2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷（解析版）
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________
一、单选题（共8小题）
1.在有理数2，0，﹣1，﹣中，最小的是（ ） A．2
B．0 C．﹣1 D．﹣
2.2019年6月9日中央电视台新闻报道，端午节期间天猫网共计销售粽子123000000个，将数据123000000用科学记数法表示为（ ） A．12.3×107
B．1.23×108 C．1.23×109 D．0.123×109
3.如图，这是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）
A．
B． C． D．
4.下列运算正确的是（ ） A．（﹣a2）3＝﹣a6 C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+a
B．3a2•2a3＝6a6 D．a2+a3＝a5
5.如图，某人从点A出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（ ）
A．24m
B．32m C．40m D．48m
6.如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．60° D．65°
7.如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（ ）
A．x＞
B．x＜ C．x＞3 D．x＜3
8.如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③
＝
﹣1；④
＝2﹣
，其中正确的结论
是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题（共8小题）
9.函数
中，自变量x的取值范围是 ≥﹣ ．
10.一个不透明的口袋中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同．进行大量的摸球试验（每次摸出1个球）后，发现摸到黑球的频率在0.6附近摆动，据此可以估计黑球为 个．
11.关于x的方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
12.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，DC的中点，若BD＝4，EF＝3，则菱形ABCD的周长为 ．
13.如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为 ．
14.为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为 ．
15.如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBn∁nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An﹣1Bn﹣
1Cn﹣1Dn的面积为
Sn，则S2019＝ ．
16.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为 ．
三、解答题（共10小题）
17.先化简，再求值：（
﹣）÷，其中x＝3+．
18.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）． （1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．
（2）已知△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，若点C2的坐标为（﹣2，﹣3），请直接写出直线l的函数解析式．
注：点A1，B1，C1及点A2，B2，C2分别是点A，B，C按题中要求变换后对应得到的点．
19.随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式．某社区为了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户庭的年旅游消费金额进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表．
组别 A B C D E 家庭年旅游消费金额x/元 0≤x≤5000 5000＜x≤10000 10000＜x≤15000 15000＜x≤20000 x＞20000 户数 36 27 m 33 30 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的家庭有 户，表中m＝ ． （2）本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由． （3）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角是多少度？
（4）若该社区有3000户家庭，请你估计年旅游消费在10000元以上的家庭户数．
20.妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》，姐弟俩都想先睹为快．于是小红对弟弟说：我们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如下：我从第一行，你从第三行，同时各自任意选取一个方格，涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形，我就先读，否则你先读．小红设计的游戏对弟弟是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由．（第一行的小方格从左至右分别用A，B，C表示，第三行的小方格从左至右分别用D，E，F表示）
21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k
≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．
22.如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：
≈1.41，
≈1.73，
≈2.45）
23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE． （1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
24.某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
25.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内一点，连接AD，BD．在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE＝90°，以AD和DE为邻边作▱ADEF，连接CD，DF．
（1）若AC＝BC，BD＝DE．
①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为 ． ②如图2，当B，D，F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． （2）若BC＝2AC，BD＝2DE，
