北京师范大学XX学校2020—2021学年初三上期中数学试卷及答案

卷及答案

2021～2021学年第一学期期中考试

初三数学试卷

试卷说明:本次考试满分120分,考试时刻120分钟。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1.已知3x=5y (y  0), 那么下列比例式中正确的是 ( ).

A.

2021．11

xyxyx3x3

 B.  C.  D. 53355y y52．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数为( ). A．20° B．40° C．60° D．70°

第2题图 第4题图 第5题图

2

3．将二次函数yx的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象函数解析式是( )

A.y(x1)2 B.y(x1)2 C.y(x1)2 D.y(x1)2

4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=6，BD=2，AE=9，则EC的长是( ). A．8 B．6 C．4 D．3

5. 如图，点A, B, C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为( ).

A.70° B.90° C.110° D.120°

6.如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为( ).

A.2 B.4 C.6 D.8

2222 第6题图 第7题图

2

7.二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( ). ．．． A．abc＜0 B．a+b＋c＜0 C．2a-b＞0 D．4a－b＋c＜0 8.下列图形中，绕某个点旋转180能与自身重合的有( )

①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角.

A．5个 B．2个 C．3个 D．4个

9. 已知二次函数y=2(x+1)(x－a)，其中a>0，若当x≤2时，y随x增大而减小，当x≥2时y随x增大而增大，则a的值是（ ）

A. 3 B. 5 C. 7 D. 不确定

10．如图，正方形ABCD中，AB=8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时动身，以1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时刻为t(s)，△OEF的面积

22

S(cm)，则S(cm)与t(s)的函数关系可用图象表示为( ).

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．如图，∠DAB＝∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件能够是 （注：只需写出一个正确答案即可）

第11题图 第12题图

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°， 则∠DCE的度数是 .

13．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 ．（写出序号）

14．如图,在△ABC中,∠A=90°,D为BC上一点,过D作ED⊥BC交AC于E,若AB=6,AC=8，ED=3，则CD的长为__________．

15．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，将扇形OAB绕点A逆时针旋转n°（0＜n＜180）后得到扇形O′AB′ ，当点O在弧AB'上时，n为 ，图中阴影部分的面积为 ．

16．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q动身，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，通过t秒，以点P为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切，请写出t可取的所有值 ．

三、解答题（本题共72分,第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17、抛物线yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x y … … －2 0 －1 4 0 6 1 6 2 4 … … 2从上表可知，

①抛物线与x轴的交点为__________________；②抛物线的对称轴是____________； ③函数yaxbxc的最大值为_____________；④x________，y随x增大而增大．

18.如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC 于点E．求证：DE 是⊙O的切线；

2

19．已知：二次函数yxbxc的图象过点1,8，0,3．

2（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为yaxhk的形式； （2）用五点法画出此函数图象的示意图．

2

20．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F．

（1）画出旋转后的三角形． （2）在（1）的条件下，

①求EF的长；②求点E通过的路径弧EF的长．

21．如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=2，AB=6，求AC的长．

22．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离差不多上1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在自己建立的平面直角坐标系中． 求（1）抛物线的解析式；

（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距.

23．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.

（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB； （2）如图②，当直线l与⊙O 相交于点E，F时，求证：∠DAE=∠BAF.

24. 在2020年“元旦”前夕，某商场试销一种成本为30元的文化衫，经试销发觉，若每件按34元的价格销售，每天能卖出36件；若每件按39元的价格销售，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）是销售价格x (元)的一次函数． （1）直截了当写出．．．．．．y与x之间的函数关系式y = ． （2）在不积压且不考虑其他因素的情形下，每件的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利

润P最大？

25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD延长线于点E，交AB延长线于点F，且EG=EK． (1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的长．

26．阅读下面材料：

某同学遇到如此一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求

AP的值． PD他发觉，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，通过推理和运算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：（1）

AP的值为 ． PD

参考那个同学摸索问题的方法，解决问题：

如图 3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3 ． （2）求

AP的值； PD

（3）若CD=2，则BP= ．

27.已知抛物线y=ax2-2(a-1)x+a-2(a>0)． （1）求证：抛物线与x轴有两个交点； （2）设抛物线与x轴有两个交点的横坐标分别为x1，x（其中x1>x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2+x1,2求那个函数的表达式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y≤-3a2+1,则自变量a的取值范畴为 ．

28．已知，∠BAC=90°，AB=AC=2点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.

