一维椭圆方程边值问题的高精度差分方法

２００７年６月　Ｊｕｎｅ，２００７　应用数学与计算数学学报　ＣＯＭＭ．ＯＮ　ＡＰＰＬ．ＭＡＴＨ．ＡＮＤ　Ｃ０ＭＰＵＴ　第２１卷第１期　Ｖｏ１．２１　Ｎｏ．１　一维椭圆方程边值问题的高精度差分方法　崔翔鹏　摘要本文研究一维椭圆方程边值问题的差分方法，利用Ｌａｇｒａｎｇｅ插值理论与积分因　子技巧，发展了一套有效的高精度算法，对非等距节点和等距节点，其精度分别可达Ｏ（ｈ　）　和Ｏ（ｈ　）．数值结果显示了该方法的优越性　关键词积分因子，一维椭圆方程边值问题，高精度差分格式　Ｔｈｅ　Ｈｉｇｈ　Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　Ｄｉ　ｒｅｎｃｅ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｓｏｌｏｖｉｎｇ　Ｏｎｅ－Ｄｉｍｅｎｔｉｏｎａｌ　Ｅｌｌｉｐｔｉｃ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　Ｃｕｉ　Ｘｉａｎｇｐｅｎｇ　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ａ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｓｏｌｏｖｉｎｇ　ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｔｉｏｎａｌ　ｅｌｌｉｐｔｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｗｅ　ｕｓｅ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｌａｇｒａｎｇｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆａｔｏｒ　ｔｏ　ｄｅｖｅｌｏｐ　ａ　ｈｉｇｈ　ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．Ａｓ　ｆｏｒ　ｎｏｄｅ　ｗｉｔｈ　ｕｎｅｑｕａｌ　ａｎｄ　ｅｑｕａｌ　ｓｔｅｐｓ，ｉｔｓ　ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　ｃａｎ　ｒｅａｃｈ　Ｏ（ｈ　）ａｎｄ　Ｏ（ｈ　）ｒｅｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｎｕｍｅｒｉａｌ　ｒｅｓｕｌｔ　ｓｈｏｗｓ　ｉｔｓ　ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆａｃｔｏｒ，ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｔｉｏｎａｌ　ｅｌｌｉｐｔｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉ—　ｔｉｏｎｓ，ｈｉｇｈ　ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　１引言　众所周知，科学与工程中的许多现象都可以用非线性反应扩散方程的来描述，探　索有效的数值求解方法一直是科学计算的重要问题（见［２，５—７］），一个有效的数值方法　不仅要具有较高的精度和数值稳定性，而且要能保持原始问题的一些性质，这样数值　结果才能具有更好的模拟实际问题．