＝，且E，C，F三点共线，求的值．
26.在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标．
（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．
2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷（解析版）
参考答案
一、单选题（共8小题）
1.【分析】 有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】 解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜﹣＜0＜2，
故最小的有理数是﹣1． 故选：C．
【知识点】有理数大小比较
2.【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】 解：将数据1 2300 0000用科学记数法表示为1.23×108．
故选：B． 【知识点】科学记数法—表示较大的数
3.【分析】 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】 解：从左面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形．
故选：C． 【知识点】简单组合体的三视图
4.【分析】 各式计算得到结果，即可作出判断． 【解答】 解：A、原式＝﹣a6，符合题意；
B、原式＝6a5，不符合题意； C、原式＝a2﹣a，不符合题意； D、原式不能合并，不符合题意， 故选：A．
【知识点】单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式
5.【分析】 从A点出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，…，这样一直走下去，
他第一次回到出发点A时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为360°，判断多边形的边数，再求路程．
【解答】 解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，
则60n＝360，解得n＝6，
故他第一次回到出发点A时，共走了：8×6＝48（m）．
故选：D．
【知识点】多边形内角与外角
6.【分析】 由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠EHD的度数，利用邻补角互补可求
出∠CHG的度数，结合角平分线的定义可求出∠CHM的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠GMH＝∠CHM＝65°，此题得解．
【解答】 解：∵AB∥CD，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝180°﹣50°＝130°． ∵HM平分∠CHG，
∴∠CHM＝∠GHM＝∠CHG＝65°． ∵AB∥CD，
∴∠GMH＝∠CHM＝65°．
故选：D．
【知识点】平行线的性质
7.【分析】 根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y＝0求出x值，从而找出点B的坐标，观
察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．
【解答】 解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），
∴b＝3，
令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝， ∴点B（，0）． 观察函数图象，发现：
当x＜时，一次函数图象在x轴上方， ∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜． 故选：B．
【知识点】一次函数与一元一次不等式
8.【分析】 由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE＝90°，
从而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，
利用中位线定理，得HO∥BG且HO＝BG；由△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH＝OG＝OE，得出点H在正方形CGFE的外接圆上，根据圆周角定理得出∠FHG
＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，从而证得△EHM∽△GHF；设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，由HO∥BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出
＝
，得到
＝
，即a2+2ab﹣b2＝0，从而求得b，得到HO＝
＝
﹣1，设正方
＝
形ECGF的边长是2b，则EG＝2b，通过证得△MHO△MFE，得到
＝＝，进而得到＝＝＝﹣1，进一步得到＝
＝﹣1．
【解答】 解：如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG， 在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE， ∴∠BEC+∠HDE＝90°， ∴GH⊥BE．
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点， ∴OH＝OG＝OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上， ∵EF＝FG，
∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG， ∴△EHM∽△GHF， 故②正确；
∵△BGH≌△EGH， ∴BH＝EH，
又∵O是EG的中点， ∴HO∥BG，
∴△DHN∽△DGC， ∴
＝
，
设EC和OH相交于点N．
设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a， ∴
＝
，即a2+2ab﹣b2＝0，
）b，或a＝（﹣1﹣
）b（舍去），
解得：a＝b＝（﹣1+则
＝
﹣1，
∴＝﹣1，
故③正确；
∵△BGH≌△EGH， ∴EG＝BG，
∵HO是△EBG的中位线， ∴HO＝BG， ∴HO＝EG，
设正方形ECGF的边长是2b， ∴EG＝2b， ∴HO＝b，
∵OH∥BG，CG∥EF， ∴OH∥EF，
∴△MHO△MFE， ∴
＝
＝OM，
＝
＝
﹣1，
＝
，
∴EM＝∴
＝
∴＝﹣1，
∵EO＝GO，
∴S△HOE＝S△HOG， ∴
＝
﹣1，
故④错误， 故选：A．
【知识点】正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
二、填空题（共8小题）
9.【分析】 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解． 【解答】 解：根据题意得：x+4≥0，