（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范畴； （2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终通过点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

29.在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P为直线PC与⊙C的一个交点，满足rPP2r，则称P为点P关于⊙C的限距点，右图为点P及其关于⊙C的限距点P的示意图． （1）当⊙O的半径为1时．

① 分别判定点M (3,4)，N(,0) ，T (1,2) 关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标； ②点D的坐标为（2,0），DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上.若点P关于⊙O的限距点P存在，求点P的横坐标的取值范畴；

（2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为（1,0），半径为r.请从下面两个问题中任选一个作答. 温馨提示：任选1题，两题均答不重复计分.

问题1 若点P关于⊙C的限距点P存在，且P随点P的运动所形成的路径长为r，则r的最小值为__________． 问题2 若点P关于⊙C的限距点P不存在，则r的取值范畴为________. 52

参考答案

1.A. 2.D 3.C 4.D 5.C 6.D 7.C 8.C 9.B 10.B 11.∠B=∠D. 12.105° 13.①②③ 14.4

15.60；3π．

16.t=2或3≤t≤7或t=8． 17.(1)-2,3(2)x=0.5,(3)

251,(4)x< 4218.连接OD,因为正三角形ABC,因此∠B=60°，OB=OD,因此△OBD为等边三角形，因此∠BOD=∠

A=60°，

因此OD//AC,因为DE⊥AC,因此OD⊥DE.因此DE为圆O的切线.

2

19.y=-(x-2)+1 20.解：（1）如图1所示．△ADF为所求．

（2）①如图2，依题意，AE=AF，∠EAF=90°． 在Rt△ABE中，∵AB=2，BE=在Rt△AEF中，EF=10. ②∵∠EAF=90°，AE=AF=10∴l=

55,∴弧EF的长为. 221BC=1，∴AE=5. 221.因为∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，因此△ACD∽△ABC,因此22.抛物线的顶点坐标为（5，5），且通过点（0，1）， 设抛物线解析式为y=a（x-5）2+5， 把点（0，1）代入得：1=a（0-5）+5，即a=-令y=4，得x1=

2

ADAC2

,AC=AD∙AB.因此AC=23. ACAB442

,∴抛物线解析式为y=-（x-5）+5．

2525155155,x2=.∴盏景观灯之间的水平距离是-=5m． 222223.（1）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，

∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，

∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；

（2）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B， ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，

在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°﹣108°=72°，

∴∠BAF=90°﹣∠B=90°﹣72°=18°．

24.

（1）证明：连接OG，

∵弦CD⊥AB于点H， ∴∠AHK=90°，

∴∠HKA+∠KAH=90°，∵EG=EK，∴∠EGK=∠EKG， ∵∠HKA=∠GKE，∴∠HAK+∠KGE=90°，

∵AO=GO，∴∠OAG=∠OGA，∴∠OGA+∠KGE=90°，∴GO⊥EF，∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接CO，在Rt△OHC中， ∵CO=13，CH=12，∴HO=5，∴AH=8，

∵AC∥EF，∴∠CAH=∠F，∴tan∠CAH=tan∠F=在Rt△OGF中，∵GO=13，∴FG= 26.

26. 33, 2

（2）6

22

27.（1）因为b-4ac=4(a-1)-4a(a-2)=4>0，因此抛物线与x轴有两个同的交点； （2）当y=0时，ax-2(a-1)x-(a-2)=0,x1=1,x2= （3）a28.

2 32

a2,因此y=a-1 a