一步理解立体图形的表面积，课中安排了“图形的拼组”教学环节，用数个小正方体拼成不同形状的立体图形，再计算出它的表面积，目的在于深入理解表面积。
◆典型错题
题目：这个颁奖台是由3个长方体合并而成的，它的前后面两面涂上黄色油漆，其他露出来的面涂上红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？
学生错解：红色油漆的面积
40×40×4+40×（65-40）+40×10＝7800（平方厘米）◆原因分析
1.从学生的角度分析。
（1）从观察物体的知识与技能分析，学生正确地数出了能看到的5个涂红色油漆的面，并正确区分了面的形状是长方形还是正方形，但学生忽视了没能直接看到的2个涂红色油漆的面,导致错误的发生。
（2）空间与图形的综合运用能力不足。计算红色油漆的面积，如果能灵活应用图形的平移知识，能使问题的解决变得简单些，但学生没能想到图形知识的综合运用，缺少灵活解决图形问题的经历，需要弥补。 2.
从教师的角度分析。
引领孩子学习长方体与正方体的表面积时，不能光着眼于表面积的计算方法的掌握，需要通过长方体与正方体的图形拼组、生活中各类表面积的实际问题的解决，引导学生深入理解表面积的知识。◆教学建议
1.在图形拼组中积累表面积计算的实践经验。
立体图形纸质化后，立体感明显降低。计算红色油漆的面积前，教师可选择两个长方体与一个正方体进行拼组，搭成如图所示的颁奖台，分别让学生指一指涂黄色油漆和红色
14
油漆的面，再计算。多一些这样的实践操作，能够有效地增强学生的空间观念，提高图形问题的解决能力。
2.提高图形知识的综合应用能力。
计算红色油漆的面积，应当有效运用图形平移的知识，简化问题的解决。分别按上面、侧面将红色油漆的面分成两组，上面是3个正方形，侧面的左右两侧分别通过平移，能够组合成两个完全相同的长方形，用40×40×3+65×40×2的简化计算方式算出正确的结果。◆资源链接
“图形的拼组”数学活动。
1.用棱长2cm的正方体拼，计算出立体图形的表面积。
2.请你选择不同个数的正方体拼成不同形状的立体图形，计算出立体图形的表面积。
◆大样本问卷调查结果：错误率%
五年级下册典型错例
采集样本
70
错误率
18%
采集者
**
采集学校课时时
综合型
相关知识知识属性
长方体的表面积陈述性知识
拓展程序性知识
√
机
总复习√单元
型***
新授课课
练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第四单元
题
基本√
题目出处课本
这是一题求长方体表面积的变式练习，它是在学生初步认识长方体的
教学简述
特征，掌握了长方体表面积计算公式之后所出示，学生头脑中对于长方体的表象建立还只是初步。
◆典型错题
15
一个教室长8米，宽6米，高4米。要粉刷教室的顶和四周墙壁，除去门窗面积方米。若平均每平方米用石灰
200克，一共需要石灰多少千克？
22.4平
学生错解：（1）[（8×6＋8×4＋6×4）×2－22.4]×200
（2）[8×6＋（8×4＋6×4）×2]×200
◆原因分析
1、审题不仔细，没有考虑到这个长方体只需要计算五个面。
2、知道是求五个面的面积，但具体求哪五个面不清楚，这其中的原因是学生在读题是还不能做到信息与图形结合，想象不出长方体的模型，只是套用公式计算表面积。3、读题能力弱，不会抓关键字词，信息一多便容易遗漏。
◆教学建议
1、帮助学生建立丰富的图形表象，并逐步抽象。
2、培养学生的空间想象能力及及时将文字信息转化为图形信息的能力。3、学会抓关键词理解题意◆资源链接专项练习：
（1）一个工人每天能粉刷
80平方米墙壁。现有一间仓库，长
14米，宽8米，高6米，
粉刷它的四壁，除去门窗面积24平方米，这个工人要粉刷几天才能完工？
（2）一个游泳池长50米，宽25米，平均深2.5米，要在四壁和底部抹一层水泥。如果每平方米用水泥5千克，共需水泥多少千克？◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
47
错误率
85.1%
采集者
16
** 采集***
学校
错题来源题目出处相关知识知识属性教学简述◆典型错题
题目：一根长4.5m的长方体落水管，截面是一个边长为落水管，那么需油漆的面积是多少？
2dm的正方形。如果要油漆这根
第三单元课堂作业本长方体表面积陈述性知识
题型
基本综合拓展程序性知识
√
时机
课时单元总复习√
√
课型
新授课练习课复习课
策略性知识
√
学习了长方体表面积的含义，学会了长方体表面积的计算方法。
学生错解：[4.5×（2÷10）+（2÷10）×（2÷10）+（2÷10）×4.5]×2=3.68（平方米）
此类错误一共有13人。
（2×2）×（4.5×10） 4.5
=4 =180
×4.5 =4.5（平方分米） =0.9此类错误一共有6人。
4.5 =4.5 =4.5 =1.8
×[（2÷10）×（2÷10）] ×（0.2×0.2） =4.5×0.04 =18（立方米）此类错误一共有7人。
◆原因分析
1.学生初次接触算长方体实物的表面面积，因为它并不需要计算6了面的面积。有些只需要算5个面，有些只要算4个面。本题中落水管只需计算4个面，学生忽略了这一个重要的信息。
2.几何图形题往往会涉及到单位问题，审题习惯不佳的同学会掉进“陷阱”。本题中出现了分米和米两个不同的单位，计算时需要把它们统一起来。即使有些同学阅读后发现了单位不同，在统一单位时也发生了错误。
3.很多同学在计算油漆面积时都不约而同地使用长方体体积计算公式解决。◆教学建议
17
×（2÷10）×0.2 （平方米）此类错误一共有5人。
4.5×（2×2）
×4 （平方米）
此类错误一共有3人。
1. 阅读题目思考落水管是什么样子的？如果涂油漆会涂在哪些面上？老师一强调落水管样子学生马上就会明白应该考虑四周的4个面，上下2个面不存在不需要涂油漆。2. 尽量让学生接触不同类型计算表面积的题型：算4个面如做铁皮烟囱，算5个面的如游泳池等。开阔学生的思考范围，引起学生重视解决实物时该考虑哪几个面，避免一股脑儿用长方体表面积计算公式解决一切问题。
3.注重培养学生的审题能力，有时还可以适当指导用划一划、圈一圈关键词的办法解决忽视单位的问题。◆资源链接
1．一个教室的长是8米，宽是6米，高是4米，要粉刷教室的四壁和平顶，除去门窗和黑板面积24平方米，粉刷的面积是多少平方米？2．加工一个长方体铁皮烟囱，长米的铁皮？
2.5分米，宽1.6分米，高2米，至少要用多少平方分
3．一个长方体状的儿童游泳池，长40米，宽14米，深1.2米。现在要在四壁和池底贴上面积是0.16平方米的正方形瓷砖，至少需要多少块？◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
60
错误率
66.7%
采集者
**
采集学校课时时
综合
机
单元总复习
***
新授课课型
练习课复习课
策略性知识
错题来源第三单元
题
基本√√√
题目出处作业本P14
型
相关知识知识属性
体积单位陈述性知识
拓展√程序性知识
18
教学简述
这是出现在长方体和正方体的体积学习后的练习中。学生掌握了长方体和正方体的特征，学会了求长方体和正方体的表面积，同进一步认识了体积的意义，而且知道计量体积需要体积单位。教学中，利用了大量的感性材料，让学生理解1立方厘米，1立方分米、1立方米的意义和大小。然后让学生自己找物体，估计物体的体积大约是多少。但是由于我在两个班利用感性材料的程度不同，发生了较大的差异性。
◆典型错题
错题：在括号里填上合适的单位名称。
一只货运集装箱的体积大约是
学生错解：结果这道题全班◆原因分析
教师方面：在教学时，我疏忽了感性材料的运用，特别是对大体积的材料疏忽了。在上课
时，我们用1立方分米的学具，测量讲台的体积大约是870立方分米，教室的体积大约是144立方米，但是对于车厢和集装箱却没有点到。
70（
）。
40位学生填了“立方分米”。
学生方面：一部分学生对集装箱不清楚；另一部分学生对立方米的认识不够。当时基本上
的学生能知道棱长是1米的正方体体积是1立方米，而且，让学生在教室门边角落指出1立方米的空间。但是学生尽管能比画出1立方米的大小，但是还没有建构成具体的实物。◆教学建议
1.教学时适当渗透几个相同正方体拼成不同形状的长方体和正方体的环节，那么可以大大减少错误的发生。
2.加强空间观念的培养，在教学时，充分利用实物和教具强化长方体和正方体之间的关系。◆资源链接相关跟踪研究：
事后我调查了这些学生，五分之三的学生知道立方米的意义，但不知道什么是集装箱，集装箱是干什么的。还有大约接近五分之一的学生，能比划出
1立方米的大小，但是却无，让学生动手操作，在操作中
法在知识链上进行完整的链接，没有真正明白立方米的意义，填上了立方分米。另外几位学生纯粹没有考虑，就填上了。从这里可以看出，学生是因为感性认知不够而导致错误的。
19
二班教学的失败，让我立即采取对一班教学的干预。一班不管是在学习能力上还是基础上都明显落后二班。平常考试的平均分相差
5-8分左右。
教学中，我特别重视了感性材料的运用。
教学中，我特别重视了感性材料的运用。1.认识1立方厘米。
师：（教师拿出1立方厘米的正方体学具）同学们，这小立方体所占的空间就是方厘米。请量一量它们的棱长，发现了什么？生1：正方体的棱长是1厘米。
生2：棱长是1厘米的正方体体积是1立方厘米。师：（教师板书）说说生活中哪些物体的体积接近1立方厘米？
生3：骰子。
生4：我手中用剩的橡皮也接近1立方厘米。
……
师：哪些物体的体积用立方厘米来做单位比较合适呢？学生立即在教室里，从文具里找出物品。一双双手举起来了。生5：橡皮接近10立方厘米。生6：讲台上的墨水瓶盒子接近
100立方厘米生7：我的自动笔接近7立方厘米……
2.认识1立方分米。
20
立
1师：如果老师想知道你们的抽屉所占空间有多大？用我们手中的估量，可以吗？
学生摇摇头，嘀咕道：太麻烦了吧！师：那用哪一个学具比较简便些？
1立方厘米为标准去
学生们自然知道了1立方分米（这是提前让每一个学生用卡纸做的教具）师（板书立方分米）：这是一个棱长
1分米的正方体，它的体积是
1立方分米。同学
们，用1立方分米为标准去估量抽屉有多大？
结果抽屉大约是15立方分米，老师的讲台大约是
800多立方分米。
师：再说说，家里哪些物体的体积也适合用立方分米做单位？
学：微波炉，热水瓶，洗衣机，电视机的体积都可以用立方分米做单位。3.认识1立方米。
老师径直走向前门边，在角落处量出棱长是1米的正方体空间，然后让学生站进空间，看看可以钻进几个学生，学生一数共有
9位。然后让学生估一估教室大约有多少立方米。
师：说一说，生活中还有哪些物体的体积用立方米做单位比较合适。学：房子的空间，车厢的空间，仓库的空间……师：那么集装箱的体积用什么单位呢？……
结果一班60位学生中只有5位学生发生错误，而且这五位学生基本上是学困生。一班的错误率只有9.3%，明显低于二班的66.7%。
◆大样本问卷调查结果：错误率%
21
五年级下册典型错例
采集样本
43
错误率
100%
采集者
**
采集学校课时时机
拓展√程序性知识
总复习
课型***
新授课
√
练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第三单元
题型
基本√
题目出处作业本综合单元
相关知识知识属性教学简述◆典型错题
体积单位的认识陈述性知识
在完成体积单位的教学以后，学生已认知了基本的体积单位，作业本中呈现本题。
题目：把一个体积是1m的物体放在地上,这个物体的占地面积是( )
①1m②1m③1m④要通过测量计算才能确定
错解：全班43人没人选④,通过访谈得知有如下几个理由T:选择答案时,你当时是怎么想的?
