试 题
一、填空、选择题
1．函数f(x)在[a,b]上可积是f(x)在[a,b]上连续的 条件，函数f(x)在
[a,b]上可导是f(x)在[a,b]上连续的 条件．
2．曲线y=lnx+x2−1在点
()(2,ln(1+2)处的切线方程是 ．
)π⎤⎡
3．函数f(x)=(x−1)cosx−sinx在区间⎢0,⎥上的最大值是 ．
2⎦⎣ 4．曲线y=exx2−x上有 个拐点．
5．设可导函数g(x)满足g(0)=0，g′(0)≠0，设G(x)=g(sin2x)，则当x→0时， ．
（A）G(x)与g(x)是等价无穷小． （C）G(x)是比g(x)高阶的无穷小．
1
n
2n
nn
()（B）G(x)与g(x)是同阶的无穷小． （D）G(x)是比g(x)低阶的无穷小．
v 4 3+3+\"+3
6．极限lim= ．
n→∞n
7．如果一物体沿直线运动，物体的运动速度的变化曲线如图3所示（单位省略），则物体在这段位移过程中的平均速度为 ．
3 2 1 O 1 6 8 10 t dyysin
的通解为 ． += 8．微分方程
dxxx 二、
⎛ππ⎞
1．设函数y=lnsecx，x∈⎜−,⎟．
⎝22⎠
图3 (1)讨论函数的单调区间与该函数的图形的凹凸性； (2)该曲线在哪点处的曲率半径为2？
⎧2xet2dt⎪∫x
,设ϕ(x)=⎨ 2．
x⎪
⎩a,
x≠0, 求a的值，使得ϕ(x)在x=0处连续，并用导数定义求ϕ′(0)． x=0,
三、
1．求定积分I=
∫
π0
x21−sin2xdx．
x≤0,x>0,
⎧1
,2⎪⎪1+x
2．若f(x)=⎨
1⎪,⎪⎩x(1+x) 对于x∈(−∞,+∞)，求F(x)=∫f(t)dt．
−∞
x
四、
1
1．设曲边梯形由曲线y=x+（x>0）与直线y=0，x=a，x=a+1所围成（其中a>0），
x
问：当a为何值时，曲边梯形的面积为最小，最小面积是多少？
2．设一平板浸没在水中且垂直于水面(水的密度为1000kg/m3)，平板的形状为双曲四边形，即图形由双曲线4x2−y2=4，直线y=1与y=−1所围成(如图4所示，单位：m)．
y 1 （水面） O x −1 图4 (1)如果平板的上边缘与水面相齐，那么平板一侧所受到的水的总压力是多少？
(2)如果水位下降，在时刻t，水面位于y=h(t)处，且水面匀速
下降，速率为0.01（m/s），问：当水面下降至平板的中位线(即x轴)时，平板一侧所受到的水压力的下降速率是多少？
五、
设函数f(x)满足方程
∫
求f(x)．
x0
(u−x)f(u)du=f(x)+cos2x，
参考答案
一、
1．必要，充分．
2．y′|x=2=1，因此所求切线是y=x−2+ln(1+2)．
3．f′(x)=−(x−1)sinx，在区间(0,
π2
)内有唯一驻点x=1且为极大值点，因此所求最大值
是f(1)=−sin1．
4．y′′=ex(x2+3x)有2个零点x=−3与x=0，且y′′在这2个零点的左、右两侧邻近异号，因此该曲线上有2个拐点．
g(sin2x)−g(0)
2G(x)g(sin2x)sin2xg′(0)sinx 5．lim=lim=lim⋅=⋅0=0，
0x→0g(x)x→0x→g(x)g(0)−′g(x)xg(0)
x
因此当x→0时，G(x)是比g(x)高阶的无穷小，故选（C）．
6．利用定积分的定义，得lim
13+3+\"+32
=∫3xdx=． 0n→∞nln3
1
n2nnn
10101
7．v=v(t)dt，根据定积分的几何意义，其中的定积分∫v(t)dt是图中的图形面
110−1∫1
积，即v=
1011118． v(t)dt=[⋅4⋅(6−1)+4⋅(8−6)+(2+4)⋅(10−8)]=∫110−19223
−
11
