圆锥曲线中的最值和范围问题方法

★★★高考在考什么

【考题回放】

x2y21．已知双曲线221(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直

ab线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )

A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,) D.(2,+∞)

x2y21的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)22． P是双曲线

916＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ B ）

A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )

478 B． C． D．3 355x2y24．已知双曲线221,(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双

abA．

曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）

(A)

4 3(B)

5 3(C)2 (D)

7 35．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 .

y21，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是6．设椭圆方程为x4111坐标原点，点P满足OP(OAOB)，点N的坐标为(,)，当l绕点M旋转时，

222求（1）动点P的轨迹方程；（2）|NP|的最小值与最大值.

2【专家解答】（1）法1：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.

记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组

① ykx1 的解. 将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0， 2y21x② 42kxx,1224k所以

yy8.124k2xx2y1y21k4,)(,). 于是OP(OAOB)(1222224k4k《专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第1页（共10页）

设点P的坐标为(x,y), 则

kx,4k2消去参数k得4x2+y2-y=0 ③ y4.4k2当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③， 所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0

解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以

2y12y22x1, ④ x21. ⑤

4412222④—⑤得x1x2(y1y2)0，

41所以(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.

4yy210. ⑥ 当x1x2时，有x1x2(y1y2)14x1x221x1x2x,2yy2, ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2+y2-y=0 ⑧ 并且y12y1y1y2xxx.12当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为

1(y)2x21. （0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为111641112（2）由点P的轨迹方程知x,即x.所以

16442111117|NP|2(x)2(y)2(x)24x23(x)2

2224612故当x11，|NP|取得最小值，最小值为; 44211. 当x时，|NP|取得最大值，最大值为66

★★★高考要考什么

【考点透视】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区

《专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第2页（共10页）

分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

【热点透析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式0。

★★★突破重难点

x2y21的两个焦点F1、【范例1】已知动点P与双曲线F2的距离之和为定值，231且cosF1PF2的最小值为．

9（１）求动点P的轨迹方程；

（２）若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上且DMDN，求实数的取值范围．

讲解 (１)由题意c2=5．设|PF1|+|PF2|=2a（a5），由余弦定理, 得

|PF1|2|PF2|2|F1F2|22a210cosF1PF21．

2|PF1||PF2||PF1||PF2|

|PF2|(又|PF1|·

|PF1||PF2|2)a2，

2当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|•|PF2| 取最大值，

2a21012a21011此时cosF1PF2取最小值，令，

9a2a222xy1. 解得a2=9，c5，∴b2=4，故所求P的轨迹方程为94（２）设N(s,t)，M(x,y)，则由DMDN，可得(x，y-3) =(s，t-3)，

故x=s，y=3+(t-3). ∵M、N在动点P的轨迹上，

(s)2(t33)2s2t21且1， 9494《专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第3页（共10页）

(t33)22t213512，解得t消去s可得，

461351又|t|2，∴||2，解得5，

651故实数的取值范围是[,5]．

5【点晴】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等．

【文】已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM||PN|22.记动点P的轨迹为W.

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OAOB的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

x2y2所求方程为：－＝1 （x0）

22（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0， 此时A（x0，x0－2），B（x0，－x0－2），OAOB＝2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，

22x2y2代入双曲线方程－＝1中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0

22依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则

4k2b24(1k2)•(b22)02kb解得|k|1， 0x1x221kb220x1x22k1又OAOB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）

2k2＋2422＝2＋22 ＝（1＋k）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b＝2k－1k－1综上可知OAOB的最小值为2

x2y21上的动点，F是右焦点，当【范例2】给定点A(-2,2)，已知B是椭圆

25165ABBF取得最小值时，试求B点的坐标。

35113解析：因为椭圆的e，所以ABBFABBF，而BF为动点B

3ee5到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之

和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义

《专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第4页（共10页）

|BF||BF|5e|BN||BF| |BN|e3于是 AB5BF|AB||BN||AN|AM为定值 353,2) 2其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为(所以，当AB535,2) BF取得最小值时，B点坐标为(23【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化

折为直，是一种简便而有效的好方法。 【文】点A（3，2）为定点，点F是抛物线y2=4x

y 的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF|

A 取得最小值，求点P的坐标。

解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1， P d 设P到准线的距离为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d。

O F 要使|PA|+|PF|取得最小值，由图3可知过A点 x 的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2 代入y2=4x，得P（1，2）。

X=1

【范例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q图3 x2y21上移动,试求|PQ|的最大值。 点在椭圆9解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ①

因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ②

1将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 8y27

21

因为Q在椭圆上移动，所以-1y1，故当y时，OQ33 1max2

此时PQmax331

【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2x22【文】设P是椭圆2y1a1短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，

a求|PQ|的最大值。

解: 依题意可设P(0,1), Q(x,y),则 |PQ|=x2+(y－1)2 ,又因为Q在椭圆上, 所以x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2

11

=(1－a2)(y－ )2－+1+a2 . 22

1－a1－a

《专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第5页（共10页）

a2a2－111

因为|y|≤1,a>1, 若a≥2, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值2 ;

1－a21－a2a－1

若1【范例4】已知△OFQ的面积为26，OFFQm （1）设6m46，求OFQ正切值的取值范围；

|OF|c,m(（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），

当 |OQ| 取得最小值时，求此双曲线的方程。

解析：（1）设OFQ =

61)c2 4|OF||FQ|cos()m46tan 1m|OF||FQ|sin2626m464tan1

（2）设所求的双曲线方程为

x2y21(a0,b0),Q(x1,y1),则FQ(x1c,y1) a2b2461∴SOFQ|OF||y1|26，∴y1

c2又∵OFFQm，∴OFFQ(c,0)(x1c,y1)(x1c)c(61c2 46963c222x1c,|OQ|x1y1212.