目前，虽然国内外已有许多求解非线性反应扩散　方程的数值方法，如常用的标准有限差分方法等（见【８，１０］），但它们的精度大多仅局限　于ｏ（ｈ　），其中九为空间方向上的步长，这个缺点大大限制了它们在实际中的应用．本　文巧妙地利用了积分因子的思想，结合Ｌａｇｒａｎｇｅ插值的高精度性，给出了插值格式，　并证明了格式的收敛性ｏ（ｈ。）．数值结果同时也表明了算法的稳定性，该方法巧妙，计　算简单．从而为非线性方程高精度解法提供了有效的途径．为了探索有效的高精度算　法，本文考虑了空间方向的高精度离散方法，为解决带有时间方向的高精度离散方法　（见［１］）奠定了基础．　本文２００５年１Ｏ月２１日收到．　１．上海交通大学数学系，上海　Ｓｈａｎｇｈａｉ　２００２４０，Ｃｈｉｎａ．　维普资讯 http://www.cqvip.com

５６　应用数学与计算数学学报　２　Ｉ司题的提出与格式的建立　２．１问题的提出　本文考虑下列边值问题：　）　＿６（蜢ｄＵ　【　（０）＝　，　（１）＝　・　｝０＜　，　（２．１）　其中ａ（ｘ）∈Ｃ　【０，１］，６（　），ｆ（ｘ）∈ｃ［ｏ，１】．设Ｍ（ｘ）是（２．１）左边的积分因子，则　一　（（　）　ｄｘ）＝脚　）　其中Ｍ（ｘ）＝ｃｅｆＰ（。）血，其中Ｃ是任意常数，这里我们通常取Ｃ为大于０的常数，不妨　取为１．事实上，因为要使得　）（　）　ｄｘ２＋６㈤　ｄＵ）＝一　（　咖㈤　ｄ２Ｕ＝　一　）ｄ　Ｕ）　（　龄，－ｆ得　）６（　（脚　＝　）＋脚）　从而积分因子Ｍ（ｘ）可从下列方程解得：　ｄＭ（ｘ）ｎ（卅脚）［　＿６（　）］＝。，　若ｎ（　）∈Ｃ　【０，１】，则上式是一阶线性微分方程，在ｎ（　）≠０的区间上可以写成　一ｄ　：Ｐ（　）ＭＷ　ｘ　＝　ｌ‘　　ｌ，，…　其中Ｐ（　）：　．所以上式的通解为Ｍ（　）＝ｃｅｆ　Ｐ（ｚ）出，其中ｃ是任意常数，这　里我们通常取Ｃ为大于０的常数，不妨取为１．　２．２格式的推导　记Ｍ（ｘ）ａ（ｘ）＝ｐ（　），Ｍ（ｘ）ｆ（ｘ）：９（　），０＜Ｘ＜１．所以式（２．１）可以化为　卜　㈤　）【　刊　…，　（０）＝　，　（　）＝　・　（２．２）　将（２．２）在区间【Ｘｉ，Ｘ】上积分，得：　ｄｕ（　（　（　＝　（州　维普资讯 http://www.cqvip.com

１期　崔翔鹏：一维椭圆方程边值问题的高精度差分方法　５７　记。ｔ＝（　ｑ（ｘ）ｄｘ）＿。．消去（２．４）中含　一ｄ　ｕ（ｘＡ项，得：　、。，ａｉＵ（ｘｉ～１）＋（０ｔ＋ａｉ＋１）Ｕ（ｘｄ—ａｉ＋ｌＵ（Ｘｉ＋１）＝　（　ｉ），　（２．５）　其中　，＝鬻我们有效的高精度差分格式基于对　一　．　．　的展开．我们将用到下列引理，　函数９（　）∈ｑｎ，　】，　（　）在［。，６］保号，则对任意的区间［ｃｄ】ｃ［与引　：。，６］以及　ｃ，ｄ有关的任何　∈Ｉａ，６Ｊ，存在ｒｌ∈Ｉａ，６１，使得　Ｊ　Ｃ　／＿９（　）　（　）ｄ　＝９（叩）／ａ（ｘ）ｄｘ．　Ｊ　，（２．６）证明不妨设　（　）≥０．记ｇ（　）在［。，６】上的最小值和最大值分别为ｍ和　则　ｍｏ（ｘ）≤夕（ｆ）　（　）≤　同时取积分，得：　ｍ　（　）ｄ　≤ｄ　ｇ（∈）　（　）ｄ　≤　（　）ｄ　＞０则　，（　），　（２７）　．（　）ｄ　．　（２．８）　若　（　）ｄ　：０，结论显然成立．若　ｍ≤笔　≤　盯（　）ｄ　门　，　９　（２．１０）　由ｇ（ｘ）的连续性可知：存在叩∈ａ，６］使得　这样。结　成寺．　维普资讯 http://www.cqvip.com

