北师大版八年级下《第一章三角形的证明》单元测试题(含答案)

北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明 单元测试题

一、精心选一选，慧眼识金（每小题2分，共20分）

1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配.

A. ① B. ② C. ③ D. ①和②

2．下列说法中，正确的是（ ）.

A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等

3．如图2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（ ）.

A．4cm B．5cm C．8cm D．34cm

4．如图3，在等边ABC中，D,E分别是BC,AC上的点，且BDCE，AD与BE相交于点P，则12的度数是（ ）.

A．45 B．55 C．60 D．75

00005．如图4，在ABC中，AB=AC，A36，BD和CE分别是ABC和ACB的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（ ）. A．9个 B．8个 C．7个 D．6个

6．如图5，l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处

01

7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：① △ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ AC＝DN. 其中，正确结论的个数是（ ）.

A．3个 B．2个 C． 1个 D．0个

8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E 在同一条直线上（如图7），可以证明ABC≌EDC，得ED=AB. 因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定ABC≌EDC的条件是( ). A．ASA B．SAS C．SSS D．HL

9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置，BE交AD于点F. 求证：重叠部分（即BDF）是等腰三角形. 证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC

又∵BDE与BDC关于BD对称，

2

∴ 23. ∴BDF是等腰三角形.

请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）. ①12；②13；③34；④BDCBDE A．①③ B．②③ C．②① D．③④

10.如图9，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）作线段 BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.

A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）

二、细心填一填，一锤定音（每小题2分，共20分）

1．如图10，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使 △ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是____________.

2．如图11，在RtABC中，BAC90,ABAC，分别过点B,C作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为_______.

3．如图12，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC等于_________度. 4．如图13，在等腰ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若BCE 的周长为50，则底边BC的长为_________.

3

0

5．在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为500，则 底角B的大小为________.

6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)

7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B 与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________.

8．如图15，在ABC中，AB=AC，A120，D是BC上任意一点，分别做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么DE+DF= _______cm.

9．如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC 于点E，若BE4，则AC_______ .

0

10．如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材， 由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？

4

三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）

1．（7分）如图18，在ABC中，ACB900，CD是AB边上的高， A300. 求证：AB= 4BD.

2．（7分）如图19，在ABC中，C90，AC=BC，AD平分CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm. 你能否求出BDE的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.

0

5

3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点， BE与CD相交于O点. 现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；

③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.

(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题： ．．命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 (均填序号). (2)证明你写出的命题. 已知： 求证： 证明：

6

4．（8分）如图21，在ABC中，A900，AB=AC，ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E.求证：CE1BD. 2

5．（8分）如图22，在ABC中，C90.

（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等. （保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数.

0

7

6．（8分）如图23，AOB900，OM平分AOB，将直角三角板的顶 点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问 PC与PD相等吗？试说明理由.

四、拓广探索（本大题12分）

如图24，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N， 交BC的延长线于点M，若A40. （1）求NMB的度数；

（2）如果将（1）中A的度数改为70，其余条件不变，再求NMB的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之；

（4）若将（1）中的A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？

00

8

答案：

一、精心选一选，慧眼识金 1．C； 2．B；

3．D．点拨：BC=BE=3cm，AB=BD=5cm； 4．C．点拨：利用ABD≌BCE； 5．B；

6．D．点拨：三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件； 7．B．点拨：① ②正确； 8．A； 9．C；

10．C．点拨：在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符. 二、细心填一填，一锤定音

1．答案不惟一.如ACBDBC； 2．7厘米. 点拨：利用ABD≌CAE； 3．30；

9

0

4．23．点拨：由BECEACAB27，可得BC502723；

5．700或200.点拨；当ABC为锐角三角形时，B700；当ABC为钝角三角形时，B200； 6．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理； 7．1515cm. 点拨：设CDx，则易证得BDAD10x.在RtACD中，解得x. (10x)2x252，4411BDCDBC. 228．10．点拨：利用含300角的直角三角形的性质得，DEDF9．2. 点拨：在RtAEC中，AEC300，由AE=BE= 4，则得AC=2； 10．16．点拨：AB=26米，AC+BC=34米，故少走8米，即16步. 三、耐心做一做，马到成功

1．∵ACB90，A30，∴AB=2BC，B60.

000又∵CD⊥AB，∴DCB300，∴BC=2BD. ∴AB= 2BC= 4BD. 2．根据题意能求出BDE的周长.

∵C90，DEA90，又∵AD平分CAB，∴DE=DC.

在RtADC和RtADE中，DE=DC，AD=AD，∴RtADC≌RtADE（HL）. ∴AC=AE，又∵AC=BC，∴AE=BC.

∴BDE的周长DEDBEBBCEBAEEBAB. ∵AB=6cm，∴BDE的周长=6cm. 3．（1）①，③；②，④.

（2）已知：D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点，且

AB＝AC，∠ABE＝∠ACD. 求证：OB＝OC，BE＝CD.

证明：∵AB=AC，∠ABE＝∠ACD，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（ASA）.∴BE=CD. 又∵

00ABCACB，∴BCDACBACDABCABECBE

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∴BOC是等腰三角形，∴OB＝OC. 4．延长CE、BA相交于点F.

∵EBFF900,ACFF900，∴EBFACF. 在RtABD和RtACF中，∵DBAACF，AB=AC， ∴RtABD≌RtACF（ASA）. ∴BDCF.

在RtBCE和RtBFE中，∵BE=BE，EBCEBF， ∴RtBCE≌RtBFE（ASA）. ∴CEEF. ∴CE11CFBD. 225．（1）图略. 点拨：作线段AB的垂直平分线. （2）连结BP. ∵点P到AB、BC的距离相等， ∴BP是ABC的平分线， ∴ABPPBC.

又∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∴AABP. ∴AABPPBC1900300. 36．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.

00∵OM平分AOB，点P在OM上，∴PE=PF. 又∵AOB90，∴EPF90.

∴EPFCPD，∴EPCFPD. ∴RtPCE≌RtPDF（ASA），∴PC=PD. 四、拓广探索

（1）∵AB=AC，∴BACB. ∴B110180A1800400700. 220000∴NMB90B907020.

（2）解法同（1）.同理可得，NMB35. （3）规律：NMB的度数等于顶角A度数的一半.

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证明：设A.∵AB=AC，∴BC，∴B11800. 200∵BNM900，∴NMB90B90111800. 22即NMB的度数等于顶角A度数的一半.

（4）将（1）中的A改为钝角，这个规律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延

长线相交所成的锐角等于顶角的一半.

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