湖北省武汉市中考数学备考资料 几何图形演变问题研究与圆的综合运用(元月调考押题集1)配套习题

几何图形演变问题研究与圆的综合运用

预习考题 2009年成都市A卷第20题（探究演变图形中线段的等量关系）.

预习要点 熟悉题中原始图形的性质，搞清楚演变图形与原始图形的异同，采用类似方法探究得到新的结论；解题关键是“先易后难，明确方法，辨析异同，类比解决”. 巩固双基

1. 如图1-1，1-2，已知直线l//m，则图1-1

l

中的∠A、∠B、∠C之间的等量关系是 ；图1-2中的∠A、∠B、∠C之间的等量关系是 ； 2. 在校运动会上，三位同学用绳子将四根同样大小的接力棒分别按横截面如图2-1、2-2、2-3所示的方式进行捆绑，三个图中的四个圆心的连线（虚线）分别构成菱形、正方形、菱形，如果把三种方式所用绳子的长度分别用x，y，z来

A C B

图1-1

m m l

B 图1-2

C A 图2-1

D F A

图2-2 图2-3 C E B

表示，则（ ）

A．xyz B．xyz C．xyz D．xyz 3. 如图3，若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是 .

图3

例2.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图5，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF． （1）如图6，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E.求证：DF＝EF；

（2）探究线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；

A D A D A D P

P(O) F F

E O O

P B C B B C C 图5 变式

图6 图7

1.若上题中的点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图7并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）

变式2.设上题正方形ABCD的边长为4，△PCE能否成为等腰三角形，如果能，请求出CE的长.

例2如图8，在Rt△ABC中，BAC90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E. （1）求证：△ABF∽△COE；

（2）当O为AC边中点，AC=2AB时，如图9，则线段OF与OE有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明. B B D

D F

E F E A A C C O O

图8 图9

变式2.若将上题中的条件“AC=2AB”改成“AC=k·AB “，其余条件不变，则上述结论成立吗？请说明理由.

例3.已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点。连结AC，BD交于点P．

(1) 如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求(2) 如图2，当OA=OB，且

AP的值； PCAD1时，求tan∠BPC的值． AO4(3) 如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶2n时，直接写出tan∠BPC的值．

（图1） （图2） （图3）

思考题

1.已知在△ABC中，∠ABC=90，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC的中点，连接BM、DM.

（1）如图10-1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD和∠BCD所满足的数量关系，请你写出所得结论并予以证明；

（2）如图10-2，若点E在BA的延长线上，在（1）中所得结论是否发生变化?

（3）若点E在AB的延长线上，请你根据条件画出相应图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD和∠BCD所满足的数量关系. B

B

E D A M C

M E A C

D 图10-2 图10-1

2.（1）操作发现

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决

保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求（3）类比探求

保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求

AD的值； ABAEDGGAD的值． AB3.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边AB2，边AD1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点A是点A落在边DC上的对应点．

BC1（1）当矩形ABCD沿直线yxb折叠时（如图1），求点A的坐标和b的值；

2y（2）当矩形ABCD沿直线ykxb折叠时，

①求点A的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式； ②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分 为如图2、3、4所示的三种情形，

请你分别写出每种情形时k的取值范围．（将答案直接填在

y每种情形下的横线上）

y CDC DO( )ABxDCO( )ABxyD（图1） CO( )ABxO( )ABx（图2） （图3） （图4） k的取值范围是 ； k的取值范围是 ；k的取值范围是 ； 4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF。 （1）求证：∠EAF=45°

（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连结CG，求证：BC-CF=（3）若F是DC的中点，AB=4，则EG=

DAA

F

BEC BE

5．在正方形ABCD中， G2CG 2DADFFCBECG（1）若E、F分别在BD、BC的上，且AE⊥EF于E，求证： AB-BF=2ED；

（2）如图，AC交BD于O，过O作OQ⊥OP于O，交BC、DC于Q、P，∠QPC的角平分线PT交OC于T． 求证：BC-QP=2TC

（3）如图（3），在OB、OC上取M、N，过O作OG⊥MC交BC于G，过N作NH ⊥MC交BC于H，若BG = GH，求 A B

45OM的值． ONDADADEOPOMNTFCBQCBGHC6.已知正△ABC和△ADE摆放如图1，点D,E分别在边AB,AC上，以AB,AE为边做平行四边形ABFE,连接CF,FD,DC.

（1）证明△CFD为等边三角形；

(2)将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，如图2，其它条件不变，

证明:△CFD为等边三角形. CC

EFEF

D

DBAAB图2 图1

7.小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究.

（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题。如图1，在⊙0中，C是弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE。请证明此结论；

（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦。如图2，PA,PB组成⊙0的一条折弦。C是劣弦弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.请证明次结论；

（3）如图3，PA.PB组成⊙0的一条折弦，若C是优弧弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论.

CPC DPA BE EEABOA OB O D 图1D图3C

图2

8.如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD， ∠D=90°，AB=AC，AE⊥AC且AE=AD，连BE交AC于F。

⑴如图8，若CD=AD，试猜想BF与EF的数量关系．

⑵ 如图9，若CD AD，问题⑴ BF与EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．

⑶如图9，在第⑵问的条件下，取BC中点M，问线段MF与线段BD之间是否存在某种确定的数量关系若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由？

CDECMFDEF

BA

BA

图8 图9

9.如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧BC上一个动点，且A（-1，0），E（1，0） （1） 如图1，求点C的坐标；（4分）

yCOAEBxD图1

（2） 如图2，连接PA，PC、若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ

的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（4分）

yCQAOEBxPD图2

（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），给出下列两个结论：①

PCPDPA+PC+PD的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你判PAPO断哪一个是正确的，并求其值．（4分）

yCPAOEBxD 10.如图（1），在等腰ΔABC中，AB=AC, ∠ABC=α,在四边形BDEC中，DB=DE, ∠BDE=2α,M为CE的中点，连接AM,DM.

(1) 在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形。 (2) 求证AM⊥DM;

(3) 当α= ，AM=DM.

图3

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，M为x轴正半轴上一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙ O的切线，切点为C，连结AC，交y轴于点E。若D点的坐标为（0，3），B点的坐标为（3，0）。

y（1）求M点的坐标； （2）若∠CPA=30°，求CE的长； CD

E

AO MBPx

（3）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点Q。过C、Q、P作⊙N，弦FQ⊥PQ，试找出线段CQ，FQ，PQ之间的固定的数量关系，并证明。 y

C

Q

P AOx NF

12.如图，在平面直角坐标系中，⊙D与坐标轴分别相交于A(-3,0),B(3,0),C(0,3)三点。

（1）求⊙D的半径；

（2）E为优弧一动点（不与A,B,C三点重合），EN⊥x轴于点N,M为半径DE的中点，连接MN，求证∠DMN=3∠MNE;

(3)在（2）的条件下，当∠DMN=45°时，求E点的坐标。