高一数学函数、函数与方程知识点总结

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『知识梳理』

映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A

中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合到集合的一个映射

定义传统定义：如果在某变化中有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的

每一个确定的值，按照某个对应关系f，y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作y=fx

函数及其表示函数三要素函数的表示方法 近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射 定义域

值域

对应法则

解析法

列表法

图象法

传统定义：在区间[a，b]上，若a≤x1﹤x2≤b，如果fx1﹤fx2，则

fx在[a，b]上递增，[a，b]是递增区间；如果fx1﹥fx2，则fx在[a，b]上递减，[a，b]是递减区间。

函数函数的基本性质 导数定义：在区间[a，b]上，若fx﹥0，则fx在[a，b]上递增，[a，b]

是递增区间；若fx﹤0，则fx在[a，b]上递减，[a，b]是递减区间。

最大值：设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的

xI，都有fx≤M；②存在x0I，使得fx0=M，则称M是

最 函数y=fx的最大值。 值最小值：设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意

的xI，都有fx≥M；②存在x0I，使得fx0=M，则称

M是函数y=fx的最大值。

f① -x= -fx，x定义域D，则fx叫做奇函数，其图像关于原点对称。奇 偶②f-x= fx，x定义域D，则fx叫做偶函数，其图像关于y轴对称。 性 周期性：在函数fx的定义域上恒有fxT= fx（T≠0的常数）则fx 叫做周期函数，T为周期；T的最小正值叫做fx的最小正周期，简称 周期。

⑴描点连线法：列表、描点、连线

单调性

平移变换 向左平移a个单位：y1=y，x1-a=xy=fxa 向右平移a个单位：y1=y，x1+a=xy=fx-a 向上平移b个单位：x1=x，y1-a=yy-b=fx 向下平移b个单位：x1=x，y1-b=yy+b=fx

函数图像的画法 ⑵变换法 伸缩变换 横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w﹥1时）或伸长（当0﹤w ﹤

1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x1=wxy=fwx

横坐标变换：把各点的纵坐标y1伸长（当A﹥1时）或缩短（当0﹤A ﹤

1时）到原来的A倍（横坐标不变），即y1=y/Ay=fx



关于点（x0，y0）对称： =2y 2y0 y1=2y0-y y+y01x+x1=2x0

x1=2x 0-x

-yf2x0-x

x=x1 x1 =x

y+y1=2y0 y1=2y0-y  2y0-y=fx x=x 1 - 1 第 1 页 共 6 页

关于直线y=x对称 y=y  y=fx

1对称变关于直线x=x0对称 换

x+x1=2x0 x1=2x 0-x

关于直线x=x0对称 y=y  y1=y  y=f2x0-x

1

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『例题精讲』

例1. (1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B

①若映射f满足f(a)>f(b)≥f(c),则映射f的个数为 。（4） 解： ①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c) ∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0. 根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:

f(a) 1 1 1 0 f(b) 0 0 -1 -1 f(c) 0 -1 -1 -1 由此可知符合条件的映射是4个.

例2. (1)已知f(x)=x+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式; 2

(2)已知

2

,求f(x＋1)的解析式.

解: (1) ∵f(x)=x+2x-1 (x>2)

∴以2x+1替代上式中的x得 f(2x+1)=(2x+1)+2(2x+1)-1 (2x+1>2)

∴f(2x+1)=4x+8x+2 (x>1/2 ) (2)由已知得

∴以x替代上式中的

2

2

22

得 f(x)=x-1 (x≥1)

2

∴f(x+1)=(x＋1)-1 (x+1≥1) 即f(x+1)=x+2x (x≥0) 例3.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(

)=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，则a=________。

(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立，则对f(x)的奇偶性的判定是? 解: (1)由f(

f(-x)=f(x)(x

)=-f(x)知f(x)是周期函数，且3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数R)，在此基础上，寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:

f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1) 而f(1)=a，f(2)=1， ∴a=1

(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x) ① 又这里f(x+T)=f(T-x) ② 为了靠拢①，在②中以(x+T)替代x的位置得 f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x) ③ ∴由①， ③得f(-x)=f(x) ∴f(x)为偶函数.

『易错题』

例4. 已知函数f(x)=

1-2x

1x

，y=g(x)的图象与y= 的图象关于直线y=x对称，求

g1的值. 2 第 2 页 共 6 页

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互为反函数 ① ∴

典型错解: 由题设知g(x)与=

②

∴g(x)=f(x+1) ③ 由此得g()=f()=-

错因分析: 上面①②正确，由②导出③出现错误.在这里

的反函数是g(x)，但

的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是

y=

，而是y=

-1；y=

的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.