应用数学与计算数学学报　为了方便，记　（　）＝（　—Ｘｉ一　）（　—　ｔ）（　—　件　），　（　）＝　ｗ（ｔ）ｄｔ　引理２．２．设ｇ∈Ｃ。［０，１］，ｑ（ｘ）在［０，１］上恒正，∈∈　一１，　件１］使得　证明只证第一个恒等式，第二个恒等式可类似证明．因为ｔ∈　，　］ｃ　，Ｘｉ＋１］，故　（￡）≤０，ｇ（　）　（　）≤０．连续运用引理２．１两次，得：　Ｊｚ　厂　ｇ（　）厂　９（３　（∈ｔ）　（　）ｄ　：厂　ｇ（　）９（３　（叩ｔ）厂　（　）ｄ　Ｊｚ　Ｊｚ｛　Ｊｚ　＝９（３　（　）　Ｘ　ｉ＋ｌ　ｇ（　）　（　）ｄ　．　（２．１２）　记ｈｉ＝Ｘｉ—Ｘｉ一１为区间［Ｘｉ一１，Ｘｉ］的长度，　（盟　蒜　仨，ｇ（　）　（　一　｛）（　一　Ⅲ）ｄ　、　暖一　ｑ（ｘ）ｄｘ　》　．一一一　＿．　ｈｉｈｉ＋ｌ＼、　Ｅ件　ｑ（ｘ）ｄｘ　丘　，ｇ（　）　（　一Ｘｉ一１）（　一　１）ｄ　、　ｑ（ｘ）ｄｘ　；　一　！二　二　兰　（盟　蒜　。ｇ（　）　（　一Ｘｉ一　）（　一　）出　、　一　ｑ（ｘ）ｄｘ　１　Ｒｔ＝丢（９ｃ３　ｃ　）　』　一９ｃ３，ｃ　。）　）　（２．１３）　引理２．３假设引理２．２的条件成立．则我们有下列展开式　Ｅ　（　ｔ）＝ｂｉｇ（ｘ￣一１）＋ｃ￣ｇ（ｘｉ）＋ｄｉｇ（ｘｉ＋１）＋Ｒｉ．　证明由多项式的Ｌａｇｒａｎｇｅ插值理论可知　９（　）＝　里　笔　９（　ｔ一　）一　兰　二　生　９（　）　＋　；　９（　＋　）＋刍９　ｃ３，（矗）　（　），矗∈Ｘｉ－１￣Ｘｉ＋１）　维普资讯 http://www.cqvip.com

崔翔鹏：一维椭圆方程边值问题的高精度差分方法　５９　这样，由引理２．２推得：　ｑ（ｘ）￣ｉ（ｘ）ｄｘ＝　ｑ（　）　（　—　ｔ）（ｔ－Ｘｉ＋１）ｄｔｄｘ．ｇ（　ｔ一　）　一丽１…ｆｘ…ｉ＋，ｑ㈤　＿１）（ｔ－Ｘｉ＋１）ｄｔｄｘ．ｇ　）　＋　ｑ（　）￣ｉ（ｔ－ｘｉ－１）（　—　ｔ）ｄｔｄｘ．ｇ（　＋　）　，ｚｉ＋１　／　ｑ（ｘ）￣ｉ（ｘ）ｄｘ，　ＪＺ｛　Ｉ　ｑ（ｘ）￣ｉ（ｘ）ｄｘ＝　ｈｉ（ｈｉ＋ｈｉ＋１）　二　ｑｃ　ｃ　—　ｃｔ－ｘｉ＋ｌ　ｄ　ｄ　，　ｇ（ｘｉ一１）　ｈｉｈｉ＋１　ｑ（　）　（　—　一　）（ｔ－－Ｘｉ＋１）ｄｔｄｘ．ｇ（　ｔ）　＋　ｈｉ＋ｌ（ｈｉ＋ｈｉ＋１）　ｑ（　）　（　—　ｔ一　）（　—　）ｄｔｄｘ．ｇ（　ｔ＋　）　＋丢９（３）（　５　））　ｉ＋１　ｑ（　）　ｔ（　）ｄ　．　于是　Ｅｒ　（　）　＝ｂｉｇ（ｘｉ一１）＋￣ｉｇ（ｘｉ）＋ｄｉｇ（ｘｉ＋１）＋Ｒｉ　从而结论成立．　记　ＬｈＵｉ　－－ａｉ２？ｉ一１＋（ａｉ＋ａｉ＋１）Ｕｉ—ａｉ＋１７２ｉ＋ｌ，　ｇｉ＝ｂｉｇ（ｘｉ一１）＋ｃｉｇ（ｘｉ）＋ｄｉｇ（ｘｉ＋１）　便得到下列差分格式：　Ｌｈ？２ｉ　＝Ｉｈｇｉ，　＝ｌ１　２，…＇Ⅳ一ｌｊ　（２．１４）　ｕ。：，ｕⅣ：．　记Ｕ＝（？２１，？２２，…，ＵＮ一１）Ｔ，Ｇ＝（ｇ（ｘ１），９　２），…，ｇ（ＸＮ一１））Ｔ，　０１＋ａ２　－ａ２　－ａ２　ａ２＋０３　－ａ３　Ａ＝　—０Ⅳ一２　ａＮ一２＋ａＮ一１　—０Ⅳ一１　—０Ⅳ一１　０Ⅳ一１＋ａＮ　维普资讯 http://www.cqvip.com