S:我看到了单位名称,题目问的是占地面积,选项②中有平方,它有面积的意思,别的都没
有,所以选了②
S: 1m就像我们上课时用过的操作学具
3
2
3
3
,那个小方块的棱长是1cm,所以底面积是1*1=1 m
2
S:我用了排除法, ①、③肯定不对，④的答案与前面都不像，再说，以前做过的题目碰到“答案无法确定”时，很多时候都是错的，所以不选④。◆原因分析
从访谈情况来看，是学生对于占地面积的意思是知道的。进行分析教学行为：在教学1立方厘米的时候，教师往往通过多种方式对学生进行正向传授,这符合一般的认识方式,但是在真正建立起1立方厘米这个概念的时候我们缺少了一定的变式,以致于学生产生了思维定势，认为1立方厘米只有一种小正方体的表示结果。
从一般的解题方略上讲，学生讲到的“以前做过的题目碰到’答案无法确定’时，很多时候都是错的,所以这里也错”这种认知方式并不是出于对题目意义的理解，而是个人主观不成熟的解题经验的错误迁移，这并不值得提倡。◆教学建议
22
1、注重变式练习，举反例。教学正向强化后有必要呈现一些变式，把方块（橡皮泥制作）进行不同的变形，观察思考底面的大小变化。
1立方厘米小
◆资源链接
给橡皮泥制的小方块进行不同的体积变形，或把一定量的水放置在不同的形状的容器中，观察思考体积不变底面积变化的现象。
2、对学生进行一般的解题指导，要着力于对题目的思考，而不是蒙答案。
◆大样本问卷调查结果：错误率%
五年级下册典型错例
采集样本
61
错误率
19%
采集者
**
采集学校课时时机
拓展程序性知识
总复习
***
新授课课型
练习课复习课
策略性知识
√√
错题来源第三单元
题型
基本√√
题目出处课堂作业本
长方体、正方体的表面积和体积陈述性知识
综合√单元
相关知识知识属性教学简述◆典型错题题目：
学生已经学习了长方体、正方体的表面积和体积，知道求长方体、正方体的表面积和体积公式和方法。
正方体的棱长扩大2倍，它的表面积扩大（）倍，它的体积扩大（
23
）倍。
学生错解：
正方体的棱长扩大2倍，它的表面积扩大（ 4 ）倍，它的体积扩大（ 6 ）倍。◆原因分析
1．学生在平时的练习中大多接触到的是具体棱长数据，如“棱长为类没有具体数据的遇到的不多。
2．学生对长方体、正方体表面积和体积的数学模型还没有形成，只会机械得求得数，对于通过棱长变化而变化没有直观的感受。3.学生的空间观念还有待加强。◆教学建议
1．教师在平时应多加强学生对立体图形空间观念和空间想象能力的培养。
2．教师应培养学生多运用假设法来解决具体问题，如可让学生在不知道具体棱长的情况下，自己假设原来的棱长是多少（为计算方便可假设为1cm），再计算扩大或缩小后的表面积和体积与原来做一个比较。◆资源链接
正方体有几条棱？有几个面？每个面有什么特点？
正方体的表面积和棱长有什么关系？体积和棱长有什么关系？◆大样本问卷调查结果：错误率
%
2cm的正方体”，对
于给出具体数据的正方体求表面积和体积学生比较熟悉，也能应用公式去求解，但对于此
五年级下册典型错例
采集样本
42
错误率
68.1%
采集者
**
采集学校时课时
***
新授课
错题来源第三单元题基本
24
√课
题目出处相关知识知识属性
作业本
长方体正方体体积陈述性知识
型
综合拓展
√
机
单元总复习√
型
练习课复习课
√
程序性知识策略性知识
教学简述
本题是在学习了长方体、正方体表面积和体积的一道综合性练习题，学生已熟练具备求表面积和体积，但学生一贯的解题方法是大面积除以小面积或大体积除以小体积的固定解题模式，没有考虑到长或宽或高会多余或不够的情况，缺少与实际生活的经验和数形结合的数学思想方法的能力。
◆典型错题
在一个长60CM，宽32CM，高22CM的长方体的箱子里，最多可以装进棱长为物品（
）个
4CM的正方体
错解：60×32×22÷（4×4×4）=660个
正解：长：60÷4=15（个）宽：32÷4=8（个）高：22÷4=5…2cm 15
×8×5=600(个)
◆原因分析
1．学生凭借以往的学习经验来判断此类题目的解题方法，诸如大面积除以小面积、大体积除以小体积，从而采用了考虑到原来高边分过去会余下
60×32×22÷（4×4×4）=660（个）这种解题方法，却没有2厘米米，不能再装棱长4厘米的正方体了，即高
22cm最
多可以放下5个4厘米，只能浪费了这一实际存在的问题，同时也与学生实际生活经验欠缺有关，没有将数学与生活实际结合起来，一味地用数学方法来解决问题。
2．数形结合能力欠缺。一方面不会通过画图解决问题，此类题目最好的方法是画图理解题意，但很多学生不肯画或不会画，导致分析题意时出错。
3．教师在平时的教学中也存在一定的问题，即一味强调学生求个数时可以用大面积除以小面积或大体积除以小体积这一数学模型，而不考虑浪费问题，即不从长、宽、高三个维度去实际考虑。◆教学建议
1．可以通过画图，比较、辩思三步进学，首先画图。然后比较、辩思，通过可以发现：原来高边分过去会余下
2
米，不能放棱长4cm的小正方体，只能
行教观察分浪费
了。正确的解法是长：60÷4=15（个）宽：32÷4=8（个）高：22÷4=5…2cm，15×8×5=600(个)，根本不可能放660个小正方体。
2、对长方体的体积推导过程实现正迁移：是沿着长摆（高摆了（
）层；一共可以放（
）个。
）个，沿宽摆（
）排，沿
3、加强做题反思能力的培养，如在什么情况下可以用大的体积去除以小的体积？（当长宽高是棱长的倍数时）
此类问题还可以拓展到长方形纸片中剪圆、剪三角形等类型的题目，都应该考虑到多余或不够的情况。
（1）在长12.4cm,宽7.2cm的长方形纸中，剪半径是
1cm的圆，可以剪多少个？
1.4米、宽0.9米的
（2）为庆祝元旦，三（1）班同学做小红旗（如图）。现在有一张长长方形卡纸，最多可以做这样的小红旗多少面？
五年级下册典型错例
错误
率
采集学校时课时√
机
单元
采集样本42
28.8% 采集者** ***
新授课练习
√
错题来源题目出处
第三单元作业本
题基本型
综合
26
√课
型
课
相关知识知识属性教学简述
长方体正方体表面积、体积陈述性知识
拓展程序性知识
总复习√
复习课
策略性知识
本题是在学习了长方体、正方体表面积和体积的一道综合性练习题，学生已熟练具备求表面积和体积，重在考察学生对表面积和体积概念的理解。
◆典型错题
一个长方体铁皮油箱，长
3分米，宽2分米，高4分米。（1）制造这个油箱至少要用多
少铁皮？（2）如果每升油重0.75千克，这个油箱可装油多少千克？错解：
（3×2+3×4+2×4）×2 72=（6+12+8）×2 =72（平方分米）
正解：第2个问题：3×2×4×0.75=18千克◆原因分析
1．很多学生在解两问应用题时有着思维的定势，解答第二问时常常习惯用第一问的答案直接用于第二问的解答。
2．学生在解答多问应用题时往往急于求成，分析问题时细致程度不够，不能抓住问题的关键，尤其是对第二个问题的分析不够深入，将求表面积中的平方分米和求容积的立方分米两个概念混淆，从而很容易发生错误。◆教学建议
1．讲清概念提高辨析能力，学生出错后，应使之再次理解概念。先要讲清概念。于是我充分利用教、学具及现代化手段，让学生在演示、操作、交流等过程中再次理解概念。学生错后，将易混题目一起作练习，帮学生区分辨析。如：做一油桶至少需多少铁皮，是求这个油桶的（体积 C、表面积
2．加强学生解题习惯的培养，如在读题时可适当做些记号以提醒自己如何抓住问题的关键来解题。如第一问中求铁皮就是求表面积；第二问中已知每升油重升”一定要先求体积，再求总重量。
27
×0.75=54（千克）
），若问这个油桶能装多少油，是求这个油桶的（） A、容积 B、
0.75千克，圈出“每
3．注意训练学生在解决问题中的一些细节，如每一问要写出单位名称。通过单位名称的不同以区分你求出的是什么？直观认识到◆资源链接针对练习：
一个无盖的长方体鱼缸，长5分米，宽4分米，高30厘米，做这个鱼缸至少要多少玻璃？如果装满水，每升水1千克，这个鱼缸可以装水多少千克？◆大样本问卷调查结果：错误率
%
72平方分米并不等于72升。
五年级下册典型错例
采集样本
52
错误率
28.8%
采集者
***
采集学校课时时
综合
√
机
单元总复习√
√
课型***
新授课练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第三单元
题
基本
题目出处课堂练习
型
相关知识知识属性教学简述◆典型错题
长方体体积计算陈述性知识
拓展程序性知识
这是在对本单元内容进行复习和梳理之后进行的一个关于体积计算的综合性练习题。
题目：一个立方体水槽棱长10厘米，里面装满水。如果把水槽中的水全部倒入一个长厘米、宽8厘米、高15厘米的长方体水槽中，长方体水槽的水深多少厘米？学生错解：A、10×8×15-10×10×10=200（厘米） B◆原因分析
、10×8×15÷10×10×10=1.2（厘米）
10
1、从学生层面来看：一方面是学生逆向思维能力不强，同时对长方体体积计算公式理解、掌握得还不够扎实；另一方面部分学生对于该事件发生的前后，什么变了什么没有变心里没有数。
28
2、从题目本身来看：高15厘米只是作为一个对结果判断的依据，并不参与计算。而它与长、宽在一起时，与孩子头脑中思考的体积相结合，马上将它纳入计算之中。◆教学建议
1、引导学生仔细读题，明确事件发生前后什么变了？水的形状变了。什么没变？水的体积没变。再引导学生写出等量关系式：立方体水槽中水的体积=长方体水槽中水的体积，并根据等量关系式进行计算。
2、虽然教材例题及练习中均无逆向思考的习题，但考虑到学生的认知水平及思维能力，可适当拓展公式的应用，这类逆向思考的习题完全可以在巩固练习中补充。其次，在请学生独立练习前，可引导学生将水的变化与之前练习过的立方体、长方体变化结合起来。3、平时注意培养学生空间想象能力。对于基础能力较好的班级，可以利用手势或辅以示意图帮助学生理解事件前后体积变化过程，促使其利用空间想象能力独立列式完成。◆资源链接针对性练习：
1、将一块棱长为12cm的正方体铁块锻造成一块长、宽分别为16cm、8cm的长方体铁块，
它的高有多少厘米？
2、一个底面为边长10cm的正方形的长方体，里面装有6cm高的水，放入一个苹果后，水
面高8cm，这个苹果的体积是多少？3、一个长50m,宽25m、深2m的水池，如果要注入1.2m深的水，那么需要水多少立方米？
◆大样本问卷调查结果：错误率%
五年级下册典型错例
错误
率
采集者
**
采集学校
基本题
题目出处
单元复习时的课堂练习
型
相关知识知识属性教学简述
体积单位间的进率陈述性知识
拓展程序性知识综合
机
总复习√
√
时
单元
√型
课时
课
新授课练习课复习课
策略性知识
√
***
采集样本46
32.6%
错题来源第三单元
学习了体积单位，知道了体积单位的进率及换算关系后，学生已基本
29
掌握单名数与单名数之间的换算。
◆典型错题
题目：3.5立方米=（
）立方米（
）立方分米
学生错解：3.5立方米，3500立方分米； 3◆原因分析
1.学了体积单位及进率后，教材、课堂作业本中，没有出现单名数、复名数之间的换算这一类练习。
2.对于单名数与复名数的概念、两者之间的区别，学生不能很好的理解。3.没有掌握单名数与复名数之间的换算方法。◆教学建议
1.让学生记住进率；掌握化聚的法则：低级单位的数聚成高级单位的数则除以进率，高级单位的数化成低级单位的数则与进率相乘。
2. 在教学体积单位及进率后，进行单名数与单名数的换算、单名数与复名数的换算练习。◆资源链接
进行各种名数之间的换算练习：3.5升 =（ 3.5
升 =（
）升（）升=（
）升=（
% ）毫升）毫升
）毫升
立方米， 0.5立方分米
3升500毫升 =（
◆大样本问卷调查结果：错误率
五年级下册典型错例
采集样本
52
错误率
46.15%
采集者
***
采集学校
***
30
错题来源第三单元
题
基本
时
综合
√
