2021-2022学年重庆市育才中学校高一下学期第一次月考数学试题

数学试题

本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟

注意事项：1. 答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上．

1. 已知向量a,b满足a2,ab1，则a(a2b)（ ）

A．2

B．4

C．6

D．8

2. 在ABC中，若AC13,BC3,B120，则AB（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

3. 在ABC中，若3a23bsinA,cosBcosC，则ABC的形状为（ ）

A．等腰三角形 4. 已知向量e( B．等边三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

31,),a(3,1)，则向量a在向量e上的投影向量为（ ） 22B．e

C．a

D．1

A．e

c2a2b25. 已知ABC的内角A若ABC的面积为，则C（ ） 、B、C的对边分别为a、b、c，

4

A．

6 B．

4 C．

2 D．

3 46. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AE

11AB,CFCD,G为EF的中点，则DG（ ） 4411ADAB 2231C．ADAB

42A．11ABAD 2231D．ABAD

42B．

7. 已知向量a(2,6),b(1,)，若向量a与向量b的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）

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1111(,) C．(,3)(3,) D．(,) 33338. 如右图所示，点P是正三角形ABC外接圆圆O上的动点，正三角形的边长为12，则

A．(,) B．(,)1313OPOA2OPOB3OPOC的取值范围是（ ）

A．[83,83]

，3] B．[16316，3] D．[48316483] C．[483，

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全

部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 9. 下列命题正确的是

A. 复数z22i的模是22 B. 复数z的共轭复数为z，则zR的一个充要条件是zz C. 若(x1)(x3x2)i是纯虚数，则实数x1

D. 关于x的方程x2x20在复数范围内的两个根互为共轭复数 10. 下列关于向量的说法正确的是

A. ABPBPCCA

B. 已知非零向量a,b,c满足abac，则bc C. (ab)ca(bc)

D. 已知点G为ABC内一点，满足 GAGBGC0，则G为ABC的重心 11. 对于ABC，有如下命题，其中正确的是

A. 若cos2Acos2B,则ABC是等腰三角形

B. 在ABC中，sinAcosB是ABC为锐角三角形的充要条件 C. 若cos2Asin2Bsin2C1，则ABC为锐角三角形 D. 若ACABAB，则ABC为钝角三角形

12. 在锐角ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，已知B30，2c4cosA3a，则下列说法正确的是（ ）

A. 60A90 B. b2

C. ABC面积的最大值为13 D. ABC周长的取值范围为(623,2+26+22]

第Ⅰ卷 非选择题

三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应的位置上．

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22213. 已知复数z13i，则复数z的虚部为__________.

13i14. 在边长为2的正方形ABCD中，M为BC的中点， 点E在线段AB上运动，则EMEC的取值范围是__________.

15. 在ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，若满足B45,a4的三角形有两解，则b的取值范围为__________.

16. 在ABC中，AB6,BC8,cosABC且MN1，点P满足BP

四、解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．

17.（本小题满分为10分） 已知a(1,2),b(3,x),c(2,1)，且a//b， （1）若(a2b)(kab)，求实数k的值； （2）若m2ab,nac，求m与n夹角。

18.（本小题满分为12分） 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，a5，c6，

17，点M,N在边AC上运动，321BM，则PNBP的最小值为__________. 23sinB.

5 (1) 求b和sinA的值； (2) 求cos(2A

19.（本小题满分为12分）已知a(,sinxcosx),b(4sin2x2,23),f(x)ab， （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数f(x)在区间[0,

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4)的值．

122]上的值域。 320.（本小题满分为12分）在ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，且

3bcosAacosBbc，

（1）求A；

（2）若AD为边BC上的中线，cosB

21.（本小题满分为12分）重庆育才中学学生小王和小李星期天一同返校进入校门，如图所示，背对着校门站在陶行知雕像前A点，小李沿着行知大道（正西方向）走27米后到达D点。小王以垂直于小李的路线向正南方向行走若干米后到达陶行知纪念馆B点，后又沿着南偏西60的方向行走到达国旗杆下C点，经过测量发现ACD60.设ACB，如图所示。

（1）设国旗杆底C点到行知大道的最短距离为h，请用表示h的解析式； （2）求小王走过的路程ABBC的最大值。

北A1,AD129，求ABC的面积。 7西D东

60°Bθ60°C南22.（本小题满分为12分）定义：如果点P0(x0,y0)在函数yf(x)的图像上，那么点P0(x0,y0)关于直线

yx的对称点P1(y0,x0)在函数yg(x)的图像，则我们称函数yf(x)与函数yg(x)的图像关于直

线yx对称。例如，如果点P0(x0,y0)在函数f(x)2的图像上，那么点P0(x0,y0)关于直线yx的对

x称点P1(y0,x0)在函数g(x)log2x的图像，则我们称函数f(x)2与函数g(x)log2x的图像关于直

x线yx对称。

已知函数yf(x)与函数yg(x)的图像关于直线yx对称，且g(x)log4(41)， （1）求函数yf(x)的解析式； （2）设函数h(x)log4(kk2x)的取值范围。

xx，若函数yf(x)的图像在函数yh(x)图像的上方，试求实数k2

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数学参考答案

一、选择题： CABB DBCC 9.ABD 10.AD 11.AD 12.ABD 12题解析：由B30得0A90,解之得60A90，故选项A正确.

