2011年-2019年全国二卷理科数学分类汇编

1．集合与简易逻辑

一、选择题

（2019·1）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=（ ） A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞) （2018·2）已知集合A={(x,y)|x2-y2≤3,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）

A．9个

B．8个

C．5个

2 D．4个

（2017·2）设集合1,2,4，xx4xm0．若1，则（ ）

A．1,3 B．1,0 C．1,3 D．1,5

（2016·2）已知集合A={1，2，3}，B={x|(x+1)(x-2)<0，x∈Z}，则AB（ ）

A．{1}

B．{1，2}

C．{0，1，2，3} D．{-1，0，1，2，3}

（2015·1）已知集合A={-2，-1，0，2}，B={x|(x-1)(x+2)<0}，则A∩B =（ ）

A．{-1，0}

B．{0，1}

C．{-1，0，1}

D．{0，1，2}

（2014·1）设集合M={0, 1, 2}，N=x|x23x20，则MA．{1}

B．{2}

C．{0，1}

D．{1，2}

N=（ ）

（2013·1）已知集合M={x|(x-1)2 < 4, x∈R}，N={-1，0，1，2，3}，则M ∩ N =（ ）

A.{0, 1, 2}

B.{-1, 0, 1, 2} C.{-1, 0, 2, 3}

D.{0, 1, 2, 3}

（2012·1）已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={(x,y)| x∈A, y∈A, x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）

A. 3

B. 6

C. 8

D. 10

（2011·10）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是（ ）

2P1:a+b10,32

, P2:ab13P3:ab10, P4:ab1,

33A． P1，P4

B．P1，P3

C．P2，P3

D．P2，P4

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2．复数

一、选择题

（2019·2）设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2018·1）

12i=（ ） 12i4343A. --i B. -i

5555

C. -34-i 55D. -34i 55

（2017·1）

3i（ ） 1iA．12i B．12i C．2i D．2i

（2016·1）已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）

A．（-3，1）

B．（-1，3）

C．（1，+∞）

D．（-∞，-3）

（2015·2）若a为实数且(2+ai)(a-2i) = -4i，则a =（ ）

A．-1

B．0

C．1

D．2

（2014·2）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2（ ）

A．- 5

B．5

C．- 4 + i

D．- 4 - i

（2013·2）设复数z满足(1i)z2i，则z（ ）

A.1i

B.1i

C.1i

D.1i

（2012·3）下面是关于复数z

P1: |z|=2， A. P2，P3

（2011·1）复数

P2: z2=2i， B. P1，P2

2的四个命题中，真命题为（ ） 1iP3: z的共轭复数为1+i， C. P2，P4

D. P3，P4

P4: z的虚部为-1 .

2i的共轭复数是（ ） 12i33A．i B．i C．i

55

D．i

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3.程序框图

111（2018·7）为计算S123411，设计了99100开始N0,T0i1是1ii100否右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A．ii1 B．ii2 C．ii3 D．ii4

NNTTSNT输出S结束1i1

（2017·8）执行右面的程序框图，如果输入的a1，则输出的S（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

开始 输入x，t M1，S3 开始输入x,nk1 是 k0，s0否 输出S 结束 输入akt ssxakk1knMMx k否SMS 是输出s

kk1

结束

（2017·8） （2016·8） （2015·8） （2014·7）

（2016·8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ） A．7

B．12

C．17

D．34

（2015·8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a =（ ） A．0

B．2

C．4

D．14

（2014·7）执行右面程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S= （ ）

A．4

B．5

C．6

D．7

开始 输入N k=1, p=1 p=p·k k结束

（2013·6） （2012·6） （2011·3） （2013·6）执行右面的程序框图，如果输入的N10，那么输出的S（ ）

A.1C.1112311231 101 11

B.1D.1112!3!112!3!1 10!1 11!（2012·6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1， a2，…，aN，输入A、B，则（ ）

A. A+B为a1， a2，…，aN的和

B.AB为a1， a2，…，aN的算术平均数

2C. A和B分别是a1， a2，…，aN中最大的数和最小的数 D. A和B分别是a1， a2，…，aN中最小的数和最大的数

（2011·3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）

A．120 B．720 C．1440 D．5040

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4．平面向量

一、选择题

（2019·3）已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，|BC|=1，则ABBC= A．–3 B．–2 C．2 D．3 （2018·4）已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab) A．4