解得：x≥﹣4．
故答案为：x≥﹣4．
【知识点】函数自变量的取值范围
10.【分析】 根据题意，可以计算出黑球的个数，本题得以解决． 【解答】 解：由题意可得，
黑球有：25×0.6＝15（个）， 故答案为：15． 【知识点】用样本估计总体
11.【分析】
根据判别式的意义得到△＝32﹣4×（k﹣1）＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】 解：根据题意得△＝32﹣4×1×（k﹣1）＝0，
解得k＝故答案为
【知识点】根的判别式
12.【分析】
连接AC，利用三角形的中位线定理求得AC的长，从而利用菱形的性质求得AO和BO的长，利用勾股定理求得边长后即可求得周长．
．
【解答】 解：如图，连接AC，
∵E，F分别是AD，DC的中点，EF＝3， ∴AC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD为矩形，BD＝4，
∴AC⊥BD，AO＝3，BO＝2， ∴AB＝∴周长为4故答案为：4
＝， ．
，
【知识点】三角形中位线定理、菱形的性质
13.【分析】 根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度数，根据弧长公式计算即可． 【解答】 解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°， ∴
的长＝
＝2π，
故答案为：2π．
【知识点】圆周角定理、弧长的计算
14.【分析】
设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为（x﹣10）元，根据“用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同”列出方程．
【解答】 解：设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为（x﹣10）元，所以用600元购买A种
树苗的棵数是由题意，得故答案是：
，用450元购买B种树苗的棵数是＝＝
． ．
．
【知识点】由实际问题抽象出分式方程
15.【分析】
由正方形的性质得出A1D1∥A2C1，则
＝
，得出A1D1＝，同理可得A2D2＝，
﹣1
S1＝1﹣×1×＝40﹣×40，S2＝4﹣×4，S3＝42﹣×42，…，Sn＝4n1﹣×4n
﹣
＝×4n1，即可得出结果．
﹣
【解答】 解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形， ∴A1D1∥A2C1，
∴
＝
，
∴＝，
∴A1D1＝， 同理可得：A2D2＝，
∴S1＝1﹣×1×＝40﹣×40，S2＝4﹣×4，S3＝42﹣×42，…，Sn＝4n1﹣×4n1＝
﹣
﹣
×4n1，
﹣
∴S2019＝×42018， 故答案为：×42018．
【知识点】规律型：图形的变化类、正方形的性质
16.【分析】
由矩形的性质得到DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，根据已知条件得到AM＝BN，推出四边形ABNM的矩形，得到∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，根据折叠的性质得到DC′＝DC＝5，C′E＝CE，根据勾股定理得到C′M＝
＝
＝
3，根据矩形的判定和性质得到CN＝DM＝4，∠CNM＝90°，再由勾股定理即可得到结论．
【解答】 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，
∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2，
∴AM＝BN， ∵AM∥BN，
∴四边形ABNM的矩形，
∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5， ∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E， ∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE， ∵AM＝2，
∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4， 如图1，在Rt△C′MD中，C′M＝∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°， NE＝CN﹣CE＝4﹣CE，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（4﹣CE）2+22＝CE2， 解得：CE＝．
如图2，在Rt△C′MD中，C′M＝∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°， NE＝CE﹣CN＝CE﹣4，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（CE﹣4）2+82＝CE2， 解答：CE＝10， 故答案为：或10．
＝
＝3，
＝
＝3，
【知识点】矩形的性质、翻折变换（折叠问题）
三、解答题（共10小题）
17.【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
﹣
]•
＝
•
＝
•
＝
【解答】 解：原式＝[
， 当x＝3+
时，原式＝．
【知识点】分式的化简求值
18.【分析】
（1）利用网格特点和平移的性质写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点
得到△A1B1C1；
（2）根据对称的特点解答即可．
【解答】 解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，
∵C（3，2），C2（﹣2，﹣3），△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，
∴直线l垂直平分直线CC2，
∴直线l的函数解析式为y＝﹣x．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式、作图-平移变换、作图-轴对称变换
19.【分析】 （1）根据A组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的家庭数，从而可以求得m的
值；
（2）根据题目中的数据和中位数的定义，可以得到中位数落在哪一组； （3）根据统计图中的数据可以求得在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角的度数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出年旅游消费在10000元以上的家庭数．
【解答】 解：（1）本次被调查的家庭有：36÷24%＝150（户），m＝150﹣36﹣27﹣33﹣30＝24，
故答案为：150，24；
（2）本次调查数据的中位数落在C组，
理由：∵本次抽查了150户，36+27＝63，36+27+24＝87， ∴本次调查数据的中位数落在C组；
（3）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角是：360°×（4）3000×
