1 、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数是 1 ，这样的方程叫二元一次方程。
注意 ：二元一次方程满足三个条件：①分母中不含未知数；②有两个不同未知数；③含未知数的项的次数是 1 。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。对于一个二元一次方程一般都有多个解。
2 、 求二元一次方程的正整数解的方法：先用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；再根据正整数解进行限定，从小到大进行尝试计算。
3 、二元一次方程组：一般把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。
注意： 二元一次方程组的两个方程含有相同的两个字母是指：一共含有两个字母，
其中一个可以含一个字母（如： x ），而另一个含两个字母（如： x 、 y ），
例如 ， ；也可以分别含不同的一个字母，例如
。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组的解同时满足两个方程。
4 、解二元一次方程组的思想： 消元思想 ，即将方程未知数的个数由多化少，逐一解决的思想。
5 、解二元一次方程组的方法：代入消元法和加减消元法。
代入消元法 ： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现化“二元”为“一元”的目的，通过解两次一元一次方程，得到二元一次方程组的解。
加减消元法 ：两个二元一次方程中，同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 二、典型例题
例 1 、下列哪些方程是二元一次方程？
， ， ， ， ， ，
y+ =7
－ 2 ） x
－（ b ＋ 5 ） y
=3 是关于 x 、 y
例 2 、已知方程（
的二元一次方程，求 a 与 b 的值。
例 3 、判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由：
（1） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ）
例 4 、判断下列数值是否是二元一次方程组的解。
⑴ ⑵
分析：要判断题中所给 与 y 的一对值是否为方程组的解，只需将所给未知数的解分别代入方程组中的每个方程中进行计算，只有同时满足两个方程的值，才是方程组的解。
例 5 、如果 是方程组 的解，求 － b 的值
， b 的值
分析：应先分别求出 ， b 的值，再求 可以利用把解代回原方程组进行计算。
－ b 的值，而
解：把 得 ∴
=1
中，
把
得 2 × 3+b ×（－ 1 ） =3
中，
∴
当 时，
∴
－ b 的值是－ 2 。
例 6 、 用代入法解方程组 解：由 ①，得 ③
把③代入② , 得
∴
把
代入③，得
∴ 原方程组的解是
例 7 、解方程组
解：①× 2 得： ③ ③ + ②得：
把
代入①得
∴原方程组的解为
例 8 、 解方程组
解： 原方程组可以化为 ① + ②，得 把
代入 ①，得
，解得
∴原方程组的解为
例 9 、 解方程组
分析：方程 ①、 ②中都有（ 一个整体，分别求出 三、习题精练
1. 下列方程是二元一次方程的是 （ ）
，
），（
）形式，可以将它们都看作
的值，再联立方程组，求 x,y 。
A. B. C. D.
2. 在方程组（ 1 ） （ 2 ） (3) (4)
(5) (6) 中，是二元一次方程组的有（ ）
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
3. 二元一次方程组 （ ）
A. B. C. D.
﹡ 4. 二元一次方程 A.0 B.1 C.2 D.3
在正整数范围内的解的个数是（ ）
5. 已知方程组 ，下列说法正确的是（ ）
A. 方程 ①的解是方程组的解 B. 方程②的解是方程组的解 C. 方程组的解是方程 ①的解 D. 方程 ①和 ②没有公共解
6. 下列是用代入法解方程组 是
（ ）
的步骤，其中最简单且正确的
A. 由 ①得 B. 由 ①得
③，把③代入②，得 ③，把③代入②，得
C. 由②得
D. 把②代入 ①，得 7. 关于 它是一
元一次方程；当
、
③，把③代入 ①，得
（把
看作一个整体）
的方程 当 ______ 时，
______ 时，它是二元一次方程。
8. 二元一次方程组 的解的情况是 _____________.
9. 已知二元一次方程组 ________.
，则 _________ ，
10. 如果 ，那么 __________.
11. 已知 是一个二元一次方程组的解，试写出一个符合条件的二元一次
方程组 __________________ 。 12. 若 13. 若
和
是同类项，则 x=_______ ， y=_______.
能同时成立，则
________,
________.
*14. 若 ，则 _________.