B．3

C．2

D．0

（2017·12）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是（ ）

A.2 B.34 C.  D.1 23

C．6

D．8

（2016·3）已知向量a(1，m)，b=(3，2)，且(a+b)b，则m =（ ）

A．-8

B．-6

（2014·3）设向量a,b满足|ab|10，|ab|6，则ab=（ ）

A．1 二、填空题

（2015·13）设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数= ____________． （2013·13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD_______. （2012·13）已知向量a，b夹角为45º，且|a|1，|2ab|10，则|b| .

B．2

C．3

D．5

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5．线性规划

一、选择题

2x3y30（2017·5）设x，y满足约束条件2x3y30，则z2xy的最小值是（ ）

y30A．15 B．9 C．1 D．9

xy70（2014·9）设x，y满足约束条件x3y10，则z2xy的最大值为（ ）

3xy50A．10

B．8

C．3

D．2

x1（2013·9）已知a0，x，y满足约束条件xy3，若z2xy的最小值为1，则a=（ ）

ya(x3)A.

1 4 B.

1 2 C.1 D.2

二、填空题

x2y5≥0,（2018·14）若x,y满足约束条件x2y3≥0,则zxy的最大值为__________．

x5≤0,

xy10（2015·14）若x，y满足约束条件x2y0，则zxy的最大值为_______．

x+2y20xy1xy3（2014·14）设x，y满足约束条件，则zx2y的取值范围为 . x0y032xy9（2011·13）若变量x， y满足约束条件，则zx2y的最小值为 .

6xy9

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6．二项式定理

一、选择题

（2013·5）已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a（ ）

A.4

B.3

C.2

D.1

a1（2011·8）(x)(2x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）

xxA．- 40 二、填空题

（2015·15）(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a =_______． （2014·13）(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a =________.

B．- 20

C．20

D．40

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7．函数与导数

一、选择题

（2019·4）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

M1M2M1r(Rr).设，由于的值

(Rr)2r2R3R3334533，则r的近似值为 很小，因此在近似计算中2(1)A．M2R M13M2R M1B．M2R 2M1M2R 3M1

C．3D．3（2019·6）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 C．a3−b3>0

B．3a<3b D．│a│>│b│

（2019·12）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2 f(x)，且当x(0,1]时，

8f(x)x(x1)．若对任意x(,m]，都有f(x)，则m的取值范围是

9A．,

49

B．,

37

C．,

25

D．,

38exex（2018·3）函数f(x)的图象大致为

x2

（2018·11）已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1x)f(1x)．若f(1)2， 则f(1)f(2)f(3)f(50) A．50 B．0

2C．2

x1`D．50

的极值点，则f(x)的极小值为（ ）

（2017·11）若x2是函数f(x)(xax1)eA.1 B.2e3 C.5e3 D.1 （2016·12）已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数ymx1与yf(x)图像的x交点为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xm,ym)，则(xiyi) （ ）

i1A．0 B．m C．2m D．4m

1log2(2x)(x1)（2015·5）设函数f(x)x1，则f(2)f(log212)（ ）

(x1)2A．3

B．6

C．9

D．12

（2015·10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为 （ ）

A．

B．

C．

D．

（2015·12）设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x>0时，

xf(x)f(x)0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是（ ）

A．(,1)(0,1)

B．(1,0)D．(0,1)(1,)

C．(,1)(1,0) (1,)

（2014·8）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（ ）

A．0

B．1

C．2

D．3

（2014·12）设函数f(x)3sinx，若存在f(x)的极值点x0满足x02[f(x0)]2m2，则

mm的取值范围是（ ）

A．(,6)(6,+) B．(,4)(4,+) D．(,1)(4,+)

C．(,2)(2,+)

（2013·8）设alog36，blog510，clog714，则（ ）

A.cba

B.bca

C.acb

D.abc

（2013·10）已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是（ ）

A.x0R,f(x0)0

B.函数yf(x)的图像是中心对称图形

C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(,x0)单调递减 D.若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0 （2012·10）已知函数f(x)y1 o11，则yf(x)的图像大致为（ ）

ln(x1)xy1 o1y1 o1y1 o1xxxxA. B. C. D.

