南京鼓楼实验学校八年级数学上册第一单元《三角形》测试题(含答案解析)

一、选择题

1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A．1，2，4

B．5，6，11

C．3，3，3

D．4，8，12

2．如图，ABC中，BC边上的高是（ ）

A．AE 的度数是（ ）

B．AD C．CD D．CF

3．如图，在ABC中，A55，∠C65，BD平分ABC，DE//BC，则BDE

A．50° B．25° C．30° D．35°

4．内角和为720°的多边形是（ ）． A．三角形

B．四边形

C．五边形 D．六边形

5．已知，D是ABC的边BC上一点，DE//BA，CBE和CDE的平分线交于点

F，若F，则ABE的大小为（ ）

5A． B． C．2

26．在ABC中，若B与C互余，则ABC是（ ）三角形

A．锐角三角形 的度数是（ ）

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．

32D．等边三角形

7．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC

A．65 A．3

B．75 B．4

C．85 C．11

D．105 D．12

8．如果一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长可能是（ ） 9．如图，△ABC中AC边上的高是哪条垂线段．（ ）

A．AE A．六边形

B．CD B．五边形

C．BF C．四边形

D．AF D．三角形

10．内角和与外角和相等的多边形是（ ）

11．具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） ．．A．ABC C．AB3C

B．ABD．A1C 211BC 2312．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（ ）

A．2

B．3

C．4

D．5

二、填空题

13．在一个三角形中，若其中一个内角的度数是另一个内角的2倍，则我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知某“倍角三角形”的一个内角的度数为60°，则其它两个内角的度数分别是_______．

14．设三角形三内角的度数分别为x,y,z，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对(y,z)(yz)是x的和谐数对，当x150时，对应的和谐数对有一个，它为(10,20)；当x66时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的

和谐数对(y,z)有三个时，请写出此时x的范围_______．

15．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．

16．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果147，

220，那么3 __________．

17．如图，点P是三角形三条角平分线的交点，若∠BPC=100，则∠BAC=_________．

18．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°，则它是___________边形，从该多边形的一个顶点，可以引__________条对角线．

19．如图，若AB//CD，BF平分ABE，DF平分CDE，BED90，则

BFD______．

20．一个三角形的三个内角度数之比为2:3:5，那这个三角形一定是三角形__________．

三、解答题

21．如图，在ABC中，A48,CE是ACB的平分线， B、C、D在同一直线上，

BECBFD,D40.

（1）求BCE的度数； （2）求B的度数．

22．如图①，在ABC中，CD,CE分别是ABC的高和角平分线，

BAC,B

（1）若BAC70,B40，求DCE的度数

（2）若BAC,B，则DCE (用含,的代数式表示)； （3）若将ABC换成钝角三角形，如图②，其他条件不变，试用含,的代数式表示

DCE的度数，并说明理由；

（4）如图③，若CE是ABC外角ACF的平分线，交BA延长线与点E，且

30，则DCE (直接写出结果)

23．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD平分∠BAC，点E为AD延长线上的点，EF⊥BC于F，求∠DEF的度数．

24．已知：在RT△ABC中，∠ACB═90°，CD⊥AB，AE是∠CAB的角平分线，AE与CD交

于点F．

（1）如图1，求证：∠CEF＝∠CFE．

（2）如图2，过点E作EG⊥AB于点G，请直接写出图中与∠CAE互余的所有角．

25．如图，已知：点P是ABC内一点．

（1）求证：BPCA；

（2）若PB平分ABC，PC平分ACB，A40，求P的度数． 26．已知am2n2，bm2，cmn，且m>n>0． （1）比较a，b，c的大小；

（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】

解：A、1+2<4，不能构成三角形； B、5+6=11，不能构成三角形； C、3+3>3，能构成三角形； D、8+4=12，不能构成三角形． 故选：C． 【点睛】