机
课时
课
单元总复习√
√
型
新授课练习课复习课
策略性知识
√
题目出处课本练习九第7题
型
相关知识知识属性教学简述◆典型错题
不规则物体的体积陈述性知识
拓展程序性知识
前一节课，学生刚刚学习了容积和容积单位以及不规则物体体积的计算方法，本课是对前述知识的一个巩固和提高。
题目：一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为2dm，向容器中倒入5.5L水，再把一个苹果放入水中。这时量得容器内的水深是15cm。这个苹果的体积是多少？错解：
A、单位未转化导致的错误：主要是mL时进率进了错。
dm和cm之间的转化，也有部分孩子将
5.5L在转化为
B、由于选择了不合适的解题思路导致的计算错误：在之前所练习的题目中，上升的高度*长*宽=不规则物体的体积的解题思路优于上升之后的体积—原来水的体积=不规则物体的体积。而在这一题中，前一种解题思路，计算反而变得比较复杂了，容易算错。C、找不到解题思路。◆原因分析
1、从教学措施上来看，由于实验准备和操作的复杂性，教师大都采用的是讲与图示想象的方式，以为五年级的孩子通过讲解，借助想象，就能理解水面上升部分体积就是不规则物体的体积，当然单从课堂上来看，在进行简单的不规则物体体积计算时，看图确实能解决问题，通过看图，通过想象，孩子们确实可以理解如例题中西红柿的体积就是水面上升的那部分水的体积，但需要将所学知识进行灵活运用时就出现了差错。
2、从学生来看：在此之前，孩子们仅仅接触了简单的求不规则物体体积的一个简单例题和几个练习题，并未完全掌握求不规则物体的体积的本质。另外由于在教学57页做一做时，孩子们发现如果用上升的高度*长*宽=不规则物体的体积相对于上升之后的体积—原来水的体积=不规则物体的体积计算会更简单，并在接下来的作业中对这个方法屡试不爽，以致于一看到这个题目就马上想到了第一种方法却使得解答变得相对复杂，导致了计算的错误。
3、从题目本身来看，这道题不仅涉及了容积单位和体积单位的转换，还涉及了长度单位的化聚，这从一定程度上提高了解题的难度。◆教学建议
31
1、让学生动手操作进行实践活动，通过操作能使孩子结合具体例子明白为什么这么做。美国数学家哈尔莫斯说过：学习数学唯一正确的方法就是做数学，作为教师我们应该意识数学教学的真正价值在于它的思想价值与思维价值，让孩子在实践操作中进行探索进行思考，他们所获得必然远远超过一个解题公式所赋予的。
2、在平时的教学中，注意让孩子们进行认真的读题、审题选择合适的方法进行问题的解决而不是拿着一种方法就成“法宝”，避免了对公式的死记和死套。另外，让孩子们在读题时养成“圈圈点点”的习惯，抓住问题的重点、难点、易错点，如本题可以让孩子们圈一圈单位，明确在单位统一的情况下才能进行计算。教学片断：
师：拿出一块橡皮泥要学生计算出它的体积，这是一块不规则的橡皮泥，有没有办法计算出它的体积？
生1：把橡皮泥切成一个个小长方体，再计算。
师：这位同学真会动脑筋，那么切下的都是小长方体吗？生1：切下的不是长方体的再接着切，一直到都是长方体为止。师：那么请大家想一下，如果不切能不能算出橡皮泥的体积呢？生2：我有办法，把橡皮泥捏成长方体。师：为什么要捏成长方体呢？
生2：因为长方体的体积我们会计算，转化成长方体就可以了。
师：这个同学讲得真好，当我们碰到新问题时不能解决，可以把新问题怎样？生：转化为已学过的知识。
师：这是我们解决新问题的重要思路。（出示一个鸡蛋、一块不规则的铁块）这些物体的体积怎样计算呢？
生：这……（同学们相互传递着眼色，一时答不出来）师：请同学们分组讨论，看哪个组最先讨论出解决问题的办法。生1：把鸡蛋打破倒入长方体的玻璃杯中就可以求得其体积。生2：（当场反驳）蛋壳的体积怎么办？
生3：我有办法，将蛋壳捣成小块浸入蛋液中，即可求得鸡蛋的体积。师：真聪明，有新意！如果不用打破鸡蛋的方法，能不能求出鸡蛋的体积呢？
生4：能，把鸡蛋浸入装满水的碗中，用盆子接住浸出的水，再把浸出的水倒入长方体的玻璃缸里，即可求得其体积。
32
生5：我也有新方法，把鸡蛋直接放入长方体的空玻璃缸里，再倒入水使水完全淹没鸡蛋，量出这时水的高度，然后把鸡蛋拿出来，再量出下降的高度，下降高度所占的空间就是鸡蛋的体积。
师：为什么鸡蛋要完全被水淹没？
生5：因为水若不淹没鸡蛋，求得鸡蛋的体积就不准确。
生6：（抢过来回答）我也有新方法，先在长方体玻璃缸中装入适量的水，量出水的高度，再把鸡蛋放入水中，然后量出这时水的高，计算出水上升了多少，上升的这部分空间就是鸡蛋的体积。
生7:我还有新办法（拿出了一个带有刻度的喝水胶杯），先往带有刻度的杯子里倒入适量的水，再把鸡蛋轻轻地放入杯中，待鸡蛋完全被水淹没，看看杯中的水上升到什么刻度，用现在的刻度数减去原来的刻度数，即可求得鸡蛋的体积。
师：咱们班的同学真了不起，你们都找到了解决问题的办法，那么，你们比较一下，哪一种办法最简便？求铁块的体积应选择哪一种办法？生：生7的办法最简便，求铁块的体积就用这种办法好。
师：请同学们选择最简便的方法，测试出自己准备好的实物体积。（师生动手实验，计算……）（下课前老师布置了一个课外作业，测出一粒豆子或一粒米的体积，让他们在实践中进一步探索出一粒豆子的体积，一粒豆子那么小，用上面同样的方法能行吗？）◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
42
错误率
32.8%
采集者
**
采集学校课时
√
时机
单元总复习√
***
新授课课型
练习课复习课
策略性知识
√
错题来源题目出处相关知识知识属性教学简述
第四单元作业本分数的意义陈述性知识
题型
基本综合拓展程序性知识
√
本题是学习了分数的意义后对分数意义的综合性练习题，学生已掌握
33
了分数的意义，但仅局限于对某个分数意义的理解，如
56
表示将单位“1”
平均分成6份，表示其中的5份，如果是一些具体的实际问题，由于受各方面因素的影响，一些学生就会遇到一些困难。
◆典型错题
把5米长的铁丝平均截成6段，每段长（错解：1/5 、5/6或其他一些答案正解：1/6、5/6 ◆原因分析学生方面：
1．学生的思维只停留在求平均数时总数比份数大这一方面上，通过学生访谈，发现如果总数比份数大，在求每份数时是非常快速和准确的，比如把10米长的铁丝平均分成5份，那么每份是10÷5=2米等一些类似的问题，哪怕学困生也比较容易地解答出来，但一旦变成总数比份数小时，比如把5米长的铁丝平均截成6段时，问题马上就出来了，答案五花八门。说明学生对每份数=总数÷份数还是掌握的，问题出在总数和份数的大小上面。2．遇到问题后学生解决问题的方法单一，此类题目可以通过画图等数形结合的方法比较容易理解。
3．学生对两个问题的理解不够清楚，没有理解它们真正的含意和区别，即份数和数量。教师方面：平时引导此类题目时不够到位，对两个问题的概念讲解不够清晰。◆教学建议
分数是小学数学学习中的一个重点。尤其是刚开始接触到分数时，学生不能准确理解哪是份数，哪是数量，这也是理解分数的难点所在。
1．在教学中，我是这样引领学生区分份数和数量的。像这样“每份占总量的几分之几”、“甲是乙的几分之几”所表示的就是份数。求份数首先要有标准量，如上面的“总量”、“乙”就是标准量，份数是没有单位的。像这样“每段长几分之几米”、“每分是几分之几时” 所表示的就是数量，数量是有单位的。
把5米长的钢管平均截成6段，每段占全长的几分之几，每段长多少米？
｛分析与解答｝问题1“每段长多少米？” 求的是数量。把5米平均分成份，列式就是5÷6＝
56
）米，每段是这根铁丝的（）。
，问题2“每段占全长的几分之几”，求的是份数。以钢管的全长为标准，把
16
1个整
体平均分成份，每份就是。
2．数形结合理解题意。可以画线段图或示意图等
34
一些方法来理解意◆资源链接这样区分份数和数量
例1：把1米长的钢管平均截成
3段，每段占全长的几分之几，每段长多少米？
｛分析与解｝问题1“每段占全长的几分之几”，求的是份数。以钢管的全长为标准，把1个整体平均分成3份，每份就是均分成份，列式就是1÷3＝
13
13
。问题2“每段长多少米？” 求的是数量。把1米平
米
例2：把3块饼平均分给4个孩子，每个孩子分得几分之几块，是这些饼的几分之几？｛分析与解｝问题1“每个孩子分得几分之几块”，求的是数量。也就是把成4份，1份是3÷4＝
34
3块饼平均分3块饼看作
块问题2“是这些饼的几分之几？”求的是份数。把
14
1个整体，平均分成4份，每份就是例3：一块2公顷的菜地，平均分成多少公顷，占这地的几分之几？
28
14
。
3份是
8份，每份是多少公顷，占这地的几分之几？
｛分析与解｝问题1“每份是多少公顷”，求的是数量。也就是把每份数量就是2÷8＝
＝
2公顷平均分成8份，
公顷。问题2“（每份）占这地的几分之几？”求的是份数。
1
把2公顷地看作一个整体，平均分成8份，每份就是。问题3“３份是多少公顷”，求的
8
113
是数量，问题1已求出一份是分之几？”求的是份数，把
4
公顷，3份就是
4
×3=
4
。问题4“（3份）占这地的几
8份，3份就是
38
2公顷地看作一个整体，平均分成。
例4：小明29分钟走了2千米路，平均每分钟走几分之几千米，占总路程的几分之几？｛分析与解｝问题1“平均每分钟走几分之几千米，”，求的是数量。既路程长度，把千米平均分成29份，每份长度是2÷29＝
229
2
千米。问题2“占总路程的几分之几？”求29份，每份就是
129
的是份数，把2千米看作一个整体，平均分成
13
。
13
例5：（1）一根铁丝长15米，剪去还剩多少米？
，还剩多少米？(2) 一根铁丝长15米，剪去米，
35
｛分析与解｝例5（1）中的“剪去”是份数，指剪去了15米的米。例5（2）中的“剪去15-13
13
，所以列式为15-15×
13
=10
米”是数量，指剪去的长度是
13
米，15米，所以列式为
=14
23
米。
以上区分份数与数量的方法，是我在教学中逐渐总结出来的，有欠缺之处请各位同行批评指正。
◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
60
错误率
21.6%
采集者
**
采集学校课时时
综合型
相关知识知识属性
分数的意义陈述性知识
拓展程序性知识
机
总复习√单元
型***
新授课课
练习课复习课
策略性知识
错题来源第四单元
题
基本√√√
题目出处作业本P27
教学简述
这道题出现在真分数和假分数中的第二课时，前面已经学过分数的意义和分数与除法的关系，学生已经掌握把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数。例如他们对“把一堆苹果平均分成5份，每份占总
1
数的（）”基本能掌握，同时也对平均除有一定的基础。但是学生却往
5
往难以分辨出分数的两种意义——表示关系和数量。
◆典型错题
把5米长的钢筋平均截成9段，每段的长度是（
）。
36
1
学生错解：每段的长度是（）。发生此类错误的13人，另外还有部分学生忘记书写单
9
位。◆原因分析
教师方面：教学时，可能对这两种意义的情景设计把握欠深入，所以学生无法建立起有关
的知识模块。学生方面：没有真正去理解分数的两种意义，对两种意义的情景运用区分不够。◆教学建议
1.教学时，从学生原有知识这个载体出发，深入理解分数的意义。2.练习设计注意梯度，在实际练习中让学生真正认识和理解分数的意义。◆资源链接
设计合理的练习，让学生在情景练习中去理解把握分数的两种意义。1.一筐苹果，平均分成3份，每份是这筐苹果的（平均分成6份，5份是这筐苹果的（平均分成9份，7份是这狂苹果的（
）；）。
）；）；
2.把2千克点心平均装在2个盒子里，每盒是总数的（平均装在3个盒子里，每盒是总数的（如果平均装在5个盒子里，每盒是总数的（
）；
）。
3.把2千克点心平均装在2个盒子里，每盒装（）千克？平均装在3个盒子里，每盒装（）千克？如果平均装在5个盒子里，每盒装（）千克？4.1吨煤可以烧8天，平均每天烧煤（