（2012·12）设点P在曲线yA. 1ln2

B.

1xe上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|的最小值为（ ） 2C. 1ln2

D.

2(1ln2)

2(1ln2)

（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） （0，+）23A．yx B．y|x|1 C．yx1

|x|D．y2

（2011·9）由曲线yA．

x，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为（ ）

B．4

C．

10 3

16 3 D．6

（2011·12）函数y1的图像与函数y2sinx,(2x4)的图像所有交点的横坐标之x1B．4

C．6

D．8

和等于（ ） A．2

二、填空题

ax（2019·14）已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)e.若f(ln2)8，则a

__________．

（2018·13）曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为__________．

（2014·15）已知偶函数f (x)在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x-1)>0，则x的取值范围是_________.

（2016·16）若直线y = kx+b是曲线y = lnx+2的切线，也是曲线y = ln(x+1)的切线，则b = . 三、解答题

（2019·20）已知函数fxlnxx1x1.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

lnx0)处的切线也是曲线yex的（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，切线.

（2018·21）已知函数f(x)exax2．

（1）若a1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； （2）若f(x)在(0,)只有一个零点，求a．

（2017·21）已知函数f(x)axaxxlnx,且f(x)0.

（1）求a；

（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e

22f(x0)22.

（2016·21）（Ⅰ）讨论函数f(x)x2x并证明当x>0时， (x2)exx20；e 的单调性，

x2exaxa（Ⅱ）证明：当a[0,1)时，函数g(x)=(x0)有最小值.设g (x)的最小值为h(a)，

x2求函数h(a)的值域.

（2015·21）设函数f(x)emxx2mx.

（Ⅰ）证明：f (x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；

（Ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f (x1)- f (x2)｜≤ e-1，求m的取值范围．

（2014·21）已知函数f(x)exex2x. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）设g(x)f(2x)4bf(x)，当x0时，g(x)0，求b的最大值； （Ⅲ）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）.

（2013·21）已知函数f(x)exln(xm).

（Ⅰ）设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m2时，证明f(x)0.

（2012·21）已知函数f(x)f(1)e

x11f(0)xx2.

2（Ⅰ）求f(x)的解析式及单调区间；

（Ⅱ）若f(x)12xaxb，求(a1)b的最大值. 2（2011·21）已知函数f(x)x2y30.

alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x1x（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x0，且x1时，f(x)

lnxk，求k的取值范围. x1x

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10．三角函数

一、选择题

（2019·9）下列函数中，以A．f(x)=│cos2x│ C．f(x)=cos│x│ （2019·10）已知α∈(0，

2为周期且在区间(

4，

2)单调递增的是 B．f(x)=│sin2x│ D．f(x)=sin│x│

2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=

1A．5

5325

B．5 C．3 D．5C5，BC1，AC5，则AB 25（2018·6）在△ABC中，cosA．42 B．30 C．29 D．25 （2018·10）若f(x)cosxsinx在[a,a]是减函数，则a的最大值是 A．

π 4B．

π 2C．

3π 4D．π

个单位长度，则平移后图象的对称轴为 12kkA．xkZ B．xkZ

2626kkB．xkZ D．xkZ

2122123（2016·9）若cos()=，则sin2= ( )

45711A． B． C．

25557D．25

1（2014·4）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=2，则AC = ( )

2（2016·7）若将函数y=2sin2x的图像向左平移 A．5 B.

5 C. 2 D. 1

3（2012·7）已知为第二象限角，sincos，则cos2= ( )

3555A． B． C．

3995D．3

（2012·9）已知>0，0，直线x=

和x=5是函数

f(x)sin(x)图像的

44

3π

D． 4

两条相邻的对称轴，则=（ ）

πππA． B． C． 432

（2011·7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y = 2x上，则cos2θ =（ ） A．4 B．3 C．3 D．4

5555（2011·11）设函数f(x)sin(2x)cos(2x)，则（ ）

44A．y = f (x)在(0,)单调递增，其图像关于直线x对称

24

B．y = f (x)在(0,)单调递增，其图像关于直线x对称

22

C．y = f (x)在(0,)单调递减，其图像关于直线x对称

24

D．y = f (x)在(0,)单调递减，其图像关于直线x对称

22二、填空题

（2019·15）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b6,a2c,B的面积为_________．

（2018·15）已知sinαcosβ1，cosαsinβ0，则sin(αβ)__________． （2016·13）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若cosA则b_________．

（2014·14）函数fxsinx22sincosx的最大值为_________. （2012·14）当函数ysinx3cosx0x2取得最大值时，x___________. （2011·15）在△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为_________. 三、解答题

（2015·17）在ΔABC中，D是BC上的点，AD平分△BAC，BD=2DC.

