ARMA 模型

ARMA 模型是根据时间序列本身的数字特征，来寻找变量当期值与其若干滞后期值及误差项之间的关系，并在此基础上对后期数据进行预测，是时间序列分析的常用模型。由于ARMA 模型是以AR （自回归）模型和MA （滑动平均）模型为基础“混合”构成的，所以它的阶是二维的(p,q)。

AMRA模型使用的基本原理：将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。一方面，受到其它因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为x1，x2，…，xk，1为各个因素所占的权重，由回归分析，

,2,...p

其中Y是预测对象的观测值，Z为误差。作为预测对象Yt受到自身变化的影响，其规律可由下式体现，

误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示，

由此，获得ARMA模型表达式：

其中p 代表自回归成分的阶数，q 代表移动平均成分的阶数， 记做ARMA（p，q），

即时间序列是由它的前p 期值及当前和前q 期的随机误差项的线性函数，εt 是随机干扰误差项。

具体模型的建立：

1.数据来源及处理

我们选取余额宝每日万份收益作为收益率的衡量指标。由于货币式基金的每份单位净值固定为1 元，万份收益就是指把货币基金每天运作的收益平均摊到每一份额上，然后以1 万份为标准进行衡量和比较的一个数据。通俗地说就是投资1 万元当日获利的金额，即具体每天计入投资人账户中的实际收益。数据跨度为2013 年10月10 日至2014 年10 月10 日，共365个样本，记做rewards1，数据来源于天弘基金官方网站。为了消除数据中可能存在的异方差性，同时也为了避免数据变化所带来的剧烈波动，对其进行了对数变化，记为lnrewards1。本文使用Eviews软件对对时间序列进行统计分析，观察数据的变化情况。

2.数据的平稳性分析及检验

对时间序列进行平稳性的判断是预测的首要步骤。一般而言，所谓的平稳时间序列是指宽平稳过程，即是一阶距与时间无关，二阶距只与时间间隔有关。有几种判断方法：

1）数据图直接检验法。画出X(t)的图像，当x(t)围绕某一水平线上下波动而无明显上升、下降或周期趋势时，则认为x(t）是平稳的。

2）自相关、偏相关函数检验法。一个零均值平稳序列的自相关函数和偏自相关函数要

么是截尾的，要么是拖尾的。因此，如果一个序列零均值化以后的自相关函数或偏自相关函数既不截尾，又不拖尾则可以断定该序列时非平稳的。（我们采用的方法）

3）特征根检验法。先拟合序列的适应模型，然后求由适应模型的参数组成的特征方程的特征根，若所有的特征根都满足平稳性条件，abs(namta)<1则可认为该序列时平稳的，否则该序列是非平稳的。其中namta为特征根。

4）Rk检验。根据Green函数Gj与自协方差函数Rk之间的关系，当{xt}是平稳时间序列时，Gj的极限趋于0，表示稳定系统的单位脉冲响应最终将衰减至0。

采用Eviews软件对数据进行操作，序列lnrewards1进行ADF平稳性检验，ADF值跟设定的3个临界值相对比，判断其为非平稳性序列之后，可对序列进行差分（可作出趋势图），作平稳化处理，多次检验和处理直到数据比较理想。

3.模型定阶

利用 Box 和Jenkins提出的，通过获得样本自相关系数和偏自相关系数确定序列类型。不同阶数AIC与SC评价指标比较最终可确定模型阶数p,q。在一般的情况下，AIC可以表示为：

AIC=2k-2ln(L)

其中：k是参数的数量，L是似然函数。

假设条件是模型的误差服从独立正态分布。

让n为观察数，RSS为剩余平方和，那么AIC变为：

AIC=2k+nln(RSS/n)

增加自由参数的数目提高了拟合的优良性，AIC鼓励数据拟合的优良性但是尽量避免出现过度拟合的情况。所以优先考虑的模型应是AIC值最小的那一个。赤池信息（AIC）准则的方法是寻找可以最好地解释数据但包含最少自由参数的模型。

4.模型的可逆性和平稳性检验，AMRA（p,q）的预测及分析