）吨，平均每天烧这吨煤的（
）。
5.把3米长的彩带平均分给7个小朋友，每个小朋友分到（（）。
）米，每人分到总数的
6.小红去学校，15分钟到学校，刚好行了500米，平均每分钟行（的路程是全程的（）。◆大样本问卷调查结果：错误率
%
）米。每分钟行
37
五年级下册典型错例
采集样本
61
错误率
38.1%
采集者
**
采集学校课时时
综合
√
机
单元总复习√
√
课型***
新授课练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第四单元
题
基本
题目出处过关检测
型
相关知识知识属性教学简述◆典型错题
分数的意义陈述性知识
拓展程序性知识
学生已经学习了分数的意义和性质，且已经学会进行名数间的单位互相转化。
填空：45分钟=（）小时
学生错解：①45分钟=（ 0.45 ）小时
②45分钟=（ 4.5 ）小时
◆原因分析
1．学生对于名数间的互相转化在四年级的时候就已经接触到过，而且对于常用的长度单位、面积单位和体积单位之间的进率掌握地较好，
但是这些单位间的进率都是整十、整百、
整千的，学生很少触及到时间单位此类进率非整十、整百、整千的单位名数。2．学生对于数学学习还只停留在应试阶段，很少从生活实际出发去联系和体验。◆教学建议
1．教师应结合平时的练习多注重一些非整十、整百、整千单位间互化的训练。2．教师应在平时教育学生多从生活出发，从实际出发，不要让思维受长度、面积、体积等常用单位进率的负迁移影响。
38
3．学生受“惯性思维”影响，应在平时注意培养学生审题的耐心和细心。◆资源链接
说说下列各单位间的进率
秒、分钟、小时、天、星期、月、季度、年◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
61
错误率
30.2%
采集者
**
采集学校课时时机
拓展程序性知识
总复习√
课型***
新授课
√
练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第四单元
题型
基本√
题目出处单元习题综合单元
相关知识知识属性教学简述◆典型错题题目：
分数的意义陈述性知识
学生已经学习了分数的意义，知道一个分数的分数单位该如何表示。
2
填空：1的分数单位是（
7学生错解：
211的分数单位是（ 177◆原因分析
），再加上（）这样的分数单位就变成了最小的质数。
），再加上（ 1 ）这样的分数单位就变成了最小的质数。
1．教材中的分数单位介绍和练习中只涉及到一般的真分数，对于假分数和带分数的分数单位并没有直接的涉及，学生应该是首次接触到带分数的分数单位。
39
2．学生对于分数单位的理解并不深刻，只是肤浅地知道将一个分数（而且是真分数）的分母不变，分子变1，却并不去了解分数单位所表示的含义。
3．教师在教学中对分数的意义、分数单位的概念的处理也比较轻描淡写。◆教学建议
1．教师还是应该让学生在学习中多对一些数学概念的理解更深刻，而不是简单地教授方法而不去深入理解。
2．教师应该对教材进行合适的处理，针对教材在教学中多一些相应的练习和变式来让学生加深理解和印象。◆资源链接
请你说说下列分数的意义，再说说它们的分数单位
29
73 245
%
◆大样本问卷调查结果：错误率
五年级下册典型错例
错误
率
采集学校课时时
综合
√
机
单元总复习
√
课型
新授课练习课复习课
策略性知识
√√
采集样本46
54.3%
采集者
**
***
错题来源第四单元
题
基本
题目出处单元复习时的课堂练习
型
相关知识知识属性教学简述◆典型错题
分数的意义陈述性知识
拓展程序性知识
学生已经学了分数的意义，分数的加减法等相关知识，但把一些知识点综合起来后，因为种种原因，学生解题的错误率仍相当高。
40
题目：一根绳子，第一次截去
A．第一次 B
25
米，第二次截去绳子的
25
，（）截去的多。．无法确定
．第二次 C
25
．一样多 D
学生错解：1．B因为一根绳子的
25
25
大于
25
米；
2．C，因为=
◆原因分析
1．在本题中，学生对于该去比较哪两个量不清楚，只看到题目中的两个量，而对于
题目里面隐含的条件找不到。
2．部分学生对于具体数量与分率之间的关系不清楚，要么都当成具体数量看待。◆教学建议
1. 通过多种方式让学生理解分率与具体数量的关系。2. 让学生通过画图等方式理解题意，挖掘题目中的隐含条件。3. 进行多种方式的对比练习。
要么都把它们当成分率看待，
◆资源链接
对比练习：
1．两根同样长的绳子，第一根截去
A．第一根 B
25
米，第二根截去绳子的．一样多 D
25
25
，（）截去的多。
．第二根 C
27
．无法确定，（
）截去的多。
2．一根绳子，第一次截去
A．第一次 B
米，第二次截去绳子的
．第二次 C
27
．一样多 D
25
．无法确定米，（
）截去的多。
3．一根绳子，第一次截去
A．第一次 B
米，第二次截去绳子的
．第二次 C．一样多 D
41
．无法确定
◆大样本问卷调查结果：错误率%
五年级下册典型错例
采集样本
61
错误率
41.3%
采集者
**
采集学校课时时机
拓展程序性知识
总复习√
***
新授课课型
练习课复习课
策略性知识
错题来源第四单元
题型
基本√√√
题目出处课堂作业本综合单元
相关知识知识属性教学简述◆典型错题题目：
分数与除法陈述性知识
学生已经学习了分数的意义和性质，对“单位1”有初步的理解。
在100克的水中加入10克盐，这时盐占盐水的（① 1/9学生错解：
② 1/10
③ 1/11
）
在100克的水中加入10克盐，这时盐占盐水的（ 2 ）① 1/9◆原因分析
1.出现这类错误，主要学生是对分数意义理解不深。学生对题中的谁占谁的几分之几不能正确分辨。
2. 学生在对“单位1”的理解上并不能正确的理解“水”和“盐水”到底哪个才是“单位1”。◆教学建议
② 1/10
③ 1/11
42
1．教师应让学生真正理解分数的意义，深刻理解“单位2．让学生养成仔细审题、耐心思考的学习习惯。◆资源链接
说说下列分数中的单位1
1、一块蛋糕吃了。
3
1。9
1是什么？
1”所表示的含义。
2、一个人头部的长度大约占身高的
◆大样本问卷调查结果：错误率%
五年级下册典型错例
采集样本
47
错误率
63.8%
采集者
**
采集学校
基本题型
综合拓展程序性知识
√
时机
课时单元总复习√
√
课型
新授课练习课复习课
策略性知识
√
***
错题来源题目出处相关知识知识属性教学简述◆典型错题
第四单元课堂补充题分数与除法陈述性知识
学习了分数不仅可以表示一个具体的量，还可以表示两个量之间的关系
题目：5公顷土地要平均分成3天耕完，每天耕这片土地的几分之几？351
学生错解：共有10人，共有12人，共有3人。
535◆原因分析
1.区分不了问题所指的是求具体的数量还是量的关系。五年级分数的学习拓展、糅合了分
数使用的范围。分数在不同的情境中有表示数量的，也有表示量的关系。对于理解能力薄弱的学生，区别两者的差异是一头雾水，只能跟着感觉走。
43
2.分数意义的建立还需教师梳理，从而帮助学理解分数使用的价值：一个量和包含量构成分数（如一盒月饼与平均分后的一块或几块月饼）一个量和另一个量构成分数（如一盒月饼与其他几盒月饼）
3.单位“1”不再是用数据1来表示。它的变化也给学生解决问题带来了障碍。4.除法的意义与分数的意义在理解上往往割裂，无法统一思考。◆教学建议
1.学生对于分数表示具体的数量还是表示数量之间的关系需要通过一定量的习题练习慢慢获得，就好比是数感的形成。
2.教师也要帮助学生观察数学语言的表达，对比分析，通过提炼标志性词句帮孩子区分。如两个量之间的关系势必会涉及两个量。
3.对于表述数量之间的关系最佳的办法是统一分数与除法的意义，帮助学生理解新知识点是在原有的知识结构中衍生出来的，并非独立分割的。◆资源链接习题指导教学片断：
师：同学们请读一读问题。问题涉及到哪些内容？生：每天耕的地，还有这片土地。
师：是的，问题在讲每天耕的地与这片土地之间的关系，可以用算式表示吗？生：1÷3
（这个列式是关键，指导学生每天耕地为认为是5份的话，教师可以画图）巩固练习：
1．把5米长的绳子平均分成7段，每段是多少米？每段是这根绳子的几分之几？2. 一根绳子长2米，平均剪成8段，每段长（这根绳子的（）。3.把5kg水果糖平均分给幼儿园是（）kg。
）米，每段是1米的（
），每段是5kg糖的（
），
1份的话，这片土地是几份？如果有部分同学还
8个班的小朋友，每个班的小朋友分得这
4.把全班54人平均分成6个组，每组人数是全班人数的（（）。◆大样本问卷调查结果：错误率
%
），每人占每组人数的
五年级下册典型错例
采集样本
52
错误
48%
采集者
***
采集
暨阳小学
44
率
错题来源
第四单元
题型
相关知识知识属性教学简述◆典型错题题目：
有一种大豆，每千克中大约含有淀粉质各占总质量的几分之几？错解：
300+250+380=930（克）
300÷930=10/31 250÷930=25/93 380÷930=38/93 ◆原因分析
分数与除法陈述性知识
拓展程序性知识基本
√
时机
学校课时
课型
总复
习√
新授课
√
练习课复习课
策略性知识
√
题目出处全能卷王综合单元
这是孩子们在学习了分数的意义和性质之后进行的一次单元测试中的解决问题第一题。
300克、脂肪250克和蛋白质380克。这三种物
1、受以往习题的影响，一看问题中的总质量马上想到的是所提供的物质的总和。想当然地认为只要把这三种物质加在一起就可以了。
2、对大豆中各种营养成份含量的不理解，以为大豆中就只有淀粉、脂肪和蛋白质这三种物质，加起来便等于大豆的总质量。看来在科学课中并未很好地解决这个问题，需要学科整合一下。
3、孩子在解题时对于用文字表达的数学信息总是容易忽略：比如这里的“每千克”，并
不能自动地转化为：1000克。因而在算出930克，并把930克当大豆总质量时并不觉得有什么不妥。◆教学建议
1、请孩子找来一些食品的外包装，了解食物的营养成份，知道淀粉、脂肪、蛋白质只是
其中的一部分，食物中还含有其他多种物质。2、根据对所收集资料的理解，画出示意图（如右图）通过数形结合，进一步明确
45
淀粉脂肪蛋白质其他
题目中的总质量指的是什么？是大豆的总质量还是三种物质的质量之和。
五年级下册典型错例
采集样本
43
错误率
50%
采集者
**
采集学校课时时机
拓展程序性知识
总复习√
课型***
新授课
√
练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第四单元
题型
基本
题目出处同步练习综合√单元
相关知识知识属性教学简述◆典型错题
分数与除法陈述性知识
在学习了分数的意义一单元以后，作为增进对分数意义的理解，练习安排了以下题目。
题目：张师傅5分钟作了2个零件，他每分钟能做( )( )分钟。
个零件，他做一个零件需要
错解：两个空都对的：50%；只错一个30%，两个都错的：20%。◆原因分析
这种类型的题目在平时就出现过多次，课上也是再三的讲，但学生还是再三有错，原因有三：其一、分数本质是上一种除法关系。受学生认知能力与教材编排的影响，在低年级时学生所练习的除法总是大数除以小数，思维已有定势。学生对于除法的意义并没有很
好、完整的理解。学生并不能真正理解2个算式表示的意义，不清楚“每分钟几个”与“每个需几分钟”两者数量关系的区别。
其二、题本本身易混，同一题里设计出求两个每份数的量，本身就会让学生产生混淆，其三、教师在讲解这一题时也没有什么好的对策，也不知该如何讲解。◆教学建议
46
把除法的意义与分数的本质联系起来教学。通过对比练习让学生充分体会总数、每份
数、份数的含义。主要手段是通过画线段图。先找准总数理解是把谁去平均分，谁是总数。
◆资源链接对比练习
条件：已知小军
30分钟走了
32千米路程?
?