６０　应用数学与计算数学学报　Ｂ＝　则　ＡＵ＝ＢＧ＋（ｂｌｇ（ｘｏ），０，…，０，ｄＮ一１９（　Ⅳ））Ｔ＋（０１口，０，…，０，０Ⅳ　）Ｔ　显然　是不可约对角占优，故　可逆．这样（２．８）存在唯一解．　３格式的收敛性　引理３．１设ｑ∈Ｃ　［ｏ，１】，则　‘　口（　）妒ｔ（　ｄｘ－－－　１＾ｔ＾４＋　口（　ｔ）一　１＾４＋　（３ｈｉｈｉ＋ｌｑ＇（　ｔ）＋２（ｈｉ＋ｌ－ｈｉ）口（　ｔ））　＋　（口　）（　’（　）×ｈⅢ５，　口（　）妒　（　）ｄ　＝　＾　＾　＋　口（　ｔ）＋　１＾￣（３ｈｉｈｉ＋ｌｑ＇（　ｔ）＋２（＾ｔ＋　一＾ｔ）口（　ｔ））　＋吉（口　）（　’（　×＾　，　证明因为　，Ｚ　妒｛（　）＝／ｗ（ｔ）ｄｔ，妒：（　）＝　（　），　ＪＺ‘　妒：　（　）＝（　—Ｘｉ）（　—Ｘｉ＋１）＋ｘ—Ｘｉ－１）（　—Ｘｉ＋１）＋ｘ—Ｘｉ－１）（　—　｛）　妒５。　（　）＝２［（　—Ｘｉ－１）＋（　—　｛）＋（　—Ｘｉ＋１）］，　故　妒ｔ（　ｔ）＝ｏ，妒　（　）＝ｏ，妒：　（　１）＝一ｈｉｈｉ＋１，妒　。’（　ｉ）＝一２（＾件１一ｈｉ）　由此推得：　（ｑ￣ｉ）（ｘｉ）＝ｑ（ｘｉ）￣（ｘｉ）＝０　（口妒｛）　（　｛）＝ｑ　ｘ　）妒（　｛）＋ｑ（ｘ｛）妒：（　｛）＝０　（口妒｛）“（　｛）＝ｑ“ｘ｛）妒（　｛）＋２ｑ　（　｛）妒：（　ｔ）＋口（　）妒：　（　）＝一ｈｉｈｔ＋１ｑ（ｘ｛）　（口妒｛）（。’（　｛）＝口（。’（　｛）妒（　｛）＋３ｑ“（　｛）妒：（　｛）＋３ｑ　（　ｔ）妒；　ｘ｛）＋口（　｛）妒　。’（　｛）　＝一３ｈ｛ｈ｛＋１ｑ　ｘ｛）一２（ｈＨ　１一＾｛）口（　｛）．　维普资讯 http://www.cqvip.com

１期　崔翔鹏：一维椭圆方程边值问题的高精度差分方法　６１　这样，由Ｔａｙｌｏｒ展开可知：　（　）（　）＝（　）（　ｔ）＋（ｑ　（　ｔ）×Ｘ－－Ｘｉ）＋　１（　）”（　ｉ）×Ｘ－Ｘｉ）　×＝一　刍（　）（３　１）×Ｘ－－Ｘｉ）。＋　（ｑ　（４）（已）×Ｘ－Ｘｉ）　ｍⅢ　Ｘ－Ｘｉ）　一刍（３ｍⅢｇ　ｔ）＋２（ｈⅢ一　×（ＸＸｉ）　．　－×Ｘ－－Ｘｉ）。＋　１（　（　注意　一ｘｉ）　≥０，由引理２．１便得结论．　定理３．１设ｑ（ｘ）∈　［０，１】，ｇ（ｘ）∈　。［０，１】，ｐ（ｘ）∈ｃ［ｏ，１】，且ｐ（ｘ）≥ｐｏ＞０，则　４　Ｉ　Ｒｔ　Ｉ≤　ｌ　ｌｇ‘。　ＩＩｏ。Ｉ　Ｉｐ　ＩＩｏ。∑ｌｌ　ｑ‘　ＩＩｏ。（　ｈ件１（＾　＋＾２＋１＋＾　＋＾３＋１）　＋（ｈ　＋＾３＋１）Ｉ＾ｔ＋１一＾ｔ　Ｉ＋（＾　＋＾４＋１））．　特别，若ｈ＝　ｍ　ｈｉ，则：　１　０＝１…．．』Ｖ一１　４　ｌ　ｌＲ　证明有：　ｔ翳一１　Ｉ　Ｒｉ　Ｉ≤　ｇ　。　：　Ｐ　ｑ　＾　＋ｈ５）・　＝６，　（　）Ｊ　）Ｉ　≤２（　—ＸｉＩ一１　Ｉ＋Ｉ　—Ｘｉ　Ｉ＋Ｉ　—Ｘｉ＋１　Ｉ），　ｆ　（　）ｆ　≤ｆ　—Ｘｉ『Ｉ　—Ｔｉ＋１　ｆ＋Ｉ　一２：ｉ一１『　—ＸｉＩ＋１　＋Ｉ　—Ｘｉ一１　ｌ　—Ｘｉｌ　ｌ，　：（　）Ｉ≤Ｉ　—　一１　ｌｌ　—　ｔ　ｌ　—　ｔｌ＋ｌ　ｌ，　Ｉ≤Ｉ　ｌ　因为Ｉ　一Ｘｉ一１　Ｉ≤１，Ｉ　—Ｘｉ　Ｉ≤１，Ｉ　ｚ—Ｘｉ＋ｌ　ｌ≤１，故：　ｌ　５ｌ　ＩＩ。。≤６，ｌ　。ｌ　ＩＩ。。≤６，ｌ　ＩｌＩ。。≤２，ｌｌ　：ＩＩ。。≤１，ｌ　ＩｌＩ。。≤１．　这样，　４　４　ｌＩ（ｑ　Ｉｌｏｏ＜∑　ｌ　ｌｑ（４－ｋ　≤２４∑ｌ　ｌｑ（ｋ　：０　ｋ＝０　由引理２．４得：　Ｉ≤　２４　４　）ｌ　豫　‰＋＾ｌ４＋　Ｉ　ｈｉ＋ｌ－ｈｉ　ｑ（　≤可２４　４　）ＩＩ。。，　　（＾　ｈｉ＋ｌ＋ｈ　ｈｉ＋ｌ＋ｈ　Ｉ　ｈｉ＋ｌ－ｈｉ　Ｉ螂维普资讯 http://www.cqvip.com

