数 学(理科) 2020 年 1 月7
日
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟．
注意事项：
1. 答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目．
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需
改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4. 请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在复平面内，复数A．第一象限
5i对应的点位于（ ） 12iB．第二象限
2
C．第三象限 D．第四象限
2.已知集合A x| x x 2 0
B x| | x | 1，则 A∩B （ ） ，
A． (2, 1) B． (1,1) C． (0,1) D． (1, 2)
3.已知 x, y R ，且 x y 0 ，则（
）
A. cos x cos y 0 B. cos x cos y 0 C． ln x ln y 0 D． ln x ln y 0
4.函数 f (x)的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 y eA.ex1x 关于
y 轴对称，则 f (x) （ ）
B.ex1 C.ex1 D.ex1
5.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶 点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么 黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯
基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ）
- 1 -
A.
3972 B. C. D. 5161656.已知等比数列{an}满足a1a236,a1a324，则使得a1a2an取得最大值的n为（ ）
A． 3
7.已知为锐角，cosB． 4
C． 5
D． 6
3则tan()（ ） 54
x2y28.已知双曲线C:221，O为坐标原点，直线xa与双曲线C的两条渐近线交于A, B 两点，若△
abOAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（
）
9.地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力
发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．
根据以上信息，正确的统计结论是（ ）
A．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值
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B．10 年来全球新增装机容量连年攀升 C．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW
D．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过10.已知函数f(x)1 3122x1，且f(a)f(2a)3，则a的取值范围是（ ） x21
11.已知函数 f (x) sin x sin(πx)，现给出如下结论：
① f (x)是奇函数 ② f (x)是周期函数
③ f (x)在区间(0, π) 上有三个零点 ④f (x) 的最大值为 2
其中正确结论的个数为（
A．1
）
B． 2
C． 3
D． 4
12.已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱长为4 ，底面边长为 2 ，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1 ,
BB1 ,CC1分别交于点 M , N , Q ，若△ MNQ 为直角三角形，则△ MNQ 面积的最大值为（ ）
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答）
14.在△ ABC 中， AB 2 ， AC 3 ， P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 AP BC 。
函数 f (x) ln x 和 g(x) ax2 x 的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同，则这条切线方程
为 .
16.在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P ，P到直线x 1 0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与 y 轴的交点坐标是 ；设点A(为 .
5,0)，则|PO|+|PA|的最小值4三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展。景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且
- 3 -
可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁。该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立。
（1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
18.（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B b sin(A（1）求A;
（2）D 是线段 BC 上的点，若 AD BD 2 ， CD 3 ，求△ ADC 的面积.
19.（本小题满分12分）
3).
13x2y2已知椭圆C :221(ab0)的离心率为，点A(1,)在椭圆C上，直线l1过椭圆C
22ab的有交点与上顶点，动直线l2:ykx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点. （1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|=
20.（本小题满分12分）
如图，三棱锥 P ABC 中，平面 PAB 平面 ABC ， PA PB ，APB ACB 90，点
1|MN|，求此时|MN|的长度. 4E, F 分别是棱 AB, PB 的中点，点G 是△ BCE 的重心． （1）证明： GF / / 平面 PAC ；
（2）若GF 与平面 ABC 所成的角为60 ，求二面角BAPC的余弦值.
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21.（本小题满分12分）
已知函数 f (x) 1 x 2 sin x, x 0 （1）求 f (x) 的最小值； （2）证明：f(x)e2x.
请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号． 22．(本小题满分 10 分)[选修 4 4 :坐标系与参数方程选讲]
x4m2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(m为参数）
y4m（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）已知倾斜角互补的两条直线l1,l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P(x0,y0)，求证：|PA||PB||PM||PN|.
23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f(x)|xa||x1|. （1）若f(a)2，求a的取值范围；
（2）当x[a,ak]时，函数f(x)的值域为[1,3]，求k的值.