,问
1、平均每分钟走多少千米2、平均每走
1千米需要几分钟
3、平均每千米占总路程的几分之几？解题策略：
把( )平均分成了几份？求每1份是几千米？
把( )平均分成了几份？求每1份是多少分钟？
◆大样本问卷调查结果：错误率%
五年级下册典型错例
错误率
采集者
采集学校课时时机
拓展程序性知识
总复习√
课型
新授课
√
练习课复习课
策略性知识
√
***
采集样本46
50%
**
错题来源第二单元
题型
基本√
题目出处单元复习时的课堂练习综合单元
相关知识知识属性
分数的意义、分数与除法陈述性知识
教学简述
学生在学习分数的意义时，求单位“1”的几分之几是会做的；学分数
与除法的关系时，求每份数也是会做的，但整个单元学完后，把两个问题
47
放在一起，就很要出错了。
◆典型错题
题目： 5公顷土地要平均分成3天耕完，每天耕地几公顷？每天耕这片土地的几分之几？学生错解：每天耕地：3÷5=（公顷） 1÷3=（公顷） 1÷5=
5
3
3
1
15
（公顷）
每天耕了几分之几：3÷5= 5
5
3
÷3=
53
1÷5=
15
◆原因分析
1．对于分数的意义没有很好理解和掌握，而分数意义的理解和掌握又需通过大量的实例去领会，单纯靠死记硬背是难以达到这一目的的。
2．学生不能很好地理解：在什么情况下，总量用单位“用具体的总数表示。
3．求每份数时，不能正确找到总数或份数。◆教学建议
1.通过各种方式让学生充分理解单位“
1”、分数的意义等各种概念。
1”表示；什么情况下，总量
2.在新授课的课堂练习、单元练习、总复习时多进行这类问题的对比练习。3.教师在课堂上向学生灌输“量率”对应的思想还是有必要的。◆资源链接
进行量率对应的练习和多种情景的练习：1.小明做语数英三课家庭作业要语文用了几小时？
2.小明做语数英三课家庭作业要做语文用了全部时间的几分之几？
3.有15吨化肥，平均分给7个村，每个村分到（（
）。
48
2小时，做数学用了
12
小时，做英语用了
14
小时，做
2小时，做数学用了所有时间的
12
，做英语用了
14
，
）吨，每个村分到这些化肥的
4.把一根长3m长的铁线平均分成5段，每段长（◆大样本问卷调查结果：错误率
%
）m，每段是这根铁线的（）。
五年级下册典型错例
采集样本
43
错误
率
16%
采集者
**
采集学校课时时
综合型
相关知识知识属性教学简述◆典型错题
题目：昨天妈妈买了１个西瓜,我一口气吃了5/4个。（
）
分数的意义，真分数、假分数陈述性知识
拓展√程序性知识
机
总复习单元
√
型课***
新授课练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第四单元
题
基本√
题目出处课本练习
在教学了分数的意义，真分数、假分数等一些知识后，教材中为增进学生对于分数意义的理解与对分数大小的把握，安排了一组判断题。
错解：不对，西瓜那么大，一口气怎么吃得完。◆原因分析
学生的判断是正确的,但思考的方式是有问题的。生活经验告诉他一口气是吃不完一整个西瓜的,所以他们只凭直觉作出一种判断,而没有真正关注到1与5/4的关系（只买了一个西，5/4大于1）。所以掉进了命题者的陷阱。◆教学建议
1、深化对分数意义的理解。在真分数，假分数与结合,以更好的帮助学生建立起假分数的概念。
1之间的大小关系辨析的时候注重数形
49
2、解题过程中，教师要善于引导学生全面理解题目意思，要仔细审题，分析题目中数据之间的关系。
◆资源链接比较下列数的大小
3/5○1 ，1○5/3 ，3/5○5/3
◆大样本问卷调查结果：错误率%
五年级下册典型错例
采集样本
43
错误率
30%
采集者
**
采集学校课时时机
拓展程序性知识
总复习√
课型***
新授课
√
练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第四单元
题型
基本
题目出处同步练习
分数的意义，真假分数，分数的大小比较陈述性知识
综合√单元
相关知识知识属性教学简述◆典型错题
在学习了分数的意义与性质这一单元后呈现的一道综合题。
题目：用分数表示直线上的各点。
错解：
50
◆原因分析
学生已经有了单位“1”的概念，但是在同一情境中，确定的单位“1”标准应该统一，学生正是忽略了这一点。这于平日中教学引导的缺失不无关系,在学习<分数的意义>时,我们似乎得出了一种结论：任何东西都可以看作单位“1”，所以在这里学生想把谁看单位“1“就把谁看成单位“1”了，
从教材角度看在六下教材中，对于数轴的认识，没有出现严格的定义，而是描述性的定义，所以五年级的学生自然也没有真正建立起数轴概念，他们缺乏对数轴中从左往右渐大这种数理性知识的认识。
对于真分数、假分数的理解并不深刻。学生忽略了题目中所呈现的各种信息。本题目如果能仔细自查，不难发现2/6在1的左边，而7/12竟然在1的右边了，大于1了。◆教学建议
1.通过事例明理：在同一情境中,确定的标准应该是一致的。在教学分数的意义时，把看作单位“1”，理解其中某一（几）部分的分数值，进而反向思考，这些分数都是以谁为标准的？
2.在学法指导上要引导学生先期进行数的大小比较，在教法指导上，加强对数轴的教学认识，引导学生学会答案自查。
**
◆资源链接
◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
47
错误率
63.8%
采集者
**
采集学校
题型
基本综合
51
***
新授课练习课
错题来源题目出处
第四单元课堂作业本
√
时机
课时单元
√
课型
√
相关知识知识属性教学简述◆典型错题
分数的意义、真、假和带分数陈述性知识
拓展程序性知识
总复习复习课
策略性知识
√
学生学习了分数的含义，也学过了真分数和假分数和带分数。
题目：用直线上的点表示下列各分数。
0 1 2 3 学生错解：
0 1 2 3
表达3/4的点错误有8人。
0 1 2 3
表达3/2的点错误有13人。
2
0 1 2 3
表达3/2的点错误有12人。
0 1 2 3
表达6/3的点错误有12人。
52
◆原因分析
1.在数轴上表示点的位置不够精准。学生明白3/4的点落在数轴0和1之间，而且这个分数靠近1，估计了一下位置就加点表示。
2.分数的意义不理解。像3/2这类假分数它表示的意义不清楚，无法用物体或图形来表示。这类分数的意义理解对学生来说是比较困难的。
3.没有灵活应用分数、小数、整数之间的变化关系。在对于大于猜测和估计。
1的分数表示时都是依靠
4.数轴知识属于较抽象知识，对于学生的思考或认识有比较高的要求。◆教学建议
1.教师有必要引导学生对分数进行分类教学。小于1的分数必须按其分数的意义思考。如本题3/4，它表示把0至1这条线段平均分成4份，按方向从左往右取3份对应的点就是表示3/4。大于或等于1的一类分数可以转化成带分数或整数。如果是带分数，首先确定它的区间位置，再把分数部分按小于1的分数方法思考。如果是整数可以直接寻找整数点。2.多练习分数、小数、整数之间的转化。利用假分数的意义在数轴上找点对学生来说是比较困难的，通过把假分数转化成带分数或者整数，可以有效降低思考的难度。
3.关于数轴学生不是第一次接触，但是数轴上的点的分布和意义并不是每个同学都理解明白的。教师对于数轴的结构和成分可花点时间系统具体地讲解。
◆资源链接
1.在下图的□中填上适当的数，直线上面填假分数，下面填带分数。
□
□
0 1 □ 2 □ 3
2.把下列分数用直线上的点表示出来。
0 1 2 3．在直线上表示下列这些分数。
53
0 1 2
◆大样本问卷调查结果：错误率%
五年级下册典型错例
采集样本
62
错误率
15.4%
采集者
***
采集学校课时时
综合
√
机
单元总复习√
√
课型***
新授课练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第四单元
题
基本
题目出处课时作业
型
相关知识知识属性教学简述◆典型错题题目：填空：（学生错解：◆原因分析
分数的基本性质陈述性知识
拓展程序性知识
学生已经学过分数的基本性质，也知道分数与除法之间的关系。
）/25 = 4/5 = 8÷（） = （）（填小数）
填空：（ 8 ）/25 = 8÷（ 25 ）= 4/5 = （ 0.8 ）（填小数）
1、学生对于一连串的等式的审题不清。
2、学生对分数与除法的关系的了解使得“走近路”的思想简单地解决前两个括号，而没有去顾及后面的题目的完整。◆教学建议
1、教师应该培养学生细心审题的良好习惯。
2、对于分数的基本性质应该让学生真正理解和掌握。◆资源链接
54
请说说分数的基本性质
◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
47
错误率
31.9%
采集者
**
采集学校课时
√
时机
单元总复习
***
新授课课型
练习课复习课
策略性知识
√√
错题来源题目出处相关知识知识属性教学简述◆典型错题
第四单元练习卷最大公因数陈述性知识
题型
基本综合拓展程序性知识
√
学生已经学会了如何求两个数的最大公因数的方法
题目：a÷b=2，a和b都是自然数，a和b的最大公因数是（学生错解：答案是2的共有7人，答案是1的共有3人。◆原因分析
）
1. 在学生眼里，a和b是两个不确定的数，根本无法求出这两个数的最大公因数。因此只能随意地填一个数。
2. 此题求最大公因数脱离了具体的数，也就是说用举例法或者短除法乃至质因数分解法
都无法解决此题。学生看到a÷b=2说明商是2，所以a和b的最大公因数是2。其实，学生的这种思考逻辑是没有道理的，是完全错误的。◆教学建议
1.学生对于具体的数容易感知，教师不妨采用举例法让学生感受这类题的解决之道。首先
根据a÷b=2，举例一题：8÷4=2，然后计算8和4的最大公因数是4。这样的例子多举几个，最后总结发现它们的最大公因数就是除数，从而得到答案。
2.利用存在倍数关系的两个数之间的关系：如果两个数存在倍数关系，那么较小数是这两个数的最大公因数，较大数是这两个数的最小公倍数。结合除法算式变换思考a是b的2倍，得出b是较小数，是a和b的最大公因数。
3. 从具体的数的计算到用字母计算是思维的一个飞跃，作为教师要在日常教学中经常性
地渗透这类题的教学。这样既有助于学生思维的发展和提高，更有助于中小学数学的衔接。◆资源链接
55
练习：1.甲数是乙数的倍数，甲乙两数的最大公因数 2.a =9b
( )，最小公倍数( )
）
。
（a、b都是整数），那么a与b的最大公因数是（
%
◆大样本问卷调查结果：错误率
五年级下册典型错例
采集样本
70
错误率
26%
采集者
**
采集学校课时时
综合型
相关知识知识属性
最大公因数陈述性知识
拓展程序性知识
机
总复习√单元
型***
新授课课
练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第四单元
题
基本√√
题目出处作业本
本题是在学生掌握了因数、公因数、找最大公因数的基础上出示的一
教学简述
道练习题，通过枚举法找到解决问题的答案，从而进一步加深对最大公因数的理解。
◆典型错题
有一块长72厘米、宽40厘米的长方形玻璃，把它裁成边长是整厘米数、面积都相等的正方形，恰好无剩余，最多可以裁多少块？◆原因分析
1、题意理解不清，不知道该用最大公因数还是最小公倍数来解决问题。
2、审题一知半解，知道要用最大公因数或是最小公倍数来解题，但求出来的是什么没有深入思考。
3、过早出示用短除法来求两个数的最大公因数和最小公倍数，◆教学建议
56
不利于学生理解其概念。
1、通过动手实践或多媒体演示等活动，帮助学生理清题意，找到解决问题的关键点。2、在教会学生用列举法来求最大公因数的同时补充介绍短除法。3、不过分强调短除法，重在理解概念。◆资源链接教学设计推荐：教学目标：
1、经历具体的操作活动，认识公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示两个数的因
数和它们的公因数，在探究中体会数形结合的数学思想。