π，则△ABC345，cosC，a1，513sinB（Ⅰ）求sinC；

（Ⅱ）若△BAC=60°，求△B.

（2014·17）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2. （△）求C和BD；

（△）求四边形ABCD的面积.

（2012·17）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosACcosB1，a2c，求C．

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9．数列

一、选择题

（2017·3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 （2015·4）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =（ ）

A．21

B．42

C．63

D．84

（2013·3）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1（ ）

1A. 3

1B.

3

1C. 9

1D.

9（2012·5）已知{an}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（ ）

A. 7 二、填空题

（2017·15）等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则

B. 5

C. -5

D. -7

1 ． Sk1kn（2015·16）设Sn是数列{an}的前项和，且a11，an1SnSn1，则Sn=________________． （2013·16）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为____. （2012·16）数列{an}满足an1(1)nan2n1，则{an}的前60项和为 . 三、解答题

（2019·19）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an13anbn4，4bn13bnan4.

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式.

（2018·17）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a17，S315．

（1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．

（2016·17）（满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28. 记bn=[lgan]，其

中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1. （△）求b1，b11，b101；（△）求数列{bn}的前1 000项和.

（2014·17）已知数列{an}满足a1 =1，an+1 =3 an +1. （Ⅰ）证明{an1}是等比数列，并求{an}的通项公式；

2（Ⅱ）证明：11…13.

a1a2an2

（2011·17）等比数列{an}的各项均为正数，且2a13a21,a329a2a6. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bnlog3a1log3a2

1log3an，求数列{}的前n项和.

bn

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10．立体几何

一、选择题

（2019·7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线

B．α内有两条相交直线与β平行 D．α，β垂直于同一平面

（2018·9）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AD1与DB1所

成角的余弦值为 1A．

5 B．5 6 C．5 5 D．2 2（2017·4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）

A．90 B．63 C．42 D．36 （2017·10）已知直三棱柱C11C1中，C120，2，

CCC11，则异面直线1与C1所成角的余弦值为（ ）

A．

331510 B． C． D． 2355（2016·6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．20π

23 B．24π C．28π D．32π

44 ·

2016，6

2015，6

2014，6

（2015·6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A．

1 8 B．

1 7 C．

1 6 D．

1 5（2015·9）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90º，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ） A．36π

B．64π

C．144π

D．256π

（2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A．17

27

B．5

9 C．10

27

D．1

3（2014·11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90º，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） A．1

10

B．2

5

C．30 10

D．2 2（2013·4）已知m,n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，

l，则（ ）

A.α // β且l // α B.且l

C.与相交，且交线垂直于l D.与相交，且交线平行于l

（2013·7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）

B. C. D.

（2012·7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A. 6

B. 9

C. 12

D. 18

A. （2012·11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ） A.

26

36

23

2 2B.

C.

D.

（2011·6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）

A. B. C. D.

二、填空题

（2019·16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

（2018·16）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为

7，SA与圆锥底面所成8角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________． （2016·14）α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. （2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. （3）如果α∥β，mα，那么m∥β.

（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号.)

（2011·15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23，则棱锥O-ABCD的体积为 . 三、解答题

BE⊥EC1． （2019·17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．

（2018·20）如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点．

（1）证明：PO平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

P

ABOMC

（2017·19）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

ABBC1AD，BADABC90o， E是PD的中点. 2（1）证明：直线CE// 平面PAB；

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角

为45o ，求二面角M-AB-D的余弦值

（2016·19）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=

5，EF交BD于点H. 将△DEF沿EF4D折到△D´EF的位置，OD10. （Ⅰ）证明：DH平面ABCD； （Ⅱ）求二面角BDAC的正弦值.

