《线性代数与空间解析几何》模拟试题七及参考答案 题号 得分 评卷人 得分 一 二 三 四 五 六 总成绩 评卷人 一、单项选择（每小题2分，共10分） 1. 设为阶方阵且则
，
为A的伴随矩阵，
（C）
=( )。 (A) (B) 1 （D）0 2.设A为n阶方阵满足
，则必有( )。
（A）R(A)=n (B) A=I (C) (D)A为正交矩阵
3．设A，B为任意两个n阶方阵，则下列等式一定成立的是( )。 (A)
(B)
(C)
(D)
4．设A为阶矩阵，则线性方程组(A)
有解的充分必要条件为( )。 (B)
(C)
(D)
5．n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件( )。
(A)有n个不同的特征值 (B)有个线性无关的特征向量 (C)的特征值全为正的 (D)有个不同的特征向量 得分 评卷人 二、填空题（每小题2分，共12分）
1. 设三阶方阵相似于，＝ 。
2.过点且与直线平行的直线方程为 。 3.已知向量与
= ， 4.设3阶矩阵的特征值为5.设为n阶正定矩阵，则6.设为3阶正交矩阵，得分 的秩
共线，且满足：则行列式
，则向量
＝ 。 长度＝ 。
，则
＝ 。
评卷人 三、计算题(每小题10分，共30分) 1．求向量组：
的秩和一个最大无关组。
2.问为何值时，线性方程组有无穷多解时方程组的通解。
有唯一解、无解、无穷多解，并求
3.已知
的值。 得分 是矩阵的特征向量，对应的特征值为，求
评卷人 四、计算题(每小题8分，共16分) 1.设
求以向量
且向量
的夹角
为邻边构成三角形的三角形面积。
与
都垂直的平面
2.求过点且与平面方程。
五、计算题(每小题8分，共16分) 1.求正交变换
将二次型
化为标准型的
矩阵，并写出相应的标准型。
2.设得分 ，求矩阵，使.
评卷人 六、证明题(每小题8分，共16分) 1．设2.设
是正整数，为阶单位矩阵，阶矩阵
。
是对应齐次线性方程组
是非齐次线性方程组的一个解，的一个基础解系，证明：向量组
线性无关。
南邮2013-2014《线性代数与空间解析几何》
模拟试题七参考答案与评分标准
项选择（每小题2分，共
满足:
，
证明：行列式
一、单10分）
1.C 2.A 3.B 4.D 5.B
二、填空题（每小题2分，共12分） 1、, 2、
, 5、, 6、3.
三、计算题（每小题10分，共30分） 1.解
, 3、
, 4、
，
最大无关组
(写
向量组的秩为4，成矩阵不得分)
2.解 ，
(结论1分，过程1分)
通解
3.解 设
对应特征值为，则
四、计算题（每小题8分，共16分） 1.解
。
2.解
。
, 所求的平面方程
五、计算题（每小题8分，共16分）
1.解 二次型对应的矩阵
，
A的特征值为
故二次型的标准型
。
2.解 ，，
六、证明题（每小题8分，共16分） 1.证明 设则
，得到2.证：若
， 即
则左乘得：
，
从而
，因为
从而
为基础解系，则
线性无关，得
，所以所证的结论成立
,
，
，
是，
的一个特征值，对应的特征向量为
，即
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