0C150A903a2cosAacosBbcosAacosB，从2对2c4cosA3a两边同时除以2，得c2cosA而b2.故选项B正确.

由余弦定理，bac2accosBac3ac(23)ac，从而ac4(23)，而

22222S11acsinB=ac2+3，当且仅当AC75时，等号成立，此时的最大面积为2+3.故选项C24b24，则周长 sinBsin30错误.

由正弦定理2Racb24(sinAsinC)24(sinAsin(150A))22(62)sin(A15)(623,22622]故选项D正确. 三、填空题： 13. 

3131 14. [2,6] 15. (22,4) 16. 216211222PNBPPNPB[(PNPB)(PNPB)][(2PR)BN]4422221111112BN(MN)BNMNBN,4244442131当BNAC时，BN最小，此时最小值为.

1616题解析：如图取BN的中点R，连结PR，

四、解答题：

17. 解析：（1） 由a//b得，x6，故b(3,6)。由(a2b)(kab)得，(a2b)(kab)0，

故k3.（2）m2ab(1,2),nac(3,1)，从而cosm,nm,n0，m,n18. 解析：(Ⅰ)在ABC中，

mnmn52

25103。 434ab，故由sinB，可得cosB.

554222由已知及余弦定理，有bac2accosB253625613，b13.

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由正弦定理

asinB313313ab.b13，sinA，得sinA； b1313sinAsinB213， 13Ⅰ)及ac，得cosA(Ⅱ)由(

sin2A2sinAcosA故cos(2A125，cos2A12sin2A. 13134)cos2Acos4sin2Asin452122172 1321322619. 解析：(1)f(x)ab3sin2xcos2x2sin(2x)，

6f(x)的最小正周期T22x.由2k26222k，kZ.

得：k6x3kf(x)的单调递增区间为[k63,k]，kZ.

(2)x[0,2777]时，可得：当2x时，函数f(x)取得最小值为2sin2x[,]，1. 3666666当2x62时，函数f(x)取得最大值为2sin22.

所以函数f(x)在区间[0,2]上的值域为[1,2]。 320. 解析：(1)由3bcosAacosBbc

应用正弦定理得：3sinBcosAsinAcosBsinBsinCsinBsin(AB)，

3sinBcosAsinBcosAsinB又sinB0，则cosA1.又0A，所以A； 23(2)在ABC中，cosB4312得，sinB1cosB

773114353 272714则sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB高2024届2021-2022学年（下）第一次月考数学试卷 第6页（共9页）

3asinA7由正弦定理得，2设a7x、c5x，

csinC53514在ABD中，由余弦定理得：AD2AB2BD22ABBDcosB代入

11112925x249x225x7x，解得x2，则a14，c10。

427所以ABC的面积S1143acsinB1410403。 22721. 解析：（1）由已知得ADC360(9012060)90， 在ACD中，由正弦定理得

ADAC27cos183cos. ，所以ACsinACDsinADCsin60又因为CAD30，且060，所以

hACsinCAD183cossin(30)93cos(260)（2）在ABC中，由正弦定理得AB93(060)。 2ACsin18sin2，

sin120BCACsin(60)36cossin(60)9393cos29sin2，

sin120于是ABBC9393cos29sin29318sin(260)。 因为060，所以当15时，ABBC取得最大值1893米。

yxyx22. 解析： （1）由定义可得，xlog4(41)，414，441，指对互换，得ylog4(41)，

yx故函数yf(x)的解析式为f(x)log4(41). （2）本题提供两种不同的解法，仅供参考。 解法一：

由题意可得关于x的不等式f(x)h(x)恒成立。即 关于x的不等式log4(4x1)log4(kk2x)xxxx恒成立。 2x2化简：(k1)4k210恒成立。换元法，令t2(0,)，则关于t的不等式(1k)tkt10对任意的t(0,)恒成立。设(t)(1k)tkt1，分类讨论，

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1k0k20，解得①当k0时，对于任意的t(0,1)，不等式(1k)tkt10恒成立，即2(1k)0k(0,222)

1k01k0k20，解得k(1,0)； ②当，即k(1,0)时，(1k)tkt10当k02(1k)(0)0③当k10时，即k1，t10恒成立，故k1符合题意；

④当k10时，不符合题意； 综上所述：k[1,0)解法二：

由题意可得关于x的不等式f(x)h(x)恒成立。即 关于x的不等式log4(4x1)log4(kk2x)xxx(0,222).

x恒成立。 2x2化简：41k2(12)0恒成立。换元法，令t2(0,)，则关于t的不等式t1kt(1t)0对任意的t(0,)恒成立。分类讨论，

t2111k1①当k0时，分离参数得，，设， 1t0，h(t)1222tt3[(t1)]3[(t1)]t1t1则h(t)在t(0,1)上的最小值为222，从而k(0,222)。

t2111k1②当k0，分离参数得，，设， 1t0，h(t)122tt23[(t1)]3[(t1)]t1t1则h(t)在t(1,)上的值域为(,1)，从而k[1,0)。 综上所述：k[1,0)(0,222)

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