人教版必修一 函数的性质 奇偶性与单调性复习讲义

1．函数奇偶性的定义

如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________，则称f(x)为偶函数．

2．奇偶函数的性质

(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____； f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝____.

(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于_____ ___ 对称．

(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．

3．函数的周期性

(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________．

TT

(2)性质： ①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋)＝f(x－)．

22

②如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．

1

③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或

fx

1

f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．

fx

探究点一 函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性．

1－x11

(1)f(x)＝(x＋1) ；(2)f(x)＝x(x＋)；

1＋x2－12

(3)f(x)＝log2(x＋

x2＋1)；(4)f(x)＝

2x＋x， x<0，

－x2＋x，x>0.

变式迁移1 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x2－x3；

(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；

4－x2

(3)f(x)＝.

|x＋3|－3

探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用

例2 函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等

1

式f[x(x－)]<0的解集．

2

变式迁移2 )已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．

探究点三 函数性质的综合应用

例3已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.

变式迁移3 定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( )

A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数

转化与化归思想的应用

例 (12分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

解 (1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分]

1

(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.[4分]

2

令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[6分] (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，[7分] ∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)[8分] ∵f(x)为偶函数，∴f(|(3x＋1)(2x－6|)≤f(64)．[10分]

又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D.∴0<|(3x＋1)(2x－6)|≤64.[11分]

711

解上式，得3333711

∴x的取值范围为{x|－≤x<－或－333

在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f(g(x))≤f(a)的形式，但思维障碍在于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合(2)中f(x)是偶函数的结论，则有f(g(x))＝f(|g(x)|)，又若能注意到f(x)的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g(x)|>0，从而得出0<|g(x)|≤a，解之得x的范围．

在(3)中，由f(|(3x＋1)·(2x－6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易出现0≤|(3x＋1)(2x－6)|≤64，导致结果错误．

1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．

2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时f－x

需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔＝

fx

±1(f(x)≠0)．

3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．

4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f(x)，若有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝f(x＋a)＝－

1

(a为常数且a≠0)，则f(x)的一个周期为2a fx

1或fx

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为( )

1111A．－ B. C. D．－ 3322

2．已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，若

fx

f(－3)＝0，则<0的解集为 ( )

x

A．(－3,0)∪(0,3) B．(－∞，－3)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3,0)∪(3，＋∞)

1

3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－

fx

2，则f(6.5)等于 ( )

A．4.5 B．－4.5 C．0.5 D．－0.5

x

4．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于 ( )

A．3 B．1 C．－1 D．－3

5．设函数f(x)满足：①y＝f(x＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)大小关系是 ( )

A．f(－1)>f(2) B．f(－1)x－1，x>0，

6．若函数f(x)＝a， x＝0，

x＋b，x<0

是奇函数，则a＋b＝________.

2m－3

7．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且f(1)>1，f(2)＝，m＋1

则m的取值范围是________．

8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 010)的值为________．

三、解答题(共38分)

9．(12分)已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的表达式．

10．(12分)设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3) (1)证明f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象；

(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．

a

11．(14分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．

x

(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．