６２　应用数学与计算数学学报　另一方面，由条件可知　１　≤口（　）≤　１故　．Ｒ　≤　１９ｏ≤　１　≤　≤　．　∞　ＩＩ　ｎ　３　≤　≤　≤　１—５　注　１—５　１—５　于是估得：　∞　∞　∞　～　＿旦　鼠　，　∞　∞　１—６　１—６　∑嘲　∑　竺●　∞　∞　＋（＾　＋＾３＋１）ｆ　ｈｉ＋１一ｈｉ堡¨　仨汕　牡　　Ｉ＋（　＾　＋ｈ４１＋　））．　所以，当ｈ　ｉｎａｘｈ　时，可以由截断误差得到格式（２．口『一１４）的误差估计　２　＋　６　…Ⅳ一　＋　、、●，一　　己、　１　口　＋２＾　＋２＾　１　砂　●　，（　ｄ　、、●，　结论成立，　。面考虑格式的一些特殊情况：　（１）常系数变距（ｑ（ｘ）＝１）．　１　毗　’　面而　（＾　＋２ｈ￣ｈ州一　３＋　），　ｃ　。１２ｈ－－－－ｉ－ｈｉ－－￣（＋＾冲ｌ＋＾　）（ｈ件２　ｌ＋３ｈ件ｌ　＋＾　），　ｄｉ　面　丽（一＾　＋２ｈ　ｈｉ２＋１＋ｈｉ３＋１），　‘。　（　５　）（一２ｈ冲ｌ一２５　ｉ）　１＋ｇ（３’（　。’）（２＾｛＋２５＾冲１）＾　］　（２）常系数等距：　１。　６　西ｈｃ　百５ｈｈ，，，　＝　．　　ｐ　∞　∑　ｇ∞　＋　维普资讯 http://www.cqvip.com

１期　崔翔鹏：一维椭圆方程边值问题的高精度差分方法　６３　ｎ＝因为　ｈ　（　（　）一　（　）＝ｈ４ｇ（４　（　）（　一　）．　Ｉ　所以　一　Ｉ＜１　一　Ｉ≤２ｈ，　Ｉ昆Ｉ≤　ＩＩ夕　（３）变系数等距．　九　・　｛（　）＝／【（ｔ一　。一　（ｘｉ）ｈ２　ｘｉｔ一　）］ｄｔ　＝　ＪＺ　一　（　）＝　【（ｔ一３一（ｔ一　＝　Ｘ－－Ｘｉ）　一１一　一。。　｛）。．　２ｈ。ｘ－由引理２．１可知：　ｇ（　）　（　）ｄ　＝　九　（ｇ（　）一萼ｇ（已）），　，　。∈（Ｘｉ￣Ｘｉ＋１）　二　ｇ（　）　（　）ｄ　＝　－＿九　（ｇ（　）一萼ｇ（　）），　，　∈（Ｘｉ－１￣Ｘｉ）．　由中值定理：　／，　ｑｚｉ　（ｘ）ｄｘ＝ｇ（　５）九，　／，　ｑ　件１　（ｘ）ｄｘ＝ｇ（　６）九，　５，　６∈（　｛一１，　｛＋１）．　ＪＺｉ一１　ＪＺｔ　于是　Ｒ　＝石１。　。　＝　ｇ（　）　（　）ｄ　）　＋　（夕（３）（　））。　ｇ（　）　（　）ｄｘ－ｇ（３）（　。））。－１￣ｘｘ．１　ｈ４　Ｌ≮。Ｊ＝　（　（拍）一１　。））一　（　－ｌＯｑ（　［夕（３）（　））ｇ（　５）ｇ（　）一夕（３）（　。））ｇ（　６）ｇ（　）一１。（夕（３）（　）ｇ（　５）ｇ（已）　一夕（３　（　。　）ｇ（　６）ｇ（　４））］．　因为　夕（。　（　）ｇ（　５）ｇ（　１）一夕（。　（　。　）ｇ（　６）ｇ（　３）＝ｏ（九），　夕（。　（　）ｇ（　５）ｇ（已）一夕（。　（　５。　）ｇ（　６）ｇ（　４）＝ｏ（九）．　于是昆＝Ｏ（ｈ　）．　４数值算例及误差分析　下面给出方程的几种情况，来实际比较一下本方法与一般标准差分的差异：　我们分别给出了区间长度不断缩小时的最大模误差，误差　Ｅ（１Ｖ）＝ｍ　ｘ　Ｉｕ（ｘｉ）一ｕ＾（　｛）Ｉ　维普资讯 http://www.cqvip.com

