2008新课标高三专题讲座之数列(教师用)

1．在等差数列an中，a2a7a9为常数，则其前（ ）项和也为常数 （A）6

（B）7

（C）11

（D）12

解析：等差数列an的前k项和为常数即a1ak为常数，而a2a7a9=3a6为常数， ∴2a6=a1a11 为常数，即前11项和为常数，选C。注意：千万不要以为a2a7a9=

，是指两项和等于两项和，三项和a18=a1a17，那就大错特错了！所谓“下标和相等则对应项的和相等”

等于三项和„„。等差数列中“n项和”与“两项和（转化为a1+an）”有关，某一项或某几项和均需转化

为“两项和”才能与“n项和”联系起来。

2．在等比数列an中，S2 =40，S4 =60，则S6等于 ( ) A 10 B 70 C 80 D 90

解析：在等比数列an中，第一个两项和为40，第二个两项和为20（注意：S4是前4项和，不是两项和），则第三个两项和为10，S6为三个两项和相加，选B。

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2、a4是方程x-x-2=0的两个根，则S5= （ A ） A． 5/2 B．5 C．－5/2 D．－5

4．一种计算装置，有一个数据入口A和一个运算出口B，执行某种运算程序。 （1）当从A口输入自然数1时，从B口得到实数1/3，记为f(1)1/3；

（2）当从A口输入自然数n(n≥2)时，在B口得到的结果f(n)是前一结果f(n1)的

当从A口输入3时，从B口得到 2

2(n1)1倍。

2(n1)311 ；要想从B口得到， 3523031 1 2 则应从A口输入自然数 24 .，

5．在如图的表格中，每格填上一个数字，使每一横行成等差数

列，每一纵列成等比数列，则abc 1

6．已知数列{an}的前n项和Snn21，其中n=1，2，3，„，那么a5__9___ 2 1 a b c *7．已知数列{an}，那么“对任意的nN,点Pn(n,an)都在直线2xy10上”是“{an}为等差数

列”的（ A ）条件 A．充分而不必要

8．已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则a2（ A ）

A．4 B．2 C．1 D．－2

【典例分析】

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B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

2008新课标高三数学专题讲座·数列篇 石嘴山市光明中学 潘学功 〖例1〗已知数列an满足a1＝1 ，an＝3n13n1。（1）求a2,a3；（2）证明：an。 an1（n≥2）

2解：（1）解： ∵a11，∴a2314，a332413

(2) 证明：已知 anan13n1(n2) 得

an(anan1)(an1an2)„(a2a1)a1 3n13n23n1„31 

23113n11，∴an当n1时，a1 22〖例2〗已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a35，S15225。

a （1）求数列{an}的通项an； （2）设bn2n2n，求数列{bn}的前n项和Tn。

解：（1）设等差数列{an}首项为a1，公差为d，由题意，得

a12d5 151415a1d22.52解得 a11 d2∴an2n1. （2）bn2an2n1n42n， 2∴Tnb1b2bn

1(4424n)2(12n) 24n14n2n =

62n24nnn 33〖例3〗数列an中，a3=1，a1a2„anan1（n=1,2,3，„）。 （Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

（Ⅲ）设bn=log2Sn，存在数列{cn}使得cn·bn3·bn4= 1，试求数列{cn}的前n项和。

11解：（Ⅰ）∵a1a2，a1a2a3，∴2a1a31，∴a1=，a2=.„„„„3分

22（Ⅱ）∵Sn=an1=Sn1Sn,∴2Sn=Sn1,∴{Sn}是首项为S1＝a1∴Sn=

Sn1=2，„„„„„„„„„„„„„5分 Sn1，公比为2的等比数列. 21n1n22=2.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 2第 2 页 共 6 页

2008新课标高三数学专题讲座·数列篇 石嘴山市光明中学 潘学功 （Ⅲ）∵bn=log2Sn，Sn=2n2，∴bn= n-2，bn3= n+1，bn4= n+2，