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小课堂：如何培养自主学习能力？
自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。在学生阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。如何培养中学生的自主学习能力？ 01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。 2、有一个关于以后的人生设想。
3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。 4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。
5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。 6、会针对自己的弱项设定学习目标。
7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。 8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。 9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。 10、自己不感兴趣的学科也好好学。
11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。 12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。
- 10 -
02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。
14、为准备考试，会制定一个详细的计划。
15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。 16、常自己寻找没有干扰的地方学习。
17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。 18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。 19、作业总是在自己规定的时间内完成。 20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。 03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。 22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。
23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。 24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。 25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。
26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。 27、常寻找同一道题的几种解法。
28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。 29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。 30、常对学过的知识进行分类、比较。 31、常回忆当天学过的东西。
- 11 -
32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。 33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。 34、注意学习别人的解题方法。
35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。 36、留意别人好的学习方法，学来用用。 37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。 38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。 04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。 40、在学习时很少烦躁不安。
41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。 42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。 43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。 44、解决问题时，要检验每一步的合理性。
45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。 05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。 47、常让同学提问自己学过的知识。 48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。 49、常常对一天的学习内容进行回顾。
50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。
- 12 -
51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。 52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。 53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。 54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。 06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。 56、常和别人一起讨论问题。
57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。 58、自己到书店选择适合自己的参考书。 59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。
60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。
小课堂：如何培养自主学习能力？
自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。在学生阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。如何培养中学生的自主学习能力？ 01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。 2、有一个关于以后的人生设想。
3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。 4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。
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5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。 6、会针对自己的弱项设定学习目标。
7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。 8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。 9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。 10、自己不感兴趣的学科也好好学。
11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。 12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。 02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。
14、为准备考试，会制定一个详细的计划。
15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。 16、常自己寻找没有干扰的地方学习。
17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。 18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。 19、作业总是在自己规定的时间内完成。 20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。 03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。 22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。
23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。
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24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。 25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。
26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。 27、常寻找同一道题的几种解法。
28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。 29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。 30、常对学过的知识进行分类、比较。 31、常回忆当天学过的东西。
32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。 33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。 34、注意学习别人的解题方法。
35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。 36、留意别人好的学习方法，学来用用。 37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。 38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。 04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。 40、在学习时很少烦躁不安。
41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。 42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。 43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。
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44、解决问题时，要检验每一步的合理性。
45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。 05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。 47、常让同学提问自己学过的知识。 48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。 49、常常对一天的学习内容进行回顾。
50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。 51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。 52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。 53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。 54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。 06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。 56、常和别人一起讨论问题。
57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。 58、自己到书店选择适合自己的参考书。 59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。
60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。
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小课堂：如何培养自主学习能力？
自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。在学生阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。如何培养中学生的自主学习能力？ 01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。 2、有一个关于以后的人生设想。
3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。 4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。
5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。 6、会针对自己的弱项设定学习目标。
7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。 8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。 9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。 10、自己不感兴趣的学科也好好学。
11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。 12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。 02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。
14、为准备考试，会制定一个详细的计划。
15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。
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16、常自己寻找没有干扰的地方学习。
17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。 18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。 19、作业总是在自己规定的时间内完成。 20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。 03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。 22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。
23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。 24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。 25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。
26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。 27、常寻找同一道题的几种解法。
28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。 29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。 30、常对学过的知识进行分类、比较。 31、常回忆当天学过的东西。
32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。 33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。 34、注意学习别人的解题方法。
35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。
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36、留意别人好的学习方法，学来用用。 37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。 38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。 04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。 40、在学习时很少烦躁不安。
41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。 42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。 43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。 44、解决问题时，要检验每一步的合理性。
45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。 05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。 47、常让同学提问自己学过的知识。 48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。 49、常常对一天的学习内容进行回顾。
50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。 51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。 52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。 53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。 54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。
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06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。 56、常和别人一起讨论问题。
57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。 58、自己到书店选择适合自己的参考书。 59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。
60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。
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