本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是

否大于最大的数．

2．B

解析：B 【分析】

根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可． 【详解】

由图可知，过点A作BC的垂线段AD，则ABC中，BC边上的高是AD． 故选：B 【点睛】

本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．

3．C

解析：C 【分析】

根据三角形内角和求出∠ABC的度数，再根据角平分线和平行线的性质求角． 【详解】

解：在ABC中，

∠ABC=180°-∠A-∠B=180°-55°-65°=60°， ∵BD平分ABC， ∴∠ABD=∠CBD=∵DE//BC， ∴BDE=∠CBD=30°， 故选C． 【点睛】

本题考查了三角形内角和、角平分线的意义和平行线的性质，准确识图并能熟练应用三角形内角和、角平分线和平行线的性质是解题关键．

1∠ABC=30°， 24．D

解析：D 【分析】

根据多边形内角和的计算方法（n-2）•180°，即可求出边数． 【详解】

解：依题意有（n-2）•180°=720°， 解得n=6． 该多边形为六边形， 故选：D． 【点睛】

本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和计算公式正确计算是解题关键．

5．C

解析：C 【分析】

先利用角平分线和三角形外角的性质可得BED2，再根据平行线的性质定理即可得出ABE的大小． 【详解】 解：如下图所示，

∵CBE和CDE的平分线交于点F， ∴CBE21,CDE22， ∵F12，F， ∴21，

∵EBDBEDEDC，

∴BEDEDCEBD22212， ∵DE//BA，

∴ABEBED2， 故选：C． 【点睛】

本题考查三角形外角的性质，平行线的性质定理，与角平分线有关的计算．正确理解三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．

6．B

解析：B 【分析】

由B与C互余，结合ABC180，求解A，从而可得答案． 【详解】 解：

B与C互余，

BC90， ABC180， A90，ABC是直角三角形，

故A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【点睛】

本题考查的是两个角互余的概念，三角形的内角和定理的应用，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．

7．B

解析：B 【分析】

根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可． 【详解】

解：∵∠CEA=60，∠BAE=45， ∴∠ADE= 180−∠CEA−∠BAE=75， ∴∠BDC=∠ADE=75， 故选：B 【点睛】

本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．

8．B

解析：B 【分析】

根据三角形的三边关系定理可得7-4＜x＜7+4，计算出不等式的解集，再确定x的值即可． 【详解】

设第三边长为x，则7-4＜x＜7+4， 3＜x＜11，

∴A、C、D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】

考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握第三边的范围：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

9．C

解析：C 【分析】

根据三角形的高的定义，△ABC中AC边上的高是过B点向AC作的垂线段，即为BF． 【详解】

解：∵BF⊥AC于F，

∴△ABC中AC边上的高是垂线段BF． 故选：C． 【点睛】

本题考查了三角形的高的定义，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．

10．C

解析：C 【分析】

设这个多边形为n边形，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】

解：设这个多边形为n边形，由题意得 （n-2）180°=360°， 解得n=4，

所以这个多边形是四边形． 故选：C 【点睛】

本题考查多边形的内角和公式，多边形的外角和360°，熟知两个定理是解题关键．

11．C

解析：C 【分析】

利用三角形的内角和，代入已知条件求出角的度数，逐一判断是否有直角即可． 【详解】

A：ABC，代入AB+C=180得：2∠C=180C=90，故此选项不符合题意； B：AB1C，代入AB+C=180得：211∠C+∠C+∠C=2∠C=180C=90，故此选项不符合题意； 22C：AB3C，代入AB+C=180得：

3∠C+3∠C+∠C=180∠C26，故此选项符合题意；

D：A11BC代入AB+C=180得：2312∠C+∠C+∠C=180C=90，故此选项符合题意； 33故答案选：C 【点睛】

本题主要考查了三角形的内角和，熟悉掌握三角形的内角和运算方式是解题的关键．

12．B

解析：B 【分析】

根据三角形的稳定性，要使它不变形，只需每一条边都分别在一个三角形之中即可 【详解】

解：要使六边形木框不变形，则需每一条边都分别在一个三角形之中，观察图形可得，至少还需要再钉上3根木条 故选：B

【点睛】

本题考查了三角形的稳定性，观察图形如何使每一条边都分别在一个三角形之中是解决本题的关键

二、填空题

13．30°90°或40°80°【分析】根据倍角三角形的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论【详解】在△ABC中不妨设∠A=60①若∠A=2∠C则∠C=30∴∠B=；②若∠C=2∠A则∠C=1

解析：30°，90°或40°，80° 【分析】

根据“倍角三角形”的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论． 【详解】

在△ABC中，不妨设∠A=60， ①若∠A=2∠C，则∠C=30， ∴∠B=180603090； ②若∠C=2∠A，则∠C=120，

∴∠B=180601200(不合题意，舍去)； ③若∠B=2∠C，则3∠C18060=120， ∴∠C40，∠B=180604080；

综上所述，其它两个内角的度数分别是：30，90或40，80． 【点睛】

本题考查了“倍角三角形”的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．

14．（3876）（3381）【分析】根据和谐数对的定义求出当x=66时的两组数对；再分当时当时当时三种情况讨论从而得出结论【详解】解：当时180-66=114则114÷3=3838×2=76此时和谐数对

解析：（38，76），（33，81） 0x60 【分析】

根据“和谐数对”的定义求出当x=66时的两组数对；再分当0x60时，当60x120时，当120x180时，三种情况讨论，从而得出结论． 【详解】 解：当x66时， 180-66=114，