BAEODHCF

（2015·19）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值.

（2014·18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（Ⅰ）证明：PB // 平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60º，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.

（2013·18）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB， BB1的中点，AA1ACCB（Ⅰ）证明：BC1//平面ACD； 12AB. 2

E的正弦值. （Ⅱ）求二面角DAC1 （2012·19）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC⊥BD.

（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大

A1 D

C A

C1

1，D是棱AA1的中点，DC1AA12小.

B1

B

（2011·18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，

PD⊥底面ABCD. （Ⅰ）证明：PA⊥BD；

（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.

2012年—2019年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

11．解析几何

一、选择题

（2019·8）若抛物线y=2px(p>0)的焦点是椭圆A．2 C．4

2

x23py2p1的一个焦点，则p=

B．3 D．8

x2y2（2019·11）设F为双曲线C：221(a0,b0)的右焦点，O为坐标原点，以OFab222为直径的圆与圆xya交于P，Q两点．若PQOF，则C的离心率为

A．2 C．2

B．3 D．5

x2y2（2018·5）双曲线221(a0,b0)的离心率为3，则其渐近线方程为

abA．y2x

B．y3x

C．y32x x D．y22x2y2（2018·12）已知F1，F2是椭圆C：221(ab0)的左，右焦点，A是C的左顶点，

ab点P在过A且斜率 为3的直线上，△PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为 62A．

3 B．

1 2

1C．

3 D．

1 4x2y22（2017·9）若双曲线C:221（a0，b0）的一条渐近线被圆x2y24所截

ab得的弦长为2，则C的离心率为（ ）

A．2 B．3 C．2 D．

23 3（2016·4）圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a =（ ）

A．4 3

B．3 4 C．3 D．2

x2y2（2016·11）已知F1，F2是双曲线E：221的左，右焦点，点M在E上，M F1与x

ab1轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为（ ）

33A．2 B． C．3 D．2

2（2015·7）过三点A(1, 3)，B(4, 2)，C(1, -7)的圆交于y轴于M、N两点，则MN=（ ）

A．26

B．8

C．46

D．10

（2015·11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ） A．5

B．2

C．3

D．2 （2014·10）设F为抛物线C:y23x的焦点，过F且倾斜角为30º的直线交C于A, B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ） A．33 4B．93

8C．63

32

D．9

4（2013·11）设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的园过点(0,2)，则C的方程为（ ）

A.y24x或y28x B.y22x或y28x C.y24x或y216x D.y22x或

y216x

（2013·12）已知点A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线yaxb(a0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ） A.(0,1)

B.(121,) 2211

D.[,)

32

C.(121,] 23

x2y23a（2012·4）设F1，F2是椭圆E: 221 (ab0)的左右焦点，P为直线x上的

ab2一点，△F2PF1是底角为30º的等腰三角形，则E的离心率为（ ） A.

1 2 B.

2 3 C.

3 4 D.

4 5（2012·8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=43，则C的实轴长为（ ）

A.2

B. 22

C. 4

D. 8

（2011·7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A, B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ） A．2 二、填空题

B．3

C．2

D．3

（2017·16）已知F是抛物线C:y8x的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于

点．若为F 的中点，则F ．

（2014·6）设点M(x0,1)，若在圆O:x2y21上存在点N，使得∠OMN=45º，则x0的取值范围是________.

（2011·14）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心

率为2.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程

2为 . 三、解答题

（2019·21）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连

结QE并延长交C于点G.

（i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值.

（2018·19）设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，

212.记M

B两点，|AB|8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

x2y21上，过M做x轴的垂线，垂（2017·20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2足为N，点P满足NP2NM.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=-3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

x2y2（2016·20）已知椭圆E:1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直

t3线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积； （Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.

222（2015·20）已知椭圆C：9xym(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l

与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边形？3若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

（2014·20）设F1，F2分别是椭圆x22ay21ab0的左右焦点，M是C上一点且MF2b2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. （Ⅰ）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；

4（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a, b.

x2y2（2013·20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:221(ab0)右焦点F的直线

abxy30交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为

1. 2（Ⅰ）求M的方程；

（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值.

2（2012·20）设抛物线C:x2py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知

以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.