＝1740（户），
＝79.2°；
答：年旅游消费在10000元以上的家庭有1740户．
【知识点】用样本估计总体、扇形统计图、中位数、频数（率）分布表
20.【分析】
画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出图案是轴对称图形数量，然后计算她们获胜的概率，再根据概率的大小判断该游戏是否公平．
【解答】 解：不公平，理由如下：
根据题意，画树状图如图：
由树状图可知，共有9种等可能出现的情况，其中得到轴对称图案的情况有5种，分别为（A、D）、（A、F）、（B、E）、（C、D）、（C、F）． ∴P（小红涂）＝． P（弟弟涂）＝． ∵＞．
∴小红设计的游戏对弟弟不公平．
【知识点】利用轴对称设计图案、游戏公平性、列表法与树状图法
21.【分析】
（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，从而可以求得四边形MBOC是平行四
边形，根据面积公式即可求得．
【解答】 解：（1）∵BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B， 则﹣2＝
，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝， ∵点A的纵坐标是4， ∴4＝，得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2）， ∴
，解得
，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）∵y＝2x+2与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，2）， ∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0）， ∴OC＝MB＝2， ∵BM⊥x轴，
∴MB∥OC，
∴四边形MBOC是平行四边形，
∴四边形MBOC的面积是：OM•OC＝4．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
22.【分析】 过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由DE∥CF，DC∥EF，∠CFE＝
90°可得出四边形CDEF为矩形，设DE＝xnmile，则AE＝x（nmile），BE＝
x（nmile），
由AB＝6nmile，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再在Rt△CBF中，通过解直角三角形可求出BC的长．
【解答】 解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．
则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°．
∵DC∥EF，
∴四边形CDEF为平行四边形． 又∵∠CFE＝90°， ∴▱CDEF为矩形， ∴CF＝DE．
根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°． 设DE＝x（nmile），
在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝∴AE＝
＝x（nmile）．
， ，
在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝∴BE＝
＝
x（nmile）．
∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB， ∴x﹣
x＝6，解得：x＝9+3
，
∴CF＝DE＝（9+3）nmile．
， +3
≈20（nmile）．
在Rt△CBF中，sin∠CBF＝∴BC＝
＝
＝9
答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile．
【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题
23.【分析】
（1）可证得BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，则∠BDE+∠FDE＝90°，结论得证； （2）先求出AC长，再求DE长，在Rt△BCD中求出BD长，在Rt△BED中求出BE长，证得△FDE∽△DBE，由比例线段
【解答】 解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°， 即∠BDF＝90°， ∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径， ∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
可求出DF长．
∴AB＝2BC＝2×4＝8， ∴
∵点D是AC的中点， ∴
，
＝4
，
∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴
在Rt△BCD中，在Rt△BED中，BE＝
，
＝＝
＝2
， ＝5，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE， ∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°， ∴△FDE∽△DBE， ∴∴
，即．
，
【知识点】三角形的外接圆与外心、含30度角的直角三角形、切线的判定与性质、圆周角定理
24.【分析】
（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，得到当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，得到当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，于是得到结论．
【解答】 解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n， 将（90，30），（60，120）代入得
，
解得：，
∴y＝﹣3x+300； 综上所述，y＝
；
（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400， 当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000， 综上所述，W＝
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
；
∵﹣1＜0，对称轴x＝﹣＝105，
∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，
∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600， 当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000， ∵﹣3＜0，对称轴x＝﹣
＝65，
∵60＜x≤90，
∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675， ∵3675＞3600，
