画渐开线的方法

圆的渐开线画法

已知圆的直径D，画渐开线的方法如图1-22：

(1）将圆周分成若干等分（图中为12等分），将周长πD作相同等分； (2）过周长上各等分点作圆的切线；

图

1-22圆的渐

(3）在第一条切线上，自切点起量取周长的一个等分（πD/12）得点1；在开线画法 第二条切线上，自切点起量取周长的两个等分（2xπD/12）得点2；依此类推得点3、4、……、12；

(4）用曲线板光滑连接点1、2、3、……、12；即得圆的渐开线。

图1-23圆弧连接作图原理

圆弧连接

在工程图中经常要用已知半径圆弧（称连接弧），光滑连接（即相切）已知直线或圆弧。为了保证光滑连接，关键在于正确找出连接圆弧的圆心和切点。

(1)圆弧连接的作图原理

根据平面几何可知，圆弧连接作图有如下关系：

a）半径为R的圆弧与已知直线I相切，其圆心轨迹是距离直线I为R的两条平行线II、III，当圆心为O时，由O向直线I作垂线，垂足K即为切点，如图1-23a所示。 b）半径为R的圆弧与已知圆弧（圆心为O1、半径为R1）相切，其圆心轨迹是已知圆弧的同心圆，此同心圆半径R2视相切情况而定，外切时，R2=R1+R，如图1-23b所示：内切时，R2=R1-R，如图1-23c所示。当圆心为O时，连接圆心的直线O1O与已知圆弧的交点即为切点。

(2)连接圆弧圆心和切点的作图示例：

图1-24常见的圆弧连接作图

1.卡笛尔坐标下的渐开线参数方程

笛卡尔坐标系下的渐开线参数方程如下（设压力角afa由0到60度，基圆半径为10）：

afa=60*t

x=10*cos(afa)+pi*10*afa/180 * sin(afa)

y=10*sin(afa)-pi*10*afa/180 * cos(afa) z=0

2.圆柱坐标下的渐开线参数方程

圆柱坐标系下的渐开线参数方程如下（设基圆半径为10，压力角 afa 从0到60度）：

afa = 60*t

r = (10^2 + (pi*10*afa/180)^2)^ theta = afa-atan((pi*10*afa/180)/10) z = 0

在Pro/ENGINEER 里使用 Feature > Creat > Datum > Curve > From Equation 命令，选择一个坐标系，然后选择坐标类型（卡笛尔坐标/圆柱坐标/球坐标），在窗口里输入以上方程即可生成一段精确的渐开线。

渐开线就是一直线上选定的一点在直线绕一圆纯滚动时所形成的轨迹，那个圆就是基圆。 渐开线齿廓的啮合线,公法线,与两基圆的内公切线重合,称为渐开线齿廓的\"三线合一\"。

渐开线(involute)

渐开线及其形成(development of involute) 直线BK在一圆上作纯滚动,其上K点的轨迹就是渐开线(involute)。其中， AK---渐开线(involute) 圆---基圆(base circle)

rb---基圆半径

BK---渐开线发生线(generating line)

θk---渐开线上K点的展角 rK---渐开线上K点的向径 αK---渐开线K点的压力角

渐开线的性质(properties of involute) 1)发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长,即:；

2)当发生线沿基圆作纯滚动时,切点B为其速度瞬心, 因此KB必垂直于渐开线上K点的切线,即发生线为渐开

动画演示

线在K点的法线,即:

渐开线上任一点的法线恒与基圆相切；

3)发生线与基圆的切点B也是渐开线在K点处的曲率中心,即

K点离基圆愈远(rK愈大),愈大,K点在基圆上时(rK=0时),

4)渐开线的形状取决于基圆的大小,即由不同大小的基圆所形成的渐开线,在相等展角处的曲率半径的大小随基圆半径rb的增大而增大，若，则，渐开线AK变成直线.故齿条的渐开线齿廓曲线为直线。 5)基圆以内无渐开线

渐开线方程式(involute equation)----渐开线方程式多用极坐标形式表示: 设OA为极坐标轴(O为原点)，则以压力角表示的K点的极坐标(展角,向径)方程式为: 由图可知：

所以，渐开线的极坐标方程为:

其中很常用,可用来求解渐开线齿廓上任一点的压力角. 渐开线函数(involute function) 渐开线函数指的是展角与压力角的函数关系式，工程上以表示该函数，即

渐开线齿廓能满足定传动比传动(the velocity ratio is constant)-------保证了机器运转的平稳性

(1)根据渐开线的性质2知：渐开线的法线必与基圆相切，所以一对渐开线齿廓在啮合点的公法线必同时与两基圆相切，即啮合点K处齿廓公法线N1N2为两基圆的一条内公切线；

(2)两基圆为定圆(圆心位置和半径均确定)，在同一方向上的内公切线只有一条；

(3)过任意接触点的齿廓公法线N1N2均与两基圆内公切线重合,与连心线的交点必为一定点P，从而有:

渐开线齿廓之间的正压力方向不变()the transmission direction is constant)-------有利于齿廓传动的平稳性

一对齿轮通过渐开线齿廓的直接接触来传递运动和动力,当不计摩擦时其齿廓间的正压力将沿接触点的公法线作用,渐开线齿廓各接触点公法线都是同一条直线，因而齿廓间的正压力方向始终不变。

渐开线齿廓具有传动可分性(center distance errors do not effect the velocity)--------对齿轮制造和安装十分有利

为渐开线齿轮的传动比为:

对于已经加工好的两个齿轮,已完全确定,所以它们的传动比也已完全确定,与中心距偏差无关。

传动可分性(或中心距可分性):即使两齿轮的中心距与设计中心距有偏差,也不会影响两齿轮的传动比,这一特性称为传动可分性(或中心距可分性)