（Ⅰ）若∠BFD=90º，△ABD面积为42，求p的值及圆F的方程；

（Ⅱ）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值.

（2011·20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0, -1)，B点在直线y =-3上，M点满足

MB//OA， MAABMBBA，M点的轨迹为曲线C .

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值 .

2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

12．排列组合、概率统计

一、选择题

（2019·5）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A．中位数 C．方差

B．平均数 D．极差

（2018·8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A．

1 12 B．

1 14 C．

1 15 D．

1 18（2017·6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）种

A．12种 B．18种 C．24种 D．36 （2016·5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）

•••GFEA．24 B．18 C．12 D．9

（2016·10）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1,y1)，

(x2,y2)，…，(xn,yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方

法得到的圆周率π的近似值为（ ）

4n2n4m2m B． C． D． mmnn（2015·3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，

A．

以下结论中不正确的是（ ）

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著. B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效. C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.

（2014·5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A．0.8

B．0.75

C．0.6 D．0.45

（2012·2）将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12种

B. 10种

C. 9种

D. 8种

（2011·4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）

1123A． B． C． D．

3234二、填空题

（2019·13）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车

次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________．

（2017·13）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D ． （2016·15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，

甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .

（2013·14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为

1，则n=______. 14（2012·15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000，502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 . 三、解答题

元件1 元件2 元件3 （2019·18）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

（1）求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.

（2018·18）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回2，…，17）建立模型归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，ˆ30.413.5t；2…，7）y①：根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，，ˆ9917.5t． 建立模型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

（2017·18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法 新养殖法 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01） n(adbc)22K(ab)(cd)(ac)(bd)

（2016·18）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续

保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 0 1 2 3 上年度出险次数 0.85a a 1.25a 1.5a 保费 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 0 1 2 3 一年内出险次数 0.30 0.15 0.20 0.20 概率 （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

4 1.75a 4 0.10 5 2a 5 0. 05 （Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（2015·18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

（2014·19）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份 年份代号t 人均纯收入y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

nˆ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：bti1itiyiy，

ti1nt2ˆ. ˆybta

（2013·19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如有图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T表示为x的函数； （Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率； （Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100, 110)，则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100, 110)的概率），求利润T的数学期望.

（2012·18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

（Ⅰ）若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n 频 数

14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 频率/组距 100 110 120 130 140 150 需求量/

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

（2011·19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做

试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组 频数 指标值分组 频数 [90,94) 8 [90,94) 4 [94,98) 20 [94,98) 12 [98,102) [102,106) [106,110] 42 22 8 [98,102) [102,106) [106,110] 42 32 10 B配方的频数分布表

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为

2,(t<94)，求y2,(94t<102)，从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）4,(t102)X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

2011年—2019年新课标全国卷Ⅱ文科数学试题分类汇编

13.坐标系与参数方程

（2019·22）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，O为极点，点M(0,0)(00)在曲线C:4sin上，直线l过点

A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

（1）当0=



时，求0及l的极坐标方程； 3

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

（2018·22）[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

x2cosθ，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数

y4sinθ方程为

x1tcosα，（t为参数）． y2tsinα（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

（2017·22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的

轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为(2,3)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．

23）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（2016·

(x+6)2+y2=25.

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的参数方程是求l的斜率.

（2015·23）在直角坐标系xOy中，曲线C1：xtcosl与C交于A，B两点，AB（t为参数），

ytsin10，xtcos（t为参数，t≠0）其中0，

ytsin在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:2sin，C3:23cos. （Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；

（Ⅱ）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.

（2014·23）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，[0,].

2（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

x2cost,（2013·23）已知动点P，Q都在曲线C:（t为参数）上，对应参数分别为ty2sint与t2(02)，M为PQ的中点. （Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.

（2012·23）已知曲线C1的参数方程是x2cos（为参数），以坐标原点为极点，x轴

y3sin3的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,).

（Ⅰ）点A，B，C，D的直角坐标；

（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求|PA|2 + |PB|2 + |PC|2 + |PD|2的取值范围.

x2cos（2011·23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数），My22sin是C1上的动点，P点满足OP2OM，P点的轨迹为曲线C2. （Ⅰ）求C2的方程；

（Ⅱ）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

3与C1的异于极点