2、在探索寻找公因数和最大公因数的过程中，经历观察、归纳等数学活动，进一步发展
初步的推理能力。
3、会运用公因数，最大公因数的知识解决简单的实际问题，体验数学与生活的联系，增
强数学意识。
教学重点、难点：理解公因数和最大公因数以及求
2个数的公因数和最大公因数。
教学准备：若干张长16cm,宽12cm的长方形纸以及若干张1cm,2cm3,cm,4cm的正方形纸和尺子。教学过程：
一、创设情景，动手操作
1、出示主题图：陈老师家贮藏室的地面长
16分米，宽12分米。如果要用边长是整分米
的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖都是整块），可以选择边长是几分米的地砖？
师：同学们，仔细读要求，你们认为解决这个问题要注意什么？预设：A：铺满 B
：使用的地砖是整块
57
C D
：铺的地砖是正方形：地砖必须是整分米数
2、动手操作
师：陈老师给大家准备给大家准备了一张长就用这张纸代替贮藏室的地面，根据上面的以画一画，或者算一算，看谁的方法多。学生动手操作，教师巡逻指导。
师：哪个小组愿意把你们的结果告诉大家？
教师根据学生汇报，记录：1cm，2cm，4cm（教师幻灯片出示已画好的纸）二、发现问题，合作探究
1、教学例1：认识公因数和最大公因数师：还有其他的摆法么？为什么
3cm的正方形不行，而1cm，2cm，4cm却可以？
16厘米，宽12厘米的长方形纸，那我们现在4点要求，利用手中的小正方形摆一摆，也可
生：因为1cm既是16的因数，又是12的因数。 2cm 4cm
既是16的因数，又是12的因数。既是16的因数，又是12的因数。
而3cm只是12的因数，却不是16的因数。师：也就是说，只有当既是
12的因数，又是16的因数，才能符合标准。
师：那么，除了1、2、4，12和16还有其他的因数么？
师：把他们所有的因数填入椭圆中。（一个同学黑板上贴，其他同学自己纸上）（出示两个用硬纸板剪成的椭圆，分开贴在黑板上。）师：（再出示2个椭圆，按照集合图的形式放）如果把
58
2个椭圆按照这样放，那这些因数
应该怎么填？在你自己的纸上填一填。（一个同学黑板上贴）
师：为什么这么填，你是怎么想的？
生：相交部分填1、2、4，表示12和16的公因数，另2部分表示它们剩余的因数。师：因此，我们把1、2、4叫做16和12的公因数；其中，4是最大的公因数，叫做最大公因数。
揭示课题：最大公因数
师：黑板上的这图画，叫做集合图，用它来表示，可以比较直观地表示出两个数的公因数。2、教学例2：怎么求18和27的最大公因数？
师：接写来我们来算一下18和27的最大公因数，请大家拿出草稿纸，在你的纸上算一算。学生自主活动，在小组中交流，可能会有以下方法：A：分别列出两个数的因数，再找最大公因数
B：先找出18的因数，再从18的因数中找出27的因数C：先找出27的因数，再从27的因数中找出18的因数D：利用分解质因数找最大公因数学生汇报，教师记录：
18的因数有：1、2、3、6、9、18 27的因数有：1、3、9、27 公因数有：1、3、9 最大公因数是：9
练习：找出下面每组数的最大公因数：
15和12，30和45（请2个学生到黑板做板演）3、公因数和最大公因数之间的关系。
59
师：现在黑板上有三组数，分别列出了它们的公因数和最大公因数，请同学们仔细观察，两个数的公因数和最大公因数有什么关系？
通过讨论得出：所有的公因数都是最大公因数的因数。三、应用拓展
1、找出每组数的最大公因数，做完后说说你发现了什么？
（1）4和8 15（2）1和7 1
和60 9和12 1
和27 和25 和79
1。
（3）8和9 14和15 78
2、按要求写出两个数，使它们的最大公因数是（1）两个数都是质数：（2）两个数都是合数：（3）一个质数一个合数：
3、玫瑰花72朵，玉兰花48朵，用这两种花搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能扎成多少束？每束有几朵玫瑰花和玉兰花？四、课题回顾，布置作业
师：同学们，这节课我们学习了什么，你有什么收获？◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
47
错误率
53.1%
采集者
60
** 采集***
学校
错题来源题目出处相关知识知识属性教学简述◆典型错题
题目：把一个长75厘米，宽40厘米的长方形纸片剪成大小相同的正方形纸片正方形纸片的边长最大是（）厘米。这样的正方形纸片可以剪（学生错解：剪（12）个有3人，剪（1）个有6人，剪（23）个有10人。◆原因分析
1. 思考方向发生错误。学生首先利用倍数关系算出在75厘米长的边上可剪15个边长5厘米的正方形。同样地算出在40厘米长的边上剪出8个边长5厘米的正方形。接着综合两条边上的正方形个数，感性地认为算出总个数就是用加法解决。
2.本题第一个问题求正方形边长最大是多少，学生善用代数方法（求两个数的最大公因数
举例法或短除法）解决。解决第二个问题很自然地抛开数形之间的联系，得出错误的答案。3. 由于理解力制约影响，乘法的意义的理解还是处于浅层次理解。学生对于文字表达乘法关系列算式已驾轻就熟，但对于需要自己根据情境建构乘法关系往往出现困难。◆教学建议
1. 纠正学生思考方向错误，还是需要学生动手画一画草图。通过画图，学生就一下子明
白15个和8个之间的实际意义联系：每行有15个正方形，一共有8行。明白了这点，就不会用加法解决问题了。
2.在切割无剩余情况下，倡导用大面积除以小面积得出个数的方法。本例中学生用长方形面积除以正方形面积便很容易得出个数120这个正确答案。3.多练习关于图形个数计算问题的习题◆资源链接巩固练习：
1.有一块长10厘米，宽2厘米的的长方形纸板，要剪出边长为可剪出几个？
0.9厘米的正方形，最多
,而且练习内容可以有层次性和多样化。
（正好剪完），
）个。
第四单元练习卷最大公因数陈述性知识
题型
基本综合拓展程序性知识
√
时机
课时单元总复习√
√
课型
新授课练习课复习课
策略性知识
√
这是一道综合利用题，不仅需要使用刚学过的求两个数的最大公因数，还需要使用学生最易错的图形面积个数计算问题。
61
2. 将长为20厘米，宽为8厘米的长方形，减成同样大小的正方形，并且没有剩余。最多剪几个？
3.有若干个长是18厘米，宽是12厘米的长方形，把这些长方形拼成一个最小的正方形，最少要用几个这样的长方形？◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
52
错误率
32．6% 采集者
***
采集学校课时时
综合型
相关知识知识属性
最大公因数最小公倍数陈述性知识
拓展程序性知识
√
机
总复习单元
√
型课***
新授课练习课复习课
策略性知识
√√
错题来源第四单元
题
基本
题目出处随堂练习
教学简述
该题是在孩子们学习了约分和通分之后，在教学练习十七时针对孩子们对于将最大公因数和最小公倍数混淆现象而改编的对公因数、公倍数应用的对比练习。
◆典型错题题目：
1、用长42厘米、宽28厘米的长方形纸片拼成一个正方形（中间没空隙），最少需要多
少张？
2、把长42厘米、宽28厘米的长方形纸片剪成一些正方形，正方形的边长最长是多少？错解：
A、将算出来的42与28的最大公因数与最小公倍数直接当成问题的答案。
62
B、两道题的解题思路相反，即第一题求了两数的最大公因数，而每二题求了两数的最小公倍数。◆原因分析
1、从教师层面分析：在对一些任课教师的交流中，发现部分教师在教学公因数与公倍数这两块内容时，一方面觉得概念教学与问题解决放在一起教学难度增大；另一方面认为公因数（公倍数）是为约分（通分）服务的，为以后的分数计算服务。课堂中往往将应用仅仅停留在引用的作用，也有老师采用的是直接从概念出发进行教学：如出示42和28请孩子们先各自找出他们的因数，再找一找哪些因数是公有的，谁是最大的。如此一来，孩子们缺乏对于公因数（公倍数）概念的感性认识基础，碰到需要用公因数（公倍数）解决问题的时候就不大清楚了。
2、从学生层面分析：对于学生来说，理解公因数（公倍数），找两个数的理解公因数（公倍数）并不困难，难的是拿到一道题后，如何判断这题该用什么知识来进行解答。从错解A中从对孩子的访谈中我们发现也有一部分孩子可以凭生活经验或者说是数学的直觉，知道是公因数或公倍数的知识来解答，但是对于求出来的公因数和公倍数是题目中的那个量并不清楚，造成了结论的错误。◆教学建议
1、引导学生从最大公因数与最小公倍数的概念、方法与应用等方面，作出比较，促使学生分清有关知识的异同。
2、在教学公因数、公倍数这两块内容时，充分合理地利用教学资源，注重学生的动手操作，使他们在解决问题的过程中获得感悟，为抽象概念提供感性认识的基础。
3、就该题而言，教师可以利用画图的方法，帮学生建立起数与形的空间联系。教学分析时，可引导学生将两题所表达的意思用图示的方法画一画，在画的过程明确该选择什么知识进行解答。并通过题图对比，明确所求的最大公因数（最小公倍数）表示的是拼（剪）后正方形的边长，再进行计算。◆资源链接针对性练习：
1、一张长方形纸，长75厘米，宽6分米，把它剪成相同的正方形且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？最少可以剪多少个？（画出示意图）
2、城建队要用长5分米，宽3分米的长方形的长方形地砖在广场的中央铺一个正方形场地。这个正方形的边长最小是多少？最多需要多少块这样的地砖？（画出示意图）
3、小玲和小青都经常去图书馆，小青每4天去一次，小玲每6天去一次。3月2日两人同时去图书馆后，几月几日他们再次相遇？几月几日第三次相遇呢？4、已知大约有不少于30名学生参加绘画比赛，现进行分组。按每组恰好分成几组。参加绘画比赛的至少有多少人？
6人或每组8人都能
63
5、花店有72枝红玫瑰和48枝白玫瑰，扎成花束出售。如果要所红玫瑰、白玫瑰平均分在每束花中，最多可以分成多少束？每束花有多少枝？
6、一盒铅笔，平均分给5人差2枝，平均分给6人也差2只。这盒铅笔至少有多少枝？◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
62
错误率
24.3%
采集者
***
采集学校课时时
综合
机
单元总复习√
***
新授课课型
练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第四单元
题
基本√√
题目出处课堂作业本
型
相关知识知识属性教学简述◆典型错题题目：
最小公倍数陈述性知识
拓展程序性知识
学生已经学习过最大公因数和最小公倍数，且了解最大公因数和最小公倍数的求法。
用大小相等的长方形纸，每张长这种长方形纸（）。
① 5张学生错解：
用大小相等的长方形纸，每张长这种长方形纸（ 1 ）。① 5张◆原因分析
② 6张
③ 7张
② 6张
③ 7张
12厘米，宽8厘米。要拼成一个正方形，最少需要
12厘米，宽8厘米。要拼成一个正方形，最少需要
1、教师在教学中对于最大公因数和最小公倍数的求法讲授较多，而较少地对何时求最大
公因数、何时求最小公倍数的情况进行强调。
2、学生对此类题目往往会与求最大公因数混淆，使得得到错误的判断和计算。
64
3、个别学生知道是求最小公倍数，也求出了最小公倍数，但对至少需要多少张这样的纸却得出长2张，宽3张，所以是2+3=5张的结论，可以说是对本题在另一个意义上的不理解。◆教学建议
1、加深学生对最大公因数、最小公倍数题型的理解和把握。
2、教师在教学计算方法的应用时，应该突出重点，既要多一些变式的练习，又要强调相近题型之间的注意区分。
3、应多培养学生在遇到困难的时候多用画图的方法加深对题目的理解。◆资源链接
说说什么是公因数，什么是公倍数？什么是最大公因数，什么是最小公倍数？◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
64
错误率
35%
采集者
**
采集学校
新授课课
单元机
总复习√
型
练习课复习课
策略性知识***
错题来源第四单元基本课时√