应用数学与计算数学学报　其中　为真解，　＾为数值解，Ⅳ是区间等分数．　例１　ａ（ｘ）＝１，ｂ（ｘ）＝０的情形．　此时：　Ｍ（ｘ）＝１，ｆ（ｘ）＝７ｒ。ｓｉｎ（Ｔｒｚ），ｈ＝１／Ｕ．数值结果见表４．１．从表４．１中可以　看出，ｂ（ｘ）＝０，不需要用积分因子的技巧．从计算结果可以看出，在Ｎ＝８时，格　式（２．１４）达到了标准差分格式在Ｎ＝１００时的精度，这样使得我们不仅可以获得高精　度，同时又可以节省工作量．　例２　ａ（ｘ）＝１，ｂ（ｘ）＝１的情形．　此时：　Ｍ（ｘ）＝ｅ　，ｆ（ｘ）＝７ｒ。ｓｉｎ（￣－ｚ）一７ｒｃｏｓ（￣ｘ），ｈ＝１／Ｕ．数值结果见表４．２．　例３　ａ（ｘ）＝　０＋１，ｂ（ｘ）＝２ｚ的情形．　此时：　Ｍ（ｘ）＝１，ｆ（ｘ）＝７ｒ。（１＋　。）ｓｉｎ（￣－ｚ）一２７ｒ　ｃｏｓ（￣ｘ），ｈ＝１／Ｕ．数值结果见表　４．３．　例４　ａ（ｘ）＝１，ｂ（ｘ）＝　的情形．　此时：Ｍ（ｘ）＝ｅｉ１　，ｆ（ｘ）＝７ｒ。ｓｉｎ（￣－ｚ）一７ｒ　ＣＯＳ（￣Ｘ），ｈ＝１／Ｕ．数值结果见表４．４．　我们看到例２到例４是ｂ（ｘ）≠０的情况，这在本质上给我们带来了困难．所以必　须用积分因子的技巧，从表４．２到４．４中可以看到对于不同的函数，用到不同的积分　因子，数值结果表明利用积分因子技巧能达到没用利用积分因子技巧如例１一样的精　度．同时数值解结果也表明了格式（２．１４）的稳定性．　表４．１　ａ（ｘ）＝１，ｂ（ｘ）＝０，ｆ（ｘ）＝丌。ｓｉｎ（￣ｒｚ）　ｈ＝　｝Ｎ．　表４．２　ａ（ｘ）＝１，ｂ（ｘ）＝１，ｆ（ｘ）＝丌。ｓｉｎ（￣ｒｚ）　２丌ｃ０ｓ（丌ｚ），ｈ＝１／Ⅳ．　一格式（２．１４）　标准差分格式　Ｎ＝４　Ｎ＝８　Ｎ＝１０　Ｎ＝１６　Ｎ＝３２　Ｎ＝６４　Ｎ＝１００　Ｎ＝１２８　１．６２５０９８Ｅ．３　９．９６９９３２Ｂ５　４．０７４６６３Ｅ．５　６．２０２５９１Ｅ－６　３．８７２１　７０Ｅ．７　２．４１９４１　１Ｅ．８　４．０５８８６９Ｂ９　１．５１２０１７Ｅ．９　５．３０２９２９Ｅ．２　１．２９５０７５Ｅ．２　８．２６５４１７　３　３．２１８９６４Ｅ．３　８．０３５７７７Ｅ－４　２．００８２１８Ｅ．４　８．２２５０７６　５　５．０２００９２Ｅ－５　Ｎ＝４　Ｎ＝８　Ｎ＝１０　Ｎ＝１６　Ｎ＝３２　Ｎ＝６４　格式（２．１４）　标准差分格式　１．３１４８５４Ｅ．３　８．４８３８８５Ｅ．５　３．４９１６０９Ｅ．５　５．２９５３８７Ｅ．６　３．３２３８３５Ｅ．７　２．０７７０３０Ｅ－８　５．３９１６８５　２　１．３２１　１５７Ｅ．２　８．４３５１Ｅ．３　３．２９２３７５Ｅ．３　８．２５４０２５Ｅ．４　２．０６２８４９　４　８．４４８５２６Ｅ．５　５．１５６７１２Ｅ．５　Ｎ＝１００　３．４８４５７６　９　Ｎ＝１２８　１．２９８０９２Ｅ－９　维普资讯 http://www.cqvip.com