的解析式):由已知得

=

正确解法: (着力于寻求

=-

1-x2x (x≠-2)∴

x (x≠-3) x3 ， ∴

=

∴

又由题设知g(x)的反函数为

x ① x31 令g()=b，则

21g()=-1. 2=-

=

12 ② ∴由①②得-

b1 =b32 ，解得b=-1， ∴

『当堂检测』

1.设函数

x3,(x10)，则f(5)＝ ． f(x)f(x5),(x10)22.已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x3. 已知f(x)+2f(

1)的定义域______________

1)=3x,求f(x)的解析式____________________. x4. 设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，

f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式___________________________. 5. 已知函数（1）若（2）求

f(x)2ax1,x(0,1], 2xf(x)在x(0,1]是增函数，求a的取值范围; f(x)在区间(0,1]上的最大值.

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『直击高考』

1.函数y=

( x≤0)的反函数是(B )

A. y= (x≥-1) B. y=－ (x≥-1) C. y= (x≥0) D. y=－ (x≥0)

2.(2004北京卷)函数f(x)= -2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是(D )

A. a∈(-∞，1] B. a∈[2，+∞) C. a∈[1，2] D. a∈(-∞，1]∪[2，+∞] 3. 设函数f(x)的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数f5. 已知函数y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=

，f(4)=0，则f

=_-2__

-1.设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=__-2______

6. 若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px－

p)( x∈R)，则f(x)的一个正周期为___p/2_ 2『知识梳理』

零点：对于函数y=f定理： 如果函数y=f

x，我们把使fx=0的实数x叫做函数y=fx的零点

x在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fa·fb

x在区间[a，b]内有零点。即存在c（a，b），使得fc=0.

零点与根的关系 ﹤0，那么，函数y=f这个c也是方程f关系：方程f

交点

x=0的根。

函数与方程x=0有实数根函数y=fx有零点函数y=fx的图像与x轴有

二分法求方程的近似解⑴确定区间[a，b]，验证f

a·fb ﹤0，给定精确度；

⑶计算f

⑵求区间[a，b]的中点c；

c；

c=0，则c就是函数的零点；

若fa·fb ﹤0，则令b=c（此时零点x0（a，b））； 若fc·fb ﹤0，则令a=c（此时零点x0（c，b））；

；否则重复以上a-b，则得到零点的近似值a（或b）

① 若f② ③

⑷判断是否达到精确度，即若步骤。

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『例题精讲』

1. 已知函数

f(x)x2(a21)xa2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围。

2解：设方程x(a21)xa20的两根分别为x1,x2(x1x2)， 1)0，所以x1x2(x1x2)10

2则(x11)(x2由韦达定理得a2(a即a21)10，

a20，所以2a1

2.判断函数

2f(x)4xx2x3在区间[1,1]上零点的个数，并说明理由。

327213解：因为f1410，f1410

3333所以

fx在区间[1,1]上有零点

2又

91f'x42x2x22x22

当1x1时，0f'x9 2所以在[1,1]上单调递增函数，所以

fx在[1,1]上有且只有一个零点。

『易错题』

3.设

fx3x3x8,用二分法求方程3x3x80在x1,2内近似解的过程中得

f10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（ B ）

A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定

『当堂检测』

1.如果二次函数yxmx(m3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ） A．2,6 B．2,6 C．2,6 D．,226,

2.已知函数f(x)x21，则函数f(x1)的零点是__________ 3.若方程axa0有两个实数解，则a的取值范围是（ ） A．(1,) B．(0,1) C．(0,2) D．(0,)

x 第 5 页 共 6 页

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5 朋友式相处 快乐式学习

4.函数f(x)xx3的实数解落在的区间是( ) A．[0,1] B．[1,2] C．[2,3] D．[3,4] 5.求函数f(x)2x3x1零点的个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4

3『直击高考』

1.设二次函数

f(x)x2axa，方程f(x)x0的两根x1和x2满足0x1x21；

（1）求实数a的取值范围； （2）试比较解：令g(x)f0f1f0与

1的大小，并说明理由。 16f(x)xx2(a1)xa

则由题意可得：

01aa010 21a1g(1)0a322,或a322g(0)0故所求实数a的取值范围是(0,322.函数f

0a<322

2)。

x=2x+3x的零点所在的一个区间是（B）

A．（-2,-1） B（-1，0） C（0，1） D（1，2） 3.设函数f

x=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数fx不存在零点的是（A）

x-COSx在[0，﹚内（B）

A．[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] 4.函数f

x=

A没有零点 B有且仅有一个零点 C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点

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