题
题目出处
课堂作业本
型
分数的意义性质及大小比较陈述性知识
综合
√
时
√
相关知识拓展
知识属性程序性知识
在三年级时已经会求工作效率和工作时间，但同样的内容放在分数的意义
教学简述
单元，再来理解两数相比的结果，也就是这个分数所表示的意思，学生反而分辨不清效率和时间。
◆典型错题
错题：方方和圆圆比赛打字，方方速度快？为什么？
65
3分钟打字350个，圆圆5分钟打字583个。谁打字的
学生错解：方方：3÷350=◆原因分析
3350
圆圆：5÷583=
5583
因为：
3350
＜
5583
所以圆圆快。
1.看到两个数想当然地相除，至于
个就快。2.有个别学生能知道
3350
3除以350表示什么意思没有细想，认为结果大的那
所表示的意思，即表示每个字所需的时间，但不能联系生活实
际判断，按照习惯思维，认为多的、大的就是好的，快的，需要老师提醒才豁然开朗。3.平时缺少这样的练习。根据习惯思维，学生习惯用效率来判定多少快慢，但出现分数
后，也可用时间来判定，学生不习惯，加上定向思维，没有深入思考，需要加大这样的练习。
4.一般情况下，教师喜欢讲学生易接受的思路，即用效率大小来判定。对那些学生有疑
惑或思路不清的常作为一题多解的拓展备用，没有深入细致地讲解，导致学生一知半解。学生知道可以用这种方法解题，但不知道到底该怎么分析。◆教学建议
1.两种方法对比分析：350÷3=116
23
：用总字数除以时间，表示每分钟打字个数，即效率，
3÷350=
3350
那么每分钟打字多的那个就快，即效率高的那个就快。而用所需时间除以总
字数，表示每个字所需的时间，打同样的一个字所需的时间越多，说明速度越慢，也就是算出来的结果越大，速度反而越慢。
2.联系生活实际。想想同样的两个人跑步，如果从每分钟跑的路程来分析，每分钟跑的多的人当然快。但如果从每米或每十米路程所需的时间来分析，所需时间多的那个当然反而跑的慢。还可以从学生熟悉的做口算题、写字等方面来进行举例，让学生熟悉从不同的思路来分析问题的方法。◆资源链接
王师傅5分钟加工零件17个，李师傅6分钟加工零件20个，张师傅7分钟加工零件23个，他们三人哪个做的最快，哪个最慢？（用两种方法分析，得出结论。）◆大样本问卷调查结果：错误率
%
66
五年级下册典型错例
采集样本
60
错误率
21.6%
采集者
**
采集学校课时时机
拓展程序性知识
总复习√
课型***
新授课
√
练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第四单元
题型
基本
题目出处作业本P27
带分数和假分数的互化，分数大小比较陈述性知识
综合√单元
相关知识知识属性
教学简述
这道题出现在复习阶段的试卷中。这次练习以前，已经出现几次相关内容，例如作业本P27中的第三题中的第二小题——用带分数表示每分钟加工的零件；P37第三大题的第二小题——跑800米的成绩比较。
◆典型错题
错题：小李3小时加工8个零件，小王4小时加工11个零件，小肖做13个零件需要5小时。谁做得快？
3
学生错解：小李：3÷8=
8
4
小王：4÷11=
115
小肖：5÷13=
13
435因为＜＜，所以小肖快。
11813此类学生达到30人，错误率为50%。
◆原因分析
教师方面：教学时，我忽略了学生的认知基础，我以为比较工作快慢对学生来说不缺乏生活经验，所以没有多加注意练习，只是强调比较跑步成绩时，应该想到时间越多，跑得越慢。学生方面：没有真正去理解这种生活场景。◆教学建议
67
1.教学时，从学生原有知识这个载体出发，深入理解分数的意义。采集样本错题来源
错误率
采集学校课时时机
拓展程序性知识
总复习√
课型
52 27% 采集者***
暨阳小学
新授课
√
练习课复习课
策略性知识
√
第四单元
题型
基本
题目出处全能卷王分类复习综合√单元
相关知识知识属性
分数的大小比较陈述性知识
教学简述
这是孩子们在学习了分数的意义和性质一单元之后做的分类复习题。之前的练习中，较多的是结合情境，直接告诉孩子分数数据进行比较并得出结论。
2.练习设计注意梯度，在实际练习中让学生真正认识和理解分数的意义。◆资源链接
◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
◆典型错题错题：
李师傅5小时加工零件26个，张师傅6小时加工零件30个，王师傅7小时加工零件37个，三人中谁做得最快？为什么？错解：
A、26÷5=26/5 30÷6=5 37÷7=37/7（单位：时/个
答：因为37/7＞26/5＞5 所以张师傅做得最快。B、5÷26=5/26 6÷30=1/5 7÷37=7/37（单位：时/个
答：因为1/5＞5/26＞7/37，所以张师傅做得最快。
◆原因分析
个/时）个/时）
68
1、A、B两种解法，A求的是每小时能加工多少零件，所求数据越大说明工作效率越高，即做得最快；而B求的则是每个零件需要多少时间，所得数据越大说明工作时间越多，工作效率最慢；也就是两种方法对比较结果的处理是完全相反的，这造成了孩子们对其判断的失误。
2、通过访谈，包括从练习的单位中不难看出，由于数据（主要是分数）的影响，导致孩子对数量关系理解能力下降。部分孩子对于26÷5=26/5和5÷26=5/26到底在算什么，表示什么意思很模糊，特别是方法B中，有不少孩子的单位写成个/时，连算出来是什么也不清楚，也难怪无法比较清楚了。◆教学建议
1、通过举例子，使孩子们明白完成同一件事，时间越短，完成得越快；单位时间内做得越多，完成得越快。
2、明确数量关系，将此类题与速度、单价等进行对比练习。对于部分学困生可以采用除法算式的意义来进行理解，比如说刚才的5÷26可以先理解为将5小时平均分配到26个零件上，每个零件需要多少时间；当然也可以采用访谈中的“类推法”进行理解。◆资源链接针对性练习：
1、300千克芝麻可以榨出芝麻油需要多少千克芝麻？
150千克，每千克芝麻可以榨油多少千克？每榨一千克油
2、从丁丁家到学校有800米，丁丁一共走了A分钟。那么：
800÷A表示（
）；A÷800表示（
）
从丁丁家到学校有B米，丁丁一共走了A分钟。那么：A÷B表示（
）；B÷A表示（
）
附：访谈个例师：能告诉我你这里的生：（沉默）
师：我看你这里写的单位是个/时，为什么用了这个单位呢？
生：问我们谁做的快，就是让我比工作效率谁快嘛，工作效率的单位就应该是个师：能告诉我工作效率是怎么求的吗？
生：（很熟练地）工作总量除以工作时间等于工作效率。（看来能背数量关系并不等于理解数量关系，此时这个数量关系对于这个孩子有多少价值呢？）
69
5÷26=5/26算的是什么吗？
/时呀。
师：你算式中的5表示什么？26表示什么？
生：5表示工作时间，26表示工作总量，这个……算的是什么呢？（这时的孩子脑子中估计一直在盘算着工作总量工作时间与工作效率的关系，一下子转不过来了）师：我们试着换两个数据，比如说：现在生：表示每个零件需要用
6小时做了3个零件，6除以3表示什么意思？
2小时。（数据时整数时，孩子的思路很清晰）
师：那试卷上的题和老师刚才举的例子一样吗？那你刚才算的表示什么呢？
生：（思考了一下）应该也是表示每个零件需要5/26时吧。（回答时的语气并不那么肯定，看来结果是分数是造成孩子困惑的一大原因）师：很好。能说说你当时是怎么想的吗？
生：当时……这个单元不是求分数的吗？一般都是用小的那个数除以大的那个数呀。（这是什么理由？平时的假分数、带分数说得太少了吗？哦，对了，在这个单元中与分数计算有关的最常见的是：甲占了乙的几分之几，算出来的几乎都是真分数。）◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
61
错误率
49.2%
采集者
**
采集学校课时时√
机单元
总复
课√型***
新授课练习课复习
√
错题来源第五单元
题
基本
题目出处相关知识
过关检测分数化小数
型综合
拓展
70
习
知识属性教学简述◆典型错题
2733
错题：选择、、、能化成有限小数的有（
315128
A.1 B.2 C.3 D.4
2733
学生错解：、、、能化成有限小数的有（ A ）个。
315128
A.1 B.2 C.3 D.4
◆原因分析
陈述性知识
程序性知识
√
课
策略性知识
学生已经学习过如何将一个分数化成小数，也初步了解了能化成有限小数的分数的特点。
）个。
1．教材在介绍哪些分数可以化成有限小数的这部分内容相当少，而且并没有强调关键点，使得教师和学生在教和学当中的侧重点发生偏差。
2．学生没有和好得理解能化成有限小数这些分数的分母特征的前提应该是“最简分数”，所以直接进行判断，而不是先去判断是否是最简分数。◆教学建议
1．教师在教学中要深入地读懂教材，更要读懂学生，对于小学生来说，在教学中应该对语句的重点和关键点多一些强调，使得学生印象深刻。
2．多一些此类的练习，让学生在练习中加深对“最简分数”的理解。◆资源链接
说说什么叫“最简分数”？下列哪些是“最简分数”？2733、、、315128
◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
71
采集样本70
错误率
23% 采集者**
采集学校课时时
***
新授课课
练习课复习课
策略性知识
错题来源第二单元
题
基本√√
题目出处期末试卷（08学年）
型
异分母分数减法，分数的意义陈述性知识
综合
机
拓展
√
单元
型
总复习√
相关知识知识属性教学简述◆典型错题
程序性知识
分数意义的理解是解决这道题的关键，在学习了简单的分数应用问题后，出示了区分具体量与分率关系的练习题。
题目：一根长10米的绳子，用去米。学生错解：
（1）一根长10米的绳子，用去米。
（2）一根长10米的绳子，用去米。◆原因分析
15
15
米，还剩（）米；如果用去它的
15
，用去了（）
米，还剩（ 8 ）米；如果用去它的
15
，用去了（ 2 ）
15
米，还剩（8
45
）米；如果用去它的
15
，用去了（ 2 ）
.针对第一位同学的错误，访谈如下：师：你能告诉我，你做的时候是怎么想的吗？
15
15
生：因为用去， 10×
=2，所以还剩10－2=8米。
72
师：那你再仔细看看这两个
15
表示的意义一样吗？他们表示什么你能说一说生：（茫然）
师：一根绳子用去15
，这个15
表示什么呢？
生：就是五份用去一份。师：用去
115
米，这个
5
米表示什么呢？
生：就是用去了
15
米。
师：
15
米大概多长你知道吗？能比划一下吗？
生：我现在知道了，这两个
15
的意义是不一样。
归因：
（1）学生读题还不够仔细认真，没有注意到“米”字。（2）对与分数意义的理解欠缺，不能正确区分具体量与分率。（3）整数减分数计算比较薄弱。◆教学建议
１．培养学生认真仔细逐字逐句读题的习惯，特别是一些关键的词、字，提意，然后分析题目的意思，再来解决。
２．进一步加强复习分数的意义，特别是区分具体量的分数与分率这两种的意义。３．让学生在实际操作中，得出结论，加深学生的理解方法。◆资源链接专项练习：
73
吗？
醒自己要注
1、一根钢管原来长
910
米，
（1）后来截去了
2323
，截去了多少米？
（2）后来截去了米，还剩多少米？
2、有一筐72千克的苹果，第一天吃了它的
16
，第二天吃了它的
59
，
（1）还剩下几分之几？（2）还剩几千克？
◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
42
错误率
28.1%
采集者
**
采集学校课时
√
时机
单元总复习√
***
新授课课型
练习课复习课
策略性知识
√
错题来源题目出处相关知识知识属性教学简述
第五单元作业本
不带括号分数加减混合运算陈述性知识
题型
基本综合拓展程序性知识
√
本题是在学习了基本的分数加法和减法后的一道综合性练习题，重在考察学生对比多、比少类型题目的掌握情况，此前学生已有整数有关比多比少类型的知识基础。
◆典型错题
水果批发市场运来两批苹果,第一批运来7/8吨,比第二批多运来1/5吨,一共运来苹果多少吨?
