圆中的角平分线

圆中的角平分线

1.M（0，1），⊙M半径为2

（1）弧CD上一动点P，则（PC＋PD）/PA为定值。证明并求其值。 （2）弧AD上一动点P，则（CP－AP）/PD为定值。证明并求其值。

yAyAMMCODxCODxBB

2．A（－2,0），B（0，－2），P为弧AO上的一动点，则（BP－AP）/PO为定值。证明并求其值。

yOAxMB

.

.

3.已知：AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB＝AC （1）如图，求证：直径AD平分∠BAC

ABCOD

（2）如图，若弦BC经过半径OA的中点E，F是弧CD的中点，G是弧FB的中点，

⊙O的半径为1，求弦GF的长。

ABEOCFGD

（3）如图，若弦BC经过半径OA的中点E，F是弧CD的中点，P是劣弧AF上的一动点，连PA，PB，PD，PF，下列两个结论：①PA＋PB＋PD＋PF为定值；②（PA＋PF）/（PB＋PD）为定值。其中有且只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求出这个值。

APBOFD

4.在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点

.

.

的坐标为（0、4）,若H（-4、4）,T为CA延长线上一动点，过T、H、A三点作⊙O2，AS⊥AC交O2于F．当T运动时（不包括A点），AT－AS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．

T y O2 S B H A

O C x

5.已知:在平面直角坐标系中，一个直角边为4的等腰直角三角形板ABC的直角

顶点B放至点O的位置，点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上．

.

.

将等腰直角三角形板ABC绕原点O(或顶点B)顺时针旋转180°至△OMN的位置．G为线段OC的延长线上任意一点，作GH⊥AG交x轴于H，并交直线MN

Y于Q．请问三条线段NG , GC, NQ之间是否存在某种相等关系?若存在 , 请证明你的结论;若不存在,请说明理由.

6.已知，如图，直线y2x4与x轴交于点E，与y轴交于点A，点D是直线AE在第一象限上的一点，以AD为边，在第一象限内做正方形ABCD.经过D、C、E三点作⊙P，过点C作CQ⊥AC交⊙P于Q，当D点在EA延长线上运动时，CQ的长度是否发生变化？若不变，请你证明并求出其值；若变化，请说明理由，并D指出其变化范围.

ACGCQAO(B)NXHMy

E.

POBQx.

7.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（—1，0）， C（0，3）（1）求⊙M的半径

（2）将弦DA绕着点D逆时针旋转，使A点落在⊙M上的E点处（如图2），使DE⊥x轴，P是弧AD上一动点（不与A、D重合），试探索PE－PA与PD之间的数量关系，给出结论并证明

A

y C

D

O

M

B x

.

.

P

y D

图2

A

O M

E

x

8.如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（-3，0）与y轴交于B、Cy两点，BC＝8，连AB. （1）求证：∠ABO1＝∠ABO；

图1O1CAOBx

（2）求AB的长；

.

.

（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交

yBM+BN于N，当⊙O2的大小变化时，得出下列两个结论：①BM－BN的值不变；②的值不变.其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明.

O1AO2OMNxB图2.

.

.

.

小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请你根据题目要求帮小明完成探究。 （1）更换定理的题设和结论，可以得到许多真命题，如图1在⊙O中，C是弧

AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE，请你证明此结论；

（2）从圆上任一点出发的两条弦所组成折线，称为该圆的一条折弦，如图2中

PA、PB组成⊙O的一条折弦，C为劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB，证明此结论；

（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE、PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论。

D图1D图2C图3ACEOBAOCPEBADEOPB.

.

如图，平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、M两点的坐标分别为（－1，0）（1，0）。 （1）求C点坐标；

（2）如图2，∠OCM的平分线交⊙M于点E，求直线BE的解析式；

（3）如图3，P为弧AC上一动点，Q为弧PC的中点，直线PB、PQ交于点

F，当点P在弧上运动时（不含A、C点），BF的长度是否改变，若不变，求出其值，若改变，求出变化范围。

ABODMxyCyCPAODE图2MBxAyCFOMD图3BxQ

图1.

.

如图，已知在平面直角坐标系中，以第一象限点M为圆心作⊙M与x轴交于点A（3，0），交y轴于点C，且AC恰好平分∠MCO，直线MC交x轴于点B（－2，0）。

（1）求直线BC的解析式；

（2）若点P为x轴负半轴上一动点，连AP，以A为圆心，AP为半径作⊙A交

CB的延长线于E点，且∠APE=∠ACM，当点P在x轴上运动时，线段CP－CE的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求出变化范围。

BCOA图1xP图2.

yyMMEBCOAx.

如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上的一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，若A（—1，0），C（0，3）。 （1）求M点的坐标；

（2）如图，P为弧BC上的一个动点，CQ平分∠PCD，当P点运动时，线段

AQ的长度是否改变？若不变，请求出其值，若改变，请求出其变化范围。 （3）如图，以A为圆心，AC为半径作⊙A，P为⊙A上不同于C、D的动点，直线PC交⊙M于Q，K为PQ的中点，连OK，当P点运动时，下面两个结论：①

CK的值不变；②OK的长度不变，其中有且只有一个结论正确，选择正确的PQ结论证明并求其值。

AyCBOMD图1xD图2AyCQOMPBxPAyCOMD图3QBx

.

.

10．如图，⊙O′经过点O，交x轴于A，交y轴于B，OP⊥AB交⊙O′于P，连

BP。

（1）求证：OB=PB；

（2）若BP=25，⊙O′的半径为5，求P点的坐标；

（3）点O′在运动过程中，⊙O′过点C（1，－1），M、N分别为弧OA、弧OB的中点，ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，（OA>OB），当点O′运动时，ME-NF的值是否改变？若不变，求出其值；若改变，求出其变化范围。

yPBO'O图1AxNOM图2BFO'EAxyP.

.

14．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以2的长为半径作⊙O交x轴于P、Q两点，交y轴于G，H两点，△ABC内接于⊙O，且BC∥x轴交y轴于D，∠BAC=45°（如图1）。 （1）求C点坐标；

（2）若点A在x轴上方的半圆上运动（不与G重合），且CA的延长线交y轴于M，AB交y轴于N（如图2），当A点运动时，ON·OM的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出其值；

（3）若点A在⊙O上运动（不与B、C重合），是否存在点A，使△ABC为等腰

yyAy三P角G形？若存在，请M在，请说明NOBD图2A求出A点的坐标；理由。

xCBODA若不存

BODH图1QCxxC图3.

.

.