１期　崔翔鹏：一维椭圆方程边值问题的高精度差分方法　６５　表４．３　ａ（ｘ）＝　。＋１，ｂ（ｘ）＝２ｘ，／（ｘ）＝７ｒ　．　表４．４　ａ（ｘ）＝１，ｂ（ｘ）＝　，／（ｘ）＝７ｒ　ｓｉｎ（１ｒｘ）　（１＋　）ｓｉｎ（１ｒｘ）一２１ｒｘ　ｃｏｓ（￣ｘ）Ｉ　ｈ＝１／Ｎ　格式（２．１４）　Ｎ＝４　Ｎ＝８　Ｎ＝１０　Ｎ＝１６　Ｎ＝３２　Ｎ＝６４　Ｎ＝１００　６．６４５９６９Ｅ－４　４．１７３０８８Ｅ．５　１．６５２３６５Ｅ．５　２．６１１６０５Ｅ．６　１．６３２８０３Ｅ．７　１．０２０５８８Ｅ．８　１．７１２３０２Ｅ．９　标准差分格式　４．２８４９９１Ｅ．２　１．０６３２７２Ｅ．２　６．７９８４７５Ｅ．３　２．６７５２１９Ｅ－３　６．６８８０９３Ｅ．４　１．６７３２６３Ｅ－４　６．８５２８４７Ｅ．５　Ｎ：４　格式（２．１４）　２．４６０１９１Ｅ．４　标准差分格式　５．４９８８６２Ｅ．２　Ｎ＝：８　Ｎ：１０　１．６８２２８５Ｅ．５　６．８７９７０１Ｅ．６　１．３５２７７６Ｅ．２　８．６４０８６９Ｅ．３　Ｎ＝１６　Ｎ＝３２　Ｎ＝６４　Ｎ＝１００　Ｎ：１２８　１．０５４９３７Ｅ．６　３．３６８ｆ８７Ｅ．３　６．５９８８０７Ｅ．８　４．１２５０８９Ｅ．９　６．９２００８９Ｅ．１０　２．５７８０７２Ｅ．１０　８．４１６９７５Ｅ．４　２．１０５５２２Ｅ．４　８．６２３７２３Ｅ．５　５．２６３４６５Ｅ－５　Ｎ＝１２８　６．３７９０７１Ｅ－１０　４．１８３００１Ｅ－５　参考文献　Ｃｕｉ　Ｘｉａｎｇｐｅｎｇ．Ａ　Ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ－Ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ　Ｍｏｎｏｔｏｎｅ　Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｓｏｌｖｉｎｇ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　［１］　Ｒｅａｃｔｉｏｎ－Ｄｉｆｕｓｉｏｎ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．２００５．　Ｙａｎｇ　Ｙｕｎ，Ｗａｎｇ　Ｙｕａｎｍｉｎｇ．　［２］　Ｄｉｆｕｓｉｏｎ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．２００２．　Ａ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　Ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　Ｓｏｌｖｉｎｇ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｒｅａｃｔｉｏｎ—　【３］Ｇｏｅｌ　Ｎ．Ｓ．Ｉ　Ｍａｉｔｒａ　ｓ．Ｃ．Ｉ　Ｍｏｎｔｒｅｌ　Ｅ．Ｗ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｍｏｄｅｌｓ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ　Ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｓ【Ｍ】．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：ＡｃａｄｅｍｉｃＩ　１９７１．　［４］Ｇｕｏ　Ｂｅｎｙｕ．