∴当x＝65时，W最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【知识点】二次函数的应用
25.【分析】
（1）①证明△BCD≌△ACF（SAS），即可推出△DCF是等腰直角三角形解决问题． ②结论仍然成立．如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．证明方法类似（1）．
（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．证明△CBD∽△CAF，推出＝
＝2，∠BCD＝∠ACF，推出∠BCA＝∠DCF＝90°，证明∠ADC＝90°，由CD：
AC＝4：5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，求出AF，CE（用k表示）即可解决问题．
【解答】 解：（1）①如图1中，连接CF．设AC交BF于G．
∵四边形AFED是平行四边形，
∴AF＝DE，DE∥AF， ∵BD＝DE， ∴AF＝BD，
∵∠BDE＝90°，
∴∠EDF＝∠DFA＝90°＝∠BCG， ∵∠CGB＝∠AGF， ∴∠CBD＝∠CAF， ∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（SAS）， ∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF， ∴∠BCA＝∠DCF＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形， ∴DF＝
CD．
CD．
故答案为DF＝
②结论仍然成立．
理由：如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．
∵四边形AFED是平行四边形， ∴AF＝DE，DE∥AF， ∵BD＝DE，
∴AF＝BD，
∵∠BDE＝90°，
∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG， ∵∠CGB＝∠AGH，
∴∠CBD＝∠CAF， ∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（SAS）， ∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF， ∴∠BCA＝∠DCF＝90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴DF＝
CD．
（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．
∵四边形AFED是平行四边形， ∴AF＝DE，DE∥AF， ∵∠BDE＝90°，
∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG， ∵∠CGB＝∠AGH， ∴∠CBD＝∠CAF， ∵∴
＝＝
＝2， ，
∴△CBD∽△CAF， ∴
＝
＝2，∠BCD＝∠ACF，
∴∠BCA＝∠DCF＝90°， ∵AD∥EF，
∴∠ADC+∠DCF＝180°，
∴∠ADC＝90°，
∵CD：AC＝4：5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k， ∴CF＝CD＝2k， ∴EC＝EF﹣CF＝k， ∴DE＝AF＝∴
＝
＝
． ＝
＝
k，
【知识点】相似形综合题
26.【分析】
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）作PE∥x轴，交AB于点E，由S△AQD＝2S△APQ且△AQD与△APQ是等高的两个三角形知
＝，证△PQE∽△DQB得
＝
＝，据此求得PE＝2，求得直线AB
的解析式为y＝x+1，设E（x，x+1），知P（x﹣2，x+1），将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4求得x的值，从而得出答案；
（3）证∠GHM＝90°，再证点C、G、H、M共圆得∠GCH＝∠GMH＝60°，据此知点H在与y轴夹角为60°的定直线上，从而得BH⊥CH时，BH最小，作HP⊥x轴，并延长PH交AC于点Q，证∠BHP＝∠HCM＝30°，设OP＝a，知CQ＝a，从而得QH＝
a，BP＝1+a，在Rt△BPH中，得出HP＝
（a+1），BH＝2（1+a），根据
QH+HP＝AD＝4可求得a的值，从而得出答案．
【解答】 解：（1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得：解得
，
，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，
∵A（3，4），AD⊥x轴， ∴D（3，0），
∵B（﹣1，0），
∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，
∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形， ∴
＝，
∵PE∥x轴， ∴△PQE∽△DQB， ∴∴
＝
＝，
＝，
∴PE＝2，
∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，
设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），
将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（x+2）2+3（x+2）+4＝x+1， 解得x1＝3+，x2＝3﹣，
当x＝3+时，x﹣2＝3+﹣2＝1+，x+1＝3++1＝4+， ∴点P（1+，4+）；
当x＝3﹣时，x﹣2＝3﹣﹣2＝1﹣，x+1＝3﹣+1＝4﹣， ∴P（1﹣，4﹣），
∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点， ∴﹣1＜x﹣2＜3， ∴点P的坐标为（1+
，4+
）或（1﹣
，4﹣
）；
（3）由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，
∴C（0，4）， ∵A（3，4）， ∴AC∥x轴，
∴∠OCA＝90°， ∴GH⊥MN，
∴∠GHM＝90°，
在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°， ∴点C、G、H、M共圆， 如图2，连接CH，
则∠GCH＝∠GMH＝60°，
∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，
∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q， ∵∠GCH＝60°， ∴∠HCM＝30°， 又BH⊥CH，
∴∠BHC＝90°，
∴∠BHP＝∠HCM＝30°， 设OP＝a，则CQ＝a， ∴QH＝
a，
∵B（﹣1，0）， ∴OB＝1， ∴BP＝1+a， 在Rt△BPH中，HP＝∵QH+HP＝AD＝4， ∴
a+
（a+1）＝4，
，
． ＝
（a+1），BH＝
＝2（1+a），
解得a＝
∴BH最小＝2（1+a）＝
【知识点】二次函数综合题
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