《高等数学》各章知识点总结—第9章

第9章 多元函数微分学及其应用总结 一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间

2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三

维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y L L 间的距离： ||PQ

邻域: 设0P 是n

R 的一个点， 是某一正数，

与点0P 距离小于 的点P 的全体称为点0P 的 邻域，记为),(0 P U ，即00(,){R |||}n U P P PP

空心邻域: 0P 的

邻域去掉中心点0P 就成为0P 的 空心邻域,记为 0(,)U P o =0{0||}P PP 。

内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域

),( P U ，使得E P U ),( ，则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有

属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界．

聚点：设E 为n 维空间中的点集，n

P R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。

开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E R , 如果E 的补集

n E R 是开集，则称E 为闭集。

区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．

有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0 M ，使得(,)E U O M ，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．

有界闭区域的直径：设D 是n R 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P D

d D PP 为D 的直径。 二、多元函数

n 元函数就是n R 的一个子集D 到R 的一个函数，即对任意的P D ，都存在唯一的

y R ，使得()y f P 。习惯上，我们用()y f x 表示一元函数， 用),(y x f z 表示

二元函数，用(,,)w f x y z 表示三元函数. 一般用(),R n y f P P 或12(,,,)n y f x x x L 表示n 元函数． 三、多元函数的极限

设多元函数)(P f z 在D 有定义，0P 是D 的一个聚点，A 为常数。如果对任意给定的0 ，都存在0 ，当0

(,)P D P U 时，有 ()f P A

则称A 为P 趋于0P 时函数)(P f z 在D 上的极限，记为 P P lim (P)f A 或 0(P),(P P )f A 。 四、多元函数的连续性

设多元函数)(P f z 在D 有定义，0P 是D 的一个聚点。如果0 0P P lim (P)(P )f f ，

则称)(P f z 在0P 点连续。如果)(P f z 在区域D 上各点都连续，就

称)(P f z 在D 上连续．如果函数)(P f z 在 点0P 处不连续，则称函数)(P f z 在点0P 处间断, 也称0P 是函数),(y x f z 的间断点。 五、偏导数

设二元函数),(y x f z ，),(000y x P 为平面上一点。如果0(,)z f x y 在0x 的某一邻

域内有定义且在0x 存在, 则称),(y x f z 在点),(000y x P 处对x 可偏导，称此极限值为函数),(y x f z 在点

),(000y x P 处对x 的偏导数，记为 000000(,) (,) (,) , ,x

x y x y x y z f z x x

或00(,)x f x y 六、高阶偏导数 2222

xx z f f f x x x x ，22xy z f f f x y x y y x ， 22yx

z f f f y x y x x y ， 2222yy z f f f y y y y

如果函数),(y x f z 的两个二阶混合偏导数,xy yx f f 都在平面区域D 内连续，那么这两

个二阶混合偏导数在D 内相等。 七、全微分

设函数),(y x f z 在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，,A B 为常数。如果

()z A x B y o ，其中 则称函数 ),(y x f z 在点000(,)P x y 可微分（简称可微），称A x B y 为函数),(y x f z 在点000(,)P x y 的全微分，

记作dz ，即dz A x B y

可微的必要条件：函数),(y x f z 在点000(,)P x y 可微, 则(1) ),(y x f 在点000(,)P x y 处连续。(2) ),(y x f 在点000(,)P x y 处偏导数存在, 且 z d 00(,)d x f x y x 00(,)d y f x y y 。 可微的充分条件：函数),(y x f z 在点000(,)P x y 的某个邻域内可偏导，且偏导数

(,),(,)x y f x y f x y 在点000(,)P x y 连续，则),(y x f z 在点000(,)P x y 可微。

八、多元复合函数的求导法则

链式法则：),(v u f z ，),(),,(y x v v y x u u

一阶全微分的形式不变性：),(v u f z ，),(),,(y x v v y x u u ,z z z z dz dx dy dz du dv x y u v 九、隐函数及其求导法

若),(y x F 满足：(1) ),(y x F 在),(00y x 某邻域内可偏导, 且(,),x F x y (,)y F x y 连续，(2) 00(,)0F x y ，(3) 00(,)0y F x y 。则(1) 存在0x 的某个邻域，在此邻域内存在唯一确定的一元函数)(x f y 满足称函数)(x f y 称为由方程0),( y x F 所确定的隐函数，且