第 09 讲 配凑法(高中版)

第 09 讲 配凑法(高中版)

（第课时） 神经网络 准确记忆！ D

重点难点 好好把握！ 重点：1．；2．；3．。 难点：1．；2．；3．；。 考纲要求 注意紧扣！ 1．；2．；3．。 命题预测 仅供参考！ 1．；2．；3．。 考点热点 一定掌握！ 所谓“配凑”指的是利用恒等变形的方法，把一个解析式中的某些项配凑我们所需要的形式，用得最多的是配成完全平方式。它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式以及最值、数列等等方面都经常用到它。

常用的基本配凑形式如下：

a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab； a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝

2222222222223b22)＋（b）；

221[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] 222a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝„ 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）； x＋

211212＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；„„ 等等。 2xxx常用的基本配凑策略如下：

把结论（或等式左边）变形，凑出题设（或等式右边）形式，以方便利用已知条件。 把题设（或等式左边）变形，凑出结论（或等式右边）形式，以从中推出结论。

把题设（或等式左边）先变形，再把结论（或等式右边）变形，凑出变形后的题设（或等式左边）形式。

1．配凑法在化简求值中的应用

xx2 的值。 1xx311解：设 x2y，则由已知可得 y2 ，

y例.（高一）设 xx12122 ，求

323211332(y)3y2xx24y3yy而 。 1115xx3y223(y)223yy3232y3点评：本题是把把题设（或等式左边）先变形，再把结论（或等式左边）变形，凑出变形后的题设（或等式右边）形式。

2．配凑法在恒等式和不等式证明中的应用

3．配凑法在方程中的应用

例.（高二）设方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(的取值范围。

解：方程 x2＋kx＋2=0 的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,

p2q2)+()≤7成立，求实数kqpp()q2q+()

p2(p2q2)22p2q2[(pq)22pq]22p2q2p4q4＝＝＝＝

(pq)2(pq)2(pq)2(k24)28≤7， 解之得 k≤－10 或 k≥10 。

4又因为 p、q为方程x2＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k2－8≥0 即 k≥22 或 k≤－22 ，

综上所述，k的取值范围是：－10≤k≤－22 或 22≤k≤10。 点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

4．配凑法在二次函数中的应用

例.（高一）函数y＝log1 (－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

225155 A. （－∞, 54] B. [4,+∞) C. (－2,4] D. [4,3)

解：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。

5．配凑法在数列中的应用

1242n例.（高三）求和 。 242n1x1x1x1x分析：通分、拆项等技巧对本题均不适用，我们在进行分式运算时曾用过“逐项累加”的技巧，受此启发，如果把原题再配上一项

1，就可以进行累加了。 1x11242n1解：原式 242n1x1x1x1x1x1x2242n1 2242n1x1x1x1x1x

2n11x2n11 1x点评：本题通过添项凑出能逐项累加的形式。

6．配凑法在复数中的应用

ba)1998＋()1998 。 ababaaa分析: 把已知式两边同时除以b2变形为 ()2＋()＋1＝0 ，则 ＝ω （ω为1的立

bbb例.（高三）设非零复数a、b满足 a2＋ab＋b2=0 ，求(

方虚根），再把已知式配方为(a＋b)2＝ab ，把二者代入所求式即可得解。

解法一: 把 a2＋ab＋b2=0 变形为 (设ω＝

a2a)＋()＋1＝0 ， bba1b233，则ω＋ω＋1＝0 ，可知ω为1的立方虚根，所以 ＝ ，ω＝＝1 ， ba999又由 a2＋ab＋b2=0 变形得：(a＋b)2＝ab ，

baa2999b2999ab19981998所以 ()＋()＝()＋()＝()999＋()999＝ω

abababbaab＋

＝2 。

点评：本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。如果未联想到

99913i ，可以用下面的解法： 2解法二：把a2＋ab＋b2＝0变形为 (

a2ab13i)＋()＋1＝0 ，解出 ＝后，化成

2bbaa999b999三角形式，代入所求表达式的变形式()＋() ，再完成后面的运算。

ba解法三：假如本题没有想到以上一系列变换过程，还可由a＋ab＋b＝0解出 a＝

2213ib ，代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成2最后的计算。

7．配凑法在三角中的应用

xsinx 。

x88sin8xxxxxxx8sincoscoscos4sincoscos8842442

解：左边xx8sin8sin88例.（高一）求证：coscoscosx2x4xx2sincos22sinx右边 xx8sin8sin88点评：本题是把等式左边变形，凑出等式右边的形式（凑出右边的分母）。

8．配凑法在立体几何中的应用

例.（高二）已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

A. 23 B. 14 C. 5 D. 6

2(xyyzxz)11分析：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长

4(xyz)24x2y2z2，将其配凑成两已知式的组合形式可得。

解：设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和

2(xyyzxz)11为24”而得：。

4(xyz)2422长方体所求对角线长为：xyz＝(xyz)2(xyyzxz)＝611＝

2225

所以选B。

点评：本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。

9．配凑法在解析几何中的应用

例.（高三）方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

11 A. 141 C. k∈R D. k＝4或k＝1

22解：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r2>0即可，选B。 能力测试 认真完成！ 参考答案 仔细核对！

因式分解 化简 求值

恒等式证明 不等式证明 方程

二次函数 数列 复数 三角

立体几何 解析几何

1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ √ √ √ √ √ √ √ √

1.（高一）若 xx10 ，试求 x2xx1 的值。 解：x2xx1x(xx1)(xx1)x2x2 ，

322223215 ， 23532∴ x2xx1 。

2由 xx10 可得 x2点评：本题关键在于把结论变形，使之出现条件的形式。但本题并不能用题设的形式来全部表示结论，只是化简结论， 使其后的计算变得比较简单。

2.（高三）已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，求实数a 。

答案：3－11。

23.（高一）如图：开口向下的抛物线yax4axc 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A在x轴的正半轴，点B在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴，且BO=OC。

（1）求证：4a－ac=1；

（2）如果点A的坐标为（2，0），求点B的坐标 （3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：（1）略 （2）B（6，0） （3）存在 P（－2，4）

4.（高三）在正项等比数列{an}中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3＋a5＝_______。 解：利用等比数列性质ampamp＝am，将已知等式左边配方（a3＋a5）后易求。答案是：5。

5.（高三）求 5-12i的平方根。

提示：使用配方法。[结果为(32i) ]

22y C B O 图11—1 A x cossin 的值。

cossin解：由 tg2 可知 cos0 ，

cossincossin1tg12cos∴ 322 。

cossincossin1tg12cos6.（高一）已知 tg2，求

点评：本题是把结论变形，凑出题设形式。 7.（高一）设 ctgppcosqsin, 求 的值。

pcosqsinqp2pcosqsinqpcosqsinpctgqp2q2qsin22解：2 。 pcosqsinpcosqsinpctgqppqqsinq点评：本题是把结论变形，凑出题设形式。

8.（高一）已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0

解：已知等式经配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。

9.（高三）平移坐标轴，化简方程 xy8x14y1330 。

提示：将方程配方为 (x4)(y7)100 ，再平移坐标轴化简。（结果为

2222x2y2100 ）