∴cn(n1)(n2)= 1，cn=

1.„„„„„„„„„„„„11分

(n1)(n2)13141111n)=—=. n1n22n22n4∴c1c2cn=(—)+()+„+(

〖例4〗已知点An(an,（1）证明：数列{

121311)（n∈N*）在函数y24的图像上，a11。 an1x11}为等差数列；（2）设,记Snb1b2„bn，求Sn。 bn211ananan1解：（1） ∵点An(an,1an111)在函数y24的图像上， an1x14，并且an0 2an∴=即

1111， 整理得 44222anaan1an1n∵a11，∴

(n1,nN)，

1

1 2a1

}是以1为首项、4为公差的等差数列.

∴ 数列{

1an2（2）由（1）知

114(n1)4n3， 2an∴ an21， 4n314n3∵an0， ∴an，

bn＝

111anan1=

14n34n14n14n3,

4∴Snb1b2bn

=

51954n14n3 4444n11 4第 3 页 共 6 页

=

2008新课标高三数学专题讲座·数列篇 石嘴山市光明中学 潘学功

〖例4〗在数列an中，a12，an14an3n1，（n∈N*）。 （Ⅲ）证明不等式Sn1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立。

（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设an14an3n1，得

an1(n1)4(ann)，nN*．

又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知ann4n1，于是数列an的通项公式为

an4n1n．

4n1n(n1)所以数列an的前n项和Sn． 32（Ⅲ）证明：对任意的nN*，

4n1n(n1)4n11(n1)(n2)Sn14Sn4

32321(3n2n4)≤0．

2所以不等式Sn1≤4Sn，对任意nN*皆成立．

【能力培养】

1、设等比数列{an}的公比q1，前n项和为Sn。已知a32，S45S2，求{an}的通项公式。

a1(1qn)解：由题设知a10，Sn，

1q第 4 页 共 6 页

2008新课标高三数学专题讲座·数列篇 石嘴山市光明中学 潘学功 a1q22，2a(1q)1．则a1(1q4)5 ② 1q1q由②得1q45(1q2)，(q24)(q21)0，(q2)(q2)(q1)(q1)0， 因为q1，解得q1或q2．

当q1时，代入①得a12，通项公式an2(1)n1； 当q2时，代入①得a1

2、设不等式组x>0且y>0且y<－nx+3n所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)（n∈N*）。

（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；（2）设bn2nf(n)，Sn为{bn}的前n项和，求Sn。 解：（1）由已知易于得到f(1)3， f(2)6；

当x1时，y2n，可取格点2n个；当x2时,yn，可取格点n个 ∴f(n)3n. （2）由题意知: bn3n2n

Sn3216229233n2n„„„①

∴ 2Sn3226239243n2n1„„„② ∴①—②得Sn32132232332n3n2n1 3(2222)3n2123nn111，通项公式an(2)n1． 22

22n13n2n1 312 3(2n12)3n2n1

∴Sn6(3n3)2n1

3、设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313。 （Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn。 bn第 5 页 共 6 页

2008新课标高三数学专题讲座·数列篇 石嘴山市光明中学 潘学功 412dq21，解：（Ⅰ）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且 214dq13，解得d2，q2． 所以an1(n1)d2n1，

bnqn12n1． （Ⅱ）

Sn1an2n1n1． bn2352n32n1n1，① 12n2222252n32n12Sn23n3n2，②

2222222n1②－①得Sn222n2n1，

222212n1112212n2n1

22221n12n1222n1 12122n36n1．

24、已知数列{an}中，a15，an2an12n1（n∈N*且n≥2）。（Ⅰ）求a2、a3的值；（Ⅱ）是否存

n在实数λ，使得数列{(an+λ)/2}为等存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

1解：（Ⅰ）依题意，有

a22a1221104113， a32a2231268133；

（Ⅱ）因为an2an12n1（nN且n2），所以

an2an12n1an111． 2n2n2n12n显然，当且仅当

1an1，即时，数列0n为等差数列．

2n2第 6 页 共 6 页