则114÷3=38，38×2=76，此时和谐数对为（38，76）， 或66÷2=33，114-33=81，此时和谐数对为（33，81）， 若对应的和谐数对(y,z)有三个，

x3x180x当0x60时，它的和谐数对有(1803x,2x)，(,180)，(，

2232(180x))； 3x3x2(180x)180x)， 当60x120时，它的和谐数对有(,180)，(，

32232(180x)180x)， 当120x180时，它的和谐数对有(，

33对应的和谐数对(y,z)有三个时，此时x的范围是0x60，

故答案为：（38，76），（33，81）；0x60． 【点睛】

本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．

15．5或4【分析】先设长度为412的高分别是ab边上的边c上的高为h△ABC的面积是S根据三角形面积公式可求结合三角形三边的不等关系可得关于h的不等式组解即可【详解】解：设长度为412的高分别是ab边上

解析：5或4． 【分析】

先设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，根据三角形面积公式，可求a的不等式组，解即可． 【详解】

解：设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么

2S2S2S,b,c，结合三角形三边的不等关系，可得关于h412h2S2S2S,b,c， 412h又∵a-b＜c＜a+b， a∴即

2S2S2S2Sc， 412412S2S2S， 3h3解得3＜h＜6， ∴h=4或h=5， 故答案为：5或4． 【点睛】

本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组．求出整数值后，能根据三边关系列出不等式组是解题关键．

16．35°【分析】先求出等边三角形正方形正五边形的内角度数再根据三角形的外角和为360°即可求解【详解】∵等边三角形的内角度数是60°正方形的度数是90°正五边形的度数是∴∠3=360°-60°-90°

解析：35°

【分析】

先求出等边三角形，正方形，正五边形的内角度数，再根据三角形的外角和为360°，即可求解． 【详解】

∵等边三角形的内角度数是60°，正方形的度数是90°，正五边形的度数是

(52)180108，

5∴∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=360°-60°-90°-108°-47°-20°=35°， 故答案是：35° 【点睛】

本题主要考查正多边形的内角和以及外角和定理，准确分析图形中角的数量关系，是解题的关键．

17．【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=故可得到∠ABC+∠ACB=即可得出答案【详解】在△BPC中∠BPC=∴∠PBC+∠PCB=∵P是三角形三条角平分线的交点∴∠ABC=2∠PBC∠ 解析：20

【分析】

先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=80，故可得到∠ABC+∠ACB=160，即可得出答案． 【详解】

在△BPC中，∠BPC=100， ∴∠PBC+∠PCB=80，

∵P是三角形三条角平分线的交点， ∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB， ∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=160， ∴∠BAC=180(ABCACB)20， 故答案为：20． 【点睛】

此题考查三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，熟练应用定理解决问题是解题的关键．

18．九六【分析】设边数为n建立方程即可n边形一个顶点引的对角线为(n-3)条【详解】解：设多边形的边数为n则：解得：n=9对角线条数为n-3=6故答案为：9；6【点睛】本题考查多边形内角和与外角和关系以

解析：九 六 【分析】

设边数为n，建立方程即可，n边形一个顶点引的对角线为(n-3)条． 【详解】

解：设多边形的边数为n,则：

(n2)•1803603180

解得：n=9 对角线条数为n-3=6 故答案为：9；6 【点睛】

本题考查多边形内角和与外角和关系，以及对角线的条数，属于基础题．

19．45°【分析】如图作射线BF与射线BE根据平行线的性质和三角形的外角性质可得∠ABE+∠EDC＝90°然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质即可求出答案【详解】解：如图作射线BF与射线BE∵AB∥

解析：45° 【分析】

如图，作射线BF与射线BE，根据平行线的性质和三角形的外角性质可得∠ABE+∠EDC＝90°，然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质即可求出答案． 【详解】

解：如图，作射线BF与射线BE，∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2， ∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC， ∴∠ABE+∠EDC＝90°，

∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠1+∠3＝

11∠ABE+∠EDC＝45°， 22∵∠5＝∠2+∠3，

∴∠5＝∠1+∠3＝45°，即∠BFD＝45°， 故答案为：45°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形的外角性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．

20．直角【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°可求出三个内角分别是36°54°90°则这个三角形一定是直角三角形【详解】解：设三角分别为2x3x5

解析：直角 【分析】

若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．

【详解】

解：设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x＝180°， 解得x＝18°．

故三个角的度数分别为36°，54°，90°． 故答案为：直角． 【点睛】

此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．

三、解答题

21．（1）ECB40；（2）B52 【分析】

（1）根据同位角相等，两直线平行判定DF//CE，然后再根据平行线的性质求解； （2）根据角平分线的定义求得ACB80，然后利用三角形内角和求解． 【详解】

BECBFD，

DF//CE， ECBD．

解：（1）

D40，

ECB40．

（2）CE是ACB的平分线．

ECBACE40， ACB80．

ABACB180，

B180AACB180488052．

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质以及三角形内角和，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．