Ｓｐｅｃｔｒａｌ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｎｄ　Ｔｈｅｉｒ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ：Ｗｏｒｌｄ　Ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ　ＰｒｅｓｓＩ　１９９８．　［５］　Ｇｕｏ　Ｂｅｎｙｕ，Ｍｉｔｃｈｅｌｌ　Ａ．Ｒ．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ａ　ｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｉｎ　ｒｅａｃｔｉｏｎ—ｄｉｆｕｓｉｏｎ［Ｊ］　Ｎｕｍｅｒ．Ｍａｔｈ．，１９８６．　［６］　Ｐａｏ　Ｃ．Ｖ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｏｆ　ａ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｒｅａｃｔｉｏｎ－ｄｉｆｕｓｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍ【Ｊ］　Ｎｕｍｅｒ．Ｍｅｔｈｏｄｓ　Ｐａｒｔｉａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ．１９９３．　［７］Ｗａｎｇ　Ｙｕａｎｍｉｎｇ．Ｐｅｔｒｏｖ—Ｇａｌｅｒｋｉｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｒｅａｃｔｉｏｎ－ｄｉｆｕｓｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］　Ｉｎｔｅｒｎ．Ｊ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｍａｔｈ，１９９８．　［８］Ｇｕｏ　Ｂｅｎｙｕ．Ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆｒ　Ｐａｒｔｉａｌ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｐｒｅｓｓ　１９９８．　　Ｇｕｏ　Ｂｅｎｙｕ．［９　９］Ｗａｎｇ　ＹｕａｎｍｉｎｇＩＯｎ　ｎｕｍｅｒｏｖ　ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｔｗｏ—ｐｏｉｎｔｓ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈ—　ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ】．　Ｃｏｍｐ．Ｍａｔｈ．，１９９８．　Ｔｅｍａｍ　Ｒ．Ｉｎｆｉｎｉｔｅ　Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｄｙｎａｍｉｃａｌ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｉｎ　Ｍｅｃｈａｎ［１０］　ｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－ＶｅｒｌａｇＩ　１９８８．