15. 关于 x 、 y 的二元一次方程组
的一个解，则 16. 解方程组 。
_______ 。
，的解是二元一次方程
17. 已知 18. 已知
，是方程组 的解，求（
，求 a 、 b 的值。
） 的值。
19. 甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的 ，得
到方程组的解为 试求
的值。
，乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ，
20. 如果关于 x 、 y 的 二元一次方程组 ，的解是 ，
那么关于 的方程组 ，的解是多少？此题解法上的技
巧是什么？试根据两个方程组的特点加以分析并求解。
21. 若方程组 ，与 ，有公共解，求 的值。
*22. 已知关于 x 、 y 的方程组
，求 K 的值。
二元一次方程组（二） 一、知识精要
的解 x 、 y 的值满足
列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题的思想方法是一致的，一
般
设几个未知数，就要找几个等量关系，列出几个方程，寻找等量关系是列方程组的 关键。
列二元一次方程组解应用题的步骤：
（ 1 ）审题 : 弄清题意和题目中的数量关系；（ 2 ）设元：可以直接设，也可以间接设；（ 3 ）列出方程组；（ 4 ）解方程组；（ 5 ）检验所得的解是否符合题意；（ 6 ）写出答案 二、典型例题
例 1 、为了防控甲型 H1N1 流感，某校积极进行校园环境消毒。购买了甲、乙两种消毒液
共 100 瓶，其中甲种 6 元 / 瓶，乙种 9 元 / 瓶。如果购买这两种消毒液共用 780 元，
求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？
例 2 、小丽的妈妈在机械厂工作，她所在车间有 90 人 ，每人每天平均可加工机轴 15 个
或轴承 24 个，如果每天生产的机轴和轴承配套（两个轴承配一个机轴），若小丽的
妈妈加工轴承，则她所在的组是多少人？另一组多少人？
例 3 、某商场购进商品后。加价 40 ％作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定甲、乙两
种商品分别七折和九折销售，某顾客购买了甲乙两种商品，共付款 399 元，这两种商
品原销售之和为 490 元，问这种商品进价分别为多少元？ 三、习题精练
1. 巴广高速公路在 5 月 10 日 正式通车，从巴中到广元全长约 126km ，一辆小汽车、一辆
火车同时从巴中、广元两地相向开出，经过 45 分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行 6km ，
设小汽车和货车的速度分别为 x km/h 、 y km/h, 则下列方程组正确的是 （ ）。
A. B.
C. D.
2. 两人练习跑步，如果乙先跑 16 米，甲 8 秒可以追上乙，如果乙先跑 2 秒钟，则甲 4 秒钟可以追上乙，求甲、乙两人每秒钟各跑多少米？若设甲每秒钟跑 x 米，乙每秒钟跑 y 米，则所列方程应该是 （ ）
A. B.
C. D.
3. 一个两位数十位数字与个位数字之和是 7 ，把这个两位数加上 45 后，结果恰好成为原来的两位数十位数字与个位数字对调后的两位数，那么原来两位数是（ ） A.16 B.25 C.34 D.61
4. 某超市推出如下优惠方案：⑴一次性购物不超过 100 元不享受优惠；⑵一次性购物超过 100 元但不超过 300 元一律打九折；⑶一次性购物超过 300 元一律打八折。某人两次购物分别付款 80 元、 252 元，如果该人一次性购买以上两次相同的商品，则应付款（ ）
A.288 元 B.322 元 C.288 元或 316 元 D.332 元或 363 元
5. 学校组织一次有关世博的知识竞赛共有 20 道题，每一题答对得 5 分，答错或不答都倒扣 1 分，小明最终得 76 分，那么他答对 ______ 题。
6. 用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖 14 元 / 块，单色地砖 12 元 / 块，若单色地砖的数量比彩色地转的数量的 2 倍少 15 块，买两种地转共用了 1340 元，设购买彩色地砖 x 块 ，单色地砖 y 块 ，则根据题意可列方程组为 ______ _____.
7. 一张方桌有一个桌面和四条桌腿组成，如果 1 个，或制作桌腿 300 条，现有 5m ³木料，设用
木料可制作方桌的桌面 50 木料制作桌面，用
木
料制作桌腿，恰好配成整套方桌，则可列方程组为 _________________ 。
8. 一个矩形周长为 20cm ，且长比宽大 2cm ，则矩形的长为 ________cm, 宽为 ________cm 。
9. 某船顺流航行 36km ，用 3 小时，逆流航行 24km ，用 3 小时，则水流速度 为 ________ ，船在静水中的速度为 ________.