22．（1）15°；（2）【分析】

（1）根据三角形的内角和180°解得BCA=70、DCA20，再根据角平分线的性质，得到ACE35，最后由DCEACEDCA解题即可；

（2）根据三角形的内角和180°解得BCA、DCA的度数，再根据角平分线的性质，得到ACE的度数，最后由DCEACEDCA解题即可；

（3）根据三角形的内角和180°解得BCA、DCA的度数，再根据角平分线的性质，得到BCE的度数，最后由DCEBCDBCE解题即可；

1111a；（3）a，理由见解析；（4）75°． 2222（4）根据角平分线的性质，FCEECA邻的两个内角和，解得ECA1FCA，结合三角形一个外角等于不相21()，根据三角形的内角和180°解得DCA的度2数，最后由DCEDCAACE解题即可． 【详解】

（1）BACBBCA180，BAC70,B40

BCA=180704070

CE平分BCA

11ACEBCA7035，

22CDAB

DCA180907020

DCEACEDCA352015；

（2）若BAC,B，

BCA=180

CE平分BCA

1111ACEBCA(180)90，

2222CDAB

DCA1809090

1111DCEACEDCA90(90)，

2222故答案为：

11a； 22（3）若将ABC换成钝角三角形，BAC,B，

BCA=180

CE平分BCA

1111BCEACEBCA(180)90，

2222CDAB

BCD1809090

DCEBCDBCE

1190(90)

22119090

2211 22故答案为：（4）

121； 2CE是ABC外角ACF的平分线，

1FCEECAFCA

2由三角形的外角性质得，

11FCEECAFCA=()

22CDAB

ACD1809090

DCEACDACE

190()

21190

22190()

230

1DCE903075

2故答案为：75． 【点睛】

本题考查角平分线的性质、三角形内角和180°、三角形外角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 23．10° 【分析】

利用三角形的外角的性质求出∠ADC，再利用三角形内角和定理求出∠DEF即可． 【详解】

解：∵∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝80°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝

1∠BAC＝40° 2∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80° ∴∠EDF＝∠ADC＝80° ∵EF⊥BC， ∴∠EFD＝90°

∴∠DEF＝90°-80°＝10° 【点睛】

本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 24．（1）见解析；（2）图中与∠CAE互余的角有∠CEA，∠GEA，∠CFE，∠DFA． 【分析】

（1）根据角平分线的定义可得∠DAF＝∠CAE，再根据等角的余角相等、对顶角相等，可得∠CEF＝∠CFE；

（2）根据互余的两个角的和为90°求解即可． 【详解】

（1）证明：∵∠ACB═90°，CD⊥AB， ∴∠DAF+∠AFD＝90°，∠CAE+∠CEF＝90°， 又∵AE是∠CAB的角平分线， ∴∠DAF＝∠CAE， ∴∠AFD＝∠CEF， 又∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE； （2）∵EG⊥AB于点G， ∴∠DAF+∠GEA＝90°，

由（1）可知∠DAF＝∠CAE，∠CAE+∠CEF＝90°，∠CEF＝∠CFE＝∠DFA， ∴图中与∠CAE互余的角有∠CEA，∠GEA，∠CFE，∠DFA． 【点评】

本题考查了角平分线的定义和余角的定义，解决本题的关键是熟记余角的定义． 25．（1）证明见解析；（2）110° 【分析】

（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．

（2）由三角形内角和定理求出∠ABC＋∠ACB＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】

（1）延长BP交AC于D，如图所示：

∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角， ∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A， ∴∠BPC＞∠A；

（2）在△ABC中，∵∠A=40°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°， ∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB， ∴∠PBC=

11∠ABC，∠PCB=∠ACB， 2211∠ABC+∠ACB） 22在△PBC中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB） =180°﹣（=180°﹣=180°﹣=110°． 【点睛】

此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键． 26．（1）a＞b＞c；（2）见解析 【分析】

（1）a、b、c两两作差可得出a、b、c之间的大小关系；

（2）对于任意一个三角形的三边a，b，c，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】

（1）∵a-b=m2+n2-m2=n2＞0； a-c=m2+n2-mn=（m-n）2+mn＞0； b-c= m2-mn=m（m-n）＞0 ∴a＞b＞c；

（2）由（1）a＞b＞c可得，a+b＞c ∵a-b= m2+n2-m2=n2＜mn ∴a-b＜c

∴以a、b、c为边长的三角形一定存在． 【点睛】

本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在．

1（∠ABC+∠ACB） 21×140° 2