dx⎛sinx∫dx⎞1∫ 8．通解为y=ex⎜∫exdx+C⎟=
x⎝⎠x
(∫sinxdx+C=
)−cosx+C
． x
二、
⎛π⎞⎛π⎞⎛π⎤
1．(1)y′=tanx，在⎜−,0⎟内，y′<0；在⎜0,⎟内，y′>0．故⎜−,0⎥是单调减少区间，
⎝2⎠⎝2⎦⎝2⎠
⎡π⎞⎛ππ⎞2
′′=>∈0,是单调增加区间；而由ysecx0(x⎟⎜−,⎟)得，该函数的图形是凹的． ⎢2⎝22⎠⎣⎠ (2)K=
|y′′|(1+y′)
3
22
=|cosx|．由K=
1ππ，得x=±，故曲率半径为2的点是(±,ln2)．
323
∫ 2．lim
x→0
2x
x
etdtx
2
2e4x−ex
=lim=1，因此a=1时，ϕ(x)在x=0处连续． x→01
22
ϕ′(0)=lim
x→0
ϕ(x)−ϕ(0)
x
2
2
∫
=lim
x→0
2xx
etdtxx
2
2
−1=lim
x→0
2
∫
2xx
etdt−xx2
2
2e4x−ex−116xe4x−2xex
=lim=lim=0．
0x→0x→2x2 三、 1．I=
∫
π0
π2
20
2
x|cosx|dx=∫xcosxdx−∫πx2cosxdx
2
π =xsinx+2xcosx−2sinx
[2
]−[x
20
π2
sinx+2xcosx−2sinx
]ππ2
=
π2
2
+2π−4．
2．当x<0时，
F(x)=∫
当x≥0时，
x1
dt+∫01+t2
x−∞
1πt=x+； darctan2
1+t2
F(x)=∫
因此
0−∞
1ππx
=2arctanx+． dt=+[2arctant]0
22t(1+t)
π⎧
arctanx+,x<0,⎪⎪2 F(x)=⎨
π⎪2arctanx+,x≥0.
⎪2⎩
四、
1．曲边梯形的面积
a+111a+1
， A(a)=∫(x+)dx=a++ln
axa2
11
A′(a)=1+−．
a+1a令A′(a)=0，解得在a>0范围内的唯一驻点a=值点．而其最小面积
5−1
，易知该点为极小值点，因此必为最小2
Amin=A(5−155+1)=． +ln225−1 2．(1)水压力
F=∫1000g(1−y)⋅4+ydy=2000g∫
−11
2101
4+y2dy
1+5⎡y⎤
=2000g⎢4+y2+2ln(y+4+y2)⎥=1000g(5+4ln)．
2⎣2⎦0 (2)在时刻t，水面位于y=h(t)，平板一侧所受到的水压力为
F=∫
h(t)−1
1000g[h(t)−y]⋅4+y2dy=1000gh(t)∫
h(t)−1
4+y2dy−1000g∫
h(t)−1
y4+y2dy，
上式两边对t求导，得
h(t)dFdh
4+y2dy=1000g∫， 1−dtdt
由于
dh
=−0.01，因此，当水面下降至平板的中位线(即x轴)时，平板一侧所受到的水压力的下dt
降速率为
0dF⎡y⎤
=−10g∫4+y2dy=−10g⎢4+y2+2ln(y+4+y2)⎥
−1dt⎣2⎦−1
0
=−5g(5+4ln 五、原方程为
1+5)． 2
∫
x0
uf(u)du−x∫f(u)du=f(x)+cos2x，
0
x
代入x=0，得f(0)=−1．上式两端对x求导，得
−∫f(u)du=f′(x)−2sin2x，
0
x
代入x=0，得f′(0)=0．上式两端再对x求导，得
−f(x)=f′′(x)−4cos2x．
故y=f(x)满足初值问题
⎧y′′+y=4cos2x,
⎨
′=−=y|1,y|0.x=0⎩x=0
解得
4
y=C1cosx+C2sinx−cos2x，
3
1
代入初始条件解得C1=，C2=0．故
3
14
f(x)=cosx−cos2x．
33
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