10. 某班有 40 名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去
370 元，其中甲种票每张 10 元， 乙种票每张 8 元，设购买了甲种票 x 张，乙种票 y 张，由此可列出方程组： _____________ 。
*11. 如图，周长为 68cm 的长方形 ABCD 被分成 7 个相同的矩形， 则这个长方形 ABCD 的面积是 ___________cm ²
12. 老师布置了一个探究活动作业 : 仅用一架天平和一个 10 克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量。（注：同种类的每枚硬币质量相同）
聪明的孔明同学找来足够多的壹元和伍角的硬币，经过探究得到以下两个探究记录： 记录 记录一 记录二
天平左边
天平右边
状态 平衡
5 枚壹元硬币，一个 10 克的10 枚伍角硬币 砝码
15 枚壹元硬币
20 枚伍角硬币，一个 10 克的平砝码 衡
请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币多少克，一枚伍角硬币多少克。
13. 八块相同的长方形地砖拼成一个矩形图案，求每块地砖的长和宽。
14. A 仓库与 B 仓库共存粮 450 吨，现从 A 仓库运出存粮的 60% ，从 B 仓
库运出存粮的 40% ，结果 B 仓库所余的粮食比 A 仓库所余的粮食多 30 吨。 A 仓库与 B 仓库原来各存粮多少吨？
15. 某超市为“开业三周年”举行了店庆活动，对 A 、 B 两种商品实行打折出售，打折前，购买 5 件 A 商品和 1 件 B 商品需用 84 元；购买 6 件 A 商品和 3 件 B 商品需用 108 元。而店庆期间，购买 50 件 A 商品和 50 件 B 商品仅需 960 元，打折后少花多少钱？
16. “粮食补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共 18 吨，实际生产了 20 吨，其中小麦超产 12 ％，玉米超产 10 ％，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨？ 17. 某城市为了缓解缺水状况，实施了一项引水工程，就是把 200 千米以外的一条大河的水引到城市来，把这个工程交给了甲、乙两个施工队，工期 50 天，甲、乙两队合作了 30 天后，乙队因另外有任务需要离开 10 天，于是甲队加快速度，每天多修了 0.6 千米， 10 天后乙队回来，为了保证按期完成任务，甲队速度不变，乙队每天比原来多修 0.4 千米，结果如期完成。问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？
18. （ 1 ）将一批重 490 吨的货物分配给甲、乙两船运输。现在甲、乙两船已分别运走其
任务数的 。在已运走的货物中，甲船比乙船多运 30 吨。求分配给甲、乙
两船的任务数各多少吨？
（ 2 ）自编一道应用题，要求：是路程应用题，三个数据 100 ， 部用到，不添加其他数据。
必须全
*19. 甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向而行， 1 小时 20 分相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时追上了拖拉机。这时，汽车、拖拉机各自走了多少千米？ 二元一次方程组（三） 一、知识精要
1. 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1 ，并且一共有三个方程，像这
样的方程组叫做三元一次方程组。 2. 解三元一次方程的基本思想：
通过“加减”或“代入”，进行消元，把“三元”变成“二元”从而把三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，这里体现了化归的思想方法。 二、典型例题
例 1 、在下列方程组中，哪几个是三元一次方程组？
（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）
（ 4 ） （ 5 ）
例 2 、解三元一次方程组：
⑴ 三、习题精练
⑵ ⑶
1. 下列各方程组不是三元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程组 的解是 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知 x 、 y 满足方程组 关系式是 （ ） A.
B.
C.
，则无论 m 取何值， x 、 y 恒有的
D.
*4. 如果方程组 足 （ ）
，有唯一的一组解，那么 a 、 b 、 c 的值应当满
A.a=1,c=1 B.a ≠ b C.a=b=1,c ≠ 1 D.a=1,c ≠ 1
5. 若关于 x,y 的二元一次方程组 的解
则 k 的值为 ( )
，的解也是二元一次方程 2x+3y=6
A. B. C. D.
6. 二元一次方程 A.6 B.7 C.8 D. 无数
的非负整数解有（ ）个
7. 下列说法正确的有（ ）
①方程组 有无数组解；② 是二元一次方程组；③
有唯一一组解；④
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
没有解 .
8. 若方程组 的解是 则方程组
的解是 _________________ 。 9. 已知单项式 x=______;y=______.
与
是同类项，则
10. 当 a=__________ 时，方程组 的解 x 、 y 互为相反数。
11. 已知 、 满足方程组 则 =___________ 。
12. 写出一个二元一次方程，使 程为 ______________________ 。 *13. 二元一次方程
和 都是它的解，这个二元一次方
的正整数解是 ______________ 。
14. 解方程组
15. 已知 x 、 y 、 z 是方程组 的解，求 的值。
16. 为正整数，已知二元一次方程组 ，有整数解，求 .
17. 已知某电脑公司有 A 型、 B 型、 C 型三种型号的电脑，其价格分别为 A 型每台 6000 元，
B 型每台 4000 元， C 型每台 2500 元，我市东坡中学计划将 100500 元钱全部用于从该
电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共 36 台，请你设计出几种不同的购买方案供
该校择，并说明理由。
18. 某车间有工人 30 人，生产甲、乙、丙三种零件，每人每小时能生产零件甲 30 个，或乙 25 个，或丙 20 个，现用零件甲 3 个、乙 5 个、丙 4 个、装配成某种机件，问如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件刚好配套？
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