74
错解：7/8-1/5+7/8 ◆原因分析学生方面：
或7/8+7/8-1/5
1．长期受惯性思维定势的影响，认为“多”就加，“少”就减，根本不理解题目中的含意。
2．缺少数量关系的分析，比第二批多运来批有多少吨，必须用第一批的
1/5吨，说明第一批多，第二批少，要求第二
7/8吨减去多的1/5吨，而不是用7/8吨去加多的1/5吨。
3．第二种错误解答属于对算式意义的不理解，问题的数量关系是第一批的吨数加上第二批的吨数，应该将7/8-1/5用括号表示出这是第二批运来的吨数，当然如果用乘法的意义（第三种正确方法）来解释第二种错解是否也是正确的呢这要根据学生的个别访谈才能下结论。教师方面：
1.不注重数学思想方法的积累，此题虽是一道分数加减法应用题，但用到的解题思路却是整数加减法应用题。
2．有时为了提高正确率，有些老师也会采用一些固定的模式来解决问题，比如多就加，少就减的方法。◆教学建议
1．引导分析数量关系：要求一共运来多少吨，必须知道第一批和第二批各运来多少吨，根据题意，已知第一批运来7/8吨，再根据比第二批多运来1/5吨，求出第二批有多少吨。2．提醒学生不受思维定势的影响，看清题意，不要简单地认为“多”就加，“少”就减，应加强对审题的要求。
3．建议学生可以用画示意图或画线段图的方式来帮助理解题意，哪个量多，哪个量少，通过画图一目了然，培养学生画图的习惯。
4．平时加强数学思想方法的教学，本题可用数形结合以及转化的数学思想方法进行教学。◆资源链接
针对性练习：修一公路，第一天修多少千米？
拓展性练习：修一条长9/10千米的公路，第一天修了1/5千米，第二天比第一天多修1/20千米，还剩多少千米没有修？
75
1/5千米，第二天比第一天多修1/20千米，一共修了
◆大样本问卷调查结果：错误率%
五年级下册典型错例
采集样本
62
错误率
37.5%
采集者
***
采集学校课时时
综合
机
单元总复习√
√
课型***
新授课练习课复习课
策略性知识
√
错题来源第五单元
题
基本√
题目出处单元练习
不带括号分数加减混合运算陈述性知识
型
相关知识知识属性教学简述◆典型错题题目：
拓展程序性知识
学生已经学习过了分数的加法和减法，会对异分母分数进行通分后在进行计算。
一块田地有3公顷，其中1/4种山芋，1/3种青菜，其余种黄豆。种黄豆的面积占这块地的几分之几？
115
学生错解：3- - =2
4312答：种黄豆的面积占这块地的◆原因分析
1、学生对与分数的意义的理解并没有真正的落到实处，学生对于“分率”和“分率的对应量”从理解上很难区分。
2、本题中的“3公顷”是干扰信息，学生对于干扰信息的判断实际上反应出学生审题能力的薄弱。◆教学建议
1、教师在教学中应将一些重点和难点做到真正的落实，使学生真正理解分数的意义。2、在处理“分率”及“分率的对应量”的问题上可以提前进行触及和灌输。
76
52。12
3、培养学生提高审题判断所需条件的能力。◆资源链接
说说下列分数各表示什么意义，再回答问题。
211
一节科学课共小时，老师讲课花了这节课的，学生做实验花了小时，其余时间做作
333
业，做作业时间占这节课的几分之几？。◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
采集样本
60
错误率
21.6%
采集者
**
采集学校课时时机
拓展
√
总复习
√
课型***
新授课练习课复习课
√√
错题来源总复习
题型
基本
题目出处平常练习中
单位“1”不同状况下的分数大小比较。陈述性知识
综合单元
相关知识知识属性
程序性知识策略性知识
教学简述
通过本单元的学习，学生对于数的大小比较已经达到了熟练程度。同分母分数比较，异分母分数大小比较，小数分数混合比较，包括具体生活场景中的工作谁快，跑步谁快……但是对于单位一不同的隐含比较有一定的难度。
◆典型错题
11
错题：甲线段的等于乙线段的，（
23
）线段长。
学生错解：第一次出现这样的题目时，学生基本选择甲线段长。但是通过画图理解后，在
复习阶段中还有13位学生选择甲长。◆原因分析
教师方面：第一次出现这类题前，没有在课堂中涉及到单位一不同的比较。学生方面：没有真正去理解分数的意义，对题目意义理解不够。◆教学建议
77
1.教学时，充分利用直观教学，帮助学生建立起“甲线段的让他们通过画图来理解。
11等于乙线段的”的模型，23
2. 同时可以从学生的生活实际中举例说明，并加以区分。具体见下面资源连接。◆资源链接
教师：我们一起来画一画，甲线段的乙线段有这样的三份。
1
，然后甲线段中的一份，也等于乙线段的一份，而2
学生自己画图，从实践中理解甲乙线段的长短。没等学生画好，学生就齐叫：老师，乙线段长。师：在看看，下面一题，哪条铁丝长？把一根铁丝剪成两段，第一段占全长的
22
，第二段长米，（55
）根铁丝长。
有了上面的经验，学生自然能自己动手去实践了，绝大部分的学生也能在这样的学习情境
中正确解答。但是奇怪的是，一届又一届的学生总是失分在这道题中。◆大样本问卷调查结果：错误率
%
五年级下册典型错例
错误率
采集学校
新授课型
练习课
采集样本64
23% 采集者**
诸暨滨江小学
错题来源总复习
题基本型
√
时课时机
题目出处期末综合测试卷综合单元
78
课
总复习√
复习课
相关知识分数与小数的互化拓展√√
知识属性陈述性知识程序性知识策略性知识
教学简述
判断一个分数能否化成有限小数，在新授课时学生在用分子除以分母的时候，很多没有先化简，也是能够除尽的，所以当老师和同学总结讲解的时候，强调在最简分数的前提下判断，在学生听来相当于啰嗦，尤其是到了复习课的时候，这个前提早已忘之脑后。
◆典型错题错题：
7571371518、、、、、、这七个分数中，能化成有限小数的有（811282515147578
）个学 2 ）
生错解：个
、
511
、
728
、
1325
、
715
、
1514
、
1875
这七个分数中，能化成有限小数的有（
◆原因分析
最主要的原因还是在于新课教授时，对于若干个分数能否化成有限小数，在用分子除以分母时，对于能化成有限小数的分数没有化简的情况下也是能除尽的，当学生有了这个印象后，在反过来强调要在简分数的前提下考察分母的素因数是否除了
2和5之外没有别
的素因数就没有多少深刻的印象了，而且学生还会在心里偷偷地认为是多此一举。但当找到了规律，在也不用分子除以分母的方法来判断，而直接用分析分母的素因数的方法判断的时候，“简分数”这个前提就是必须的了，而到了那个时候，学生哪里还会对此有体会和印象呢。◆教学建议
1.让学生重新去温习课本相关知识，想想课本为什么这么安排？2.让学生互出题目练习，让出题的孩子说说才出题意图。3.自己给自己出题，说说注意事项。◆资源链接把下列小数化成分数
79
0.8 0.25 2.54 11.06 8.4 0.375 1.125 找出下列能化成有限小数的分数
17
、
312
、
920
、
1596
、
618
、3
2748
◆大样本问卷调查结果：错误率%
五年级下册典型错例
采集样本
43
错误率
24%
采集者
**
采集学校课时时机
拓展程序性知识
总复习√
√
课型***
新授课练习课复习课
√
错题来源总复习
2010年越城区五下期末测试
不带括号分数加减混合运算陈述性知识
题型
基本
题目出处综合√单元
相关知识知识属性
策略性知识
教学简述
在期末复习阶段，学生已学习了分数的意义与性质，分数的加法与减法的相关知识，
要求学生解答的分数减法应用题。
◆典型错题
题目：一根长9/10米的绳子，第一次剪去它的几分之几？
错解：9/10-1/10-3/5=9/10-1/10-6/10=2/10=1/5 ◆原因分析
学生在解题时，形式化的成份比较多，对于题目中出现的数据分析不够重视。往往直接调用题目的一些数据，而没有作适当的分析。
1、关于加减规则要求道理不明，不同类量错误地直接相加减。
2、分数两种表示功能的理解不够。一种是表示量，一种是表示率的，学生的错解表现为
量率错位，◆教学建议
80
1/10，第二次剪去它的3/5，还剩全长的
1、引导学生仔细分析题目意思，如题目中出现的数据有无单位，题目中问题的指向要有正确的理解。在这里，全长的几分之几是相对于单位“1”来讲的一种率，而不是具体数量。
2、平日里加强加减法规则的**，用多种形式让学生深刻理解同类量（相同单位）相加减的计算规则。如结合小数加减法（小数点对齐的要求），计量单位相加减的一些计算，异分母化同分母分数相加减的原理等。3、重视分数两种表示功能的比较，理解◆资源链接对比练习
李明用一根1M长的铁丝围了一个三角形，量得三角形的一边是三条边长是多少米？
1/4M，另一边是3/8M，第
9/10米与9/10这两个分数的异同处。
五（1）班学生去革命老区参观,共用去10小时。其中路上用去时间占时间共占3/10，剩下的是游览的时间，游览的时间占几分之几？完成练习后，试比较两题的主要区别。◆大样本问卷调查结果：错误率
%
1/5，吃午饭与休息
五年级下册典型错例
采集样本
70
错误率
36%
采集者
**
采集学校课时时机
拓展
√
总复习
√
课型***
新授课练习课复习课
√√
错题来源总复习
题型
基本
题目出处期末试卷综合单元
相关知识知识属性教学简述◆典型错题
长方体的表面积和体积陈述性知识
程序性知识策略性知识
学生学习了长方体的表面积和体积之后，对于一般的计算都能解决，但对于这样的拓展题而言，还有一定的难度，想象不出分割后的模型。
81
题目：一个长方体的底面是正方形，且正好可以平均切成小立方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了的棱长是（学生错解：
（1）一个长方体的底面是正方形，且正好可以平均切成立方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了棱长是（ 9 ）厘米，原来长方体的体积是（
）厘米，原来长方体的体积是（
3个小立方体，切开后三个
144平方厘米。切开后小立方体）立方厘米。
3个小立方体，切开后三个小
144平方厘米。切开后小立方体的
2187）立方厘米。
3个小立方体，切开后三个小
（2）一个长方体的底面是正方形，且正好可以平均切成立方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了棱长是（ 4 ）厘米，原来长方体的体积是（◆原因分析
访谈（1）实录：
师：你这个9是怎么算出来的？生：144÷4÷4=9
师：144÷4=36求出来的是什么？生：是一个面的面积。
师：面积是36，那么它的边长到底应该是多少呢？生：哦！我知道了，我知道了。我变成除以归因：
（1）混淆周长与面积的计算方法。（2）对于分割后的图形变化情况不明。◆教学建议
144平方厘米。切开后小立方体的
576）立方厘米。
4了，应是6。
82
1、将长方形分割后，表面积非但没有减少，反而增加，而增加了哪些面，是些什么形状，需要学生进行想象。
2、教学之初，教师可以用模型或多媒体演示这样的分割情况，目的让学生在直观思维的基础上培养空间想象能力。◆资源链接
在解决这道题之前，应多一些如下的辅垫：
一个长方体木块长50厘米，宽20厘米，高8厘米。按图（1）锯成4块，这四个小长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？如果按图（呢？
2）锯成3块
◆大样本问卷调查结果：错误率%
五年级下册典型错例
错误率
采集者
采集学校课时时机
拓展程序性知识
总复习
√
课型
新授课练习课复习课
√√
***
采集样本46
76.09%
**
错题来源总复习
题型
基本
题目出处期末复习时的课堂练习综合√单元
相关知识知识属性
长方体的体积陈述性知识
策略性知识
在学了长方体的表面积、体积后，学生已经掌握了一般长方体图形的表
教学简述
面积、体积计算，这种题型在平时也有一定的呈现，许多学生还是不能正确理解解题的思路。。
◆典型错题
83
题目：一个长方体长3分米，横截面是正方形，如果把它的长增加
96平方厘米。原来这个长方体的体积是多少立方厘米？
8厘米，表面积就增加
3
学生错解：1．96÷5=19.5cm,19.5÷2=9.75cm , 3×3×9.75=87.75 cm
2． 96÷8=12 cm,30×12=360 cm
3
3． 96÷8÷3=4dm, 30×4×4=480 cm
3
◆原因分析
1．理解题意有困难，不能理解长方体的长增加后，表面积增加的是哪一部分。2．学生抽象思维、空间想象力较差，不能把题目画成示意图来理解。
3．教师讲解方式缺乏多样化，只是照本宣科的讲解一遍，以至绝大多数学生都听不懂。◆教学建议
1.学生做底面积是正方形、长相差
8厘米的两个正方体模型，
在正方体上指一指，
哪些面是一样大的，哪些面变大了，从而理解长方体的长增加（缩短）后，表面积增加（减少）的是哪一部分。
2.适当进行多情景、多角度的这类问题的练习。◆资源链接
题目：一个长方体长3分米，横截面是正方形，如果把它的长增加
增加96平方厘米。原来这个长方体的体积是多少立方厘米？出示长3分米、截面是正方形的长方体，多媒体演示长方体的长增加到另一个长方体。
师：长方体的长增加后，哪些面的大小不变，哪些面的大小变了？
生：左右面不变，上下面与前后面的面积变大了。（根据学生的回答，在两个长方体上表面积相同的面涂上相同的颜色）
师：所以两个长方体的表面积相差的是哪部分？生：8厘米长的上下面和前后面
4个面的面积
8厘米，表面积就
8厘米，然后得
84
师：这4个面有什么关系？生：因为横截面是正方形，所以这平方厘米；因为每个面的长是
4个面面积相等，所以每个面的面积是
96÷4=24
8厘米，所以宽是24÷8=3厘米。
师：长方形的宽也就是长方体的哪几条棱？接下来自己能完成了吗？把题目做完。练习：
1. 一根长方体木材，长1.2米，如果锯短2厘米，它的体积就减少根木材原来的体积是多少？
2.有一个长方体的长是9厘米，如果长减少2厘米，则变成一个正方体。原来长方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？◆大样本问卷调查结果：错误率
%
40立方厘米。这
85
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