辅助圆模型
模型讲解
一、定点定长 1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角 2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
方法点拨
一、题型特征： ①动点的运动轨迹为圆
②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点
③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。 二、模型本质：两点之间，线段最短。
例题演练
1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（ ）
A．3
﹣3
B．3
C．3
﹣3 D．2
【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．
∵AB＝AC，BE＝EC， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∵OA＝OB， ∴OE＝AB＝3， ∵AB⊥BD， ∴∠OBD＝90°， ∵OB＝3，BD＝6， ∴OD＝
∵DE≥OD﹣OE， ∴DE≥3
﹣3，
﹣3， ＝
＝3
，
∴DE的最小值为3故选：C．
强化训练
1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（ ）
A．5
B．1
C．2
D．3
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 ．
3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为 ．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为 ．
5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是是 ．
（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．
（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．
上的一个动点，连接AP，则AP的最小值
1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ．
辅助圆模型
模型讲解
一、定点定长 1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角 2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
方法点拨
一、题型特征： ①动点的运动轨迹为圆
②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点
③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。 二、模型本质：两点之间，线段最短。
为（ ）
例题演练
1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值
A．3
﹣3
B．3
C．3
﹣3 D．2
【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．
∵AB＝AC，BE＝EC， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∵OA＝OB， ∴OE＝AB＝3， ∵AB⊥BD， ∴∠OBD＝90°， ∵OB＝3，BD＝6， ∴OD＝
∵DE≥OD﹣OE， ∴DE≥3
﹣3，
﹣3， ＝
＝3
，
∴DE的最小值为3故选：C．
强化训练
1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（ ）
A．5
B．1
C．2
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD＝90°， ∵∠PBC＝∠PCD， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴∠BPC＝90°，
∴点P在以BC为直径的⊙O上，
连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，
∵PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D共线时，取等号）， 即P点运动到P′位置时，PD的值最小，最小值为DP′，在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3， ∴OD＝
＝5，
∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1， ∴线段PD的最小值为1． 故选：B．
D．3
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 2
﹣2 ．
【解答】解：如图，
∵AE⊥BE，
∴点E在以AB为直径的半⊙O上， 连接CO交⊙O于点E′，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值， ∵AB＝4，
∴OA＝OB＝OE′＝2， ∵BC＝6， ∴OC＝
＝
＝2﹣2，
，
则CE′＝OC﹣OE′＝2故答案为：2
﹣2．
3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为
．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2， ∵∠PAB＝∠ACP， ∴∠PAC+∠ACP＝60°， ∴∠APC＝120°， ∴点P的运动轨迹是
，
当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示： 此时PA＝PC，OB⊥AC，
则AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°， ∴PD＝AD•tan30°＝∴PB＝BD﹣PD＝故答案为：
．
﹣
AD＝＝
，BD＝．
AD＝
，
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为 2+2
．
【解答】解：∵∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的圆上，如图所示，设圆心为O，
∵AB＝4，AB是⊙O的直径， ∴OE＝2，
在Rt△OBC中，OC＝
∴当点E在CO的延长线上时，CE有最大值， ∴CE的最大值＝OE+OC＝2+2∴CE的最大值＝2+2故答案为：2+2
5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是
上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是
﹣1 ．
．
．
，
，
（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．
（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．
【解答】解：（1）找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上任取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CE＝BC＝1 ∴AE＝∵P2E＝1， ∴AP2＝故答案为：
﹣1． ﹣1．
，
（2）如图所示：因为点M是AD的中点， ∴AM＝MA′＝AD＝1，
由于△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN
∴MA′＝AM＝1是定值，当点A′在MC上时，A′C长度最小． 过点M作ME⊥DC于点E
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠EDM＝60°， ∴∠EMD＝30°， ∴ED＝MD＝， ∴EM＝DM×cos30°＝∴MC＝
＝
， ，
∴A′C＝MC﹣MA′＝答：A′C长度的最小值为
． ．
（3）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC＝4，∠ADC＝∠C＝90°． 在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（SAS）． ∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF， 由于∠CDF+∠ADF＝90°， ∴∠DAE+∠ADF＝90°． ∴AE⊥DF；
由于点P在运动中保持∠APD＝90°， ∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小， 在Rt△QDC中，QC＝∴CP＝QC﹣QP＝2
﹣2．
﹣2．
＝
＝2
，
，
答：线段CP的最小值为2
1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小
值是 ﹣1 ．
【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时， 过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴∠FMD＝30°， ∴FD＝MD＝， ∴FM＝DM×cos30°＝∴MC＝
＝
， ， ﹣1．
∴A′C＝MC﹣MA′＝故答案为：
﹣1．
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