4c8当且仅当c=4时，|OQ|最小，此时Q的坐标是(6,6)或(6,6) 662x2y2221a41. ，所求方程为ab2412b12a2b216【点晴】当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。

【文】已知椭圆的一个焦点为F1(0,-22)，对应的准线方程为y心率e满足：

92，且离424,e,成等差数列。 33（1）求椭圆方程；

（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。

《专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第6页（共10页）

1222（1）解：依题意e ，3a2922c22 c4492 4 ∴a＝3，c＝22，b＝1，

又F1(0，－22)，对应的准线方程为y ∴椭圆中心在原点，所求方程为x212y1 91平分 2 (2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx＋m

ykxm由2y2消去y，整理得 (k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0

1x9∵l与椭圆交于不同的两点M、N，

∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0 即m2－k2－9＜0

①

k29x1x2km1设 M(x1,y1),N(x2,y2)  ② 2 m2k2k92(k29)22(k9)0 把②代入①式中得24k∴k＞3或k＜－3 2∴直线l倾斜角(，)(，)

3223

★★★自我提升

x2y21．设AB是过椭圆221(ab0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1(-c，0)，

ab则△F1AB的面积最大为（ A ）

A．bc B．ab

C．ac

D．b2

x2y21上一点，则|PA|＋|PB|的最2．已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆

259大值为（ C ）

A．10

B．105 C．105

D．1025

x2y21，过其右焦点F的直线l交双曲线于AB，若|AB|=5，则3．已知双曲线

169直线l有（ B ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

4．已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1, 到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 （ C ）

《专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第7页（共10页）

A．5 B．4 C．115 5（D）

11 5x2y21的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，5．设F是椭圆763，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为____

[11,0)(0,]. 101016．抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________(，1）

2x2y21的两个顶点， 7．如图，已知A、B是椭圆

169C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD 面积的最大值是_______122 22xy1的一段围成封闭图形，点 8．如图3，抛物线y2=4x的一段与椭圆43N（1，0）在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上，且AB//x轴，求△NAB

y 的周长l的取值范围。

解：易知N为抛物线y2=4x的焦点，又为椭圆的右焦点， 抛物线的准线l1：x=-1，椭圆的右准线l2：x=4， 过A作ACl1于C，过B作BDl2于D，

A B 则C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上。

O N y24x2由x2y2，得抛物线与椭圆的交点M的横坐标x 31341而|BN|=e|BD|=|BD|,|AN|=|AC|

2∴△NAB的周长l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|

x 图11|BD|=|BC|+|BD|-|BD| 2211=|CD|-|BD|=5-|BD|

2221542|BD|4，即1|BD|

3231010l4，即l的取值范围为（，4） 33=|BC|+

9．求实数m的取值范围，使抛物线y2=x上存在两点关于直线y=m(x-3)对称

解法1：设抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=m(x-3)对称，A，B中点M(x,y)，则当m=0时，有直线y=0，显然存在点关于它对称。

《专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第8页（共10页）

2y1y2111y1x1当m0时， 2xxyy2ym1212y2x2m5m所以y，所以M的坐标为,，∵M在抛物线内，

2225m则有，得10m10且m0，综上所述，m10,10

222解法2：设两点为A(x1，y1),B(x2，y2)，它们的中点为M(x，y)，两个对称点连线的方程为x=-my+b，与方程y2=x联立，得y2+my-b=0 

所以 y1+y2= -m，即ym， 25m, 22又因为中点M在直线y=m(x-3)上，所以得M的坐标为5m2又因为中点M在直线x=-my+b上，b，

22对于，有=m2+4b=10-m2>0，所以10m10。

10．已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB，且满足kPA•kPB=t (t≠0且t≠－1).

（１）求动点P的轨迹C的方程； （２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，求t的取值范围．

解：(１) 设点P坐标为(x,y),依题意得

yy=ty2=t(x2－4) x2x2x2y2x2y2+=1，轨迹C的方程为+=1（x≠2）. 44t44t(２) 当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆， 设|PF1|=r1，|PF2|=r2, 则r1+ r2=2a=4.

在△F1PF2中，|F1F2|=2c=41t, ∠F1PF2=120O，由余弦定理得 4c2=r1+r2－2r1r2cos120= r1+r2+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(∴16（1+t）≥12, ∴t≥－所以当－

2222r1r222

)=3a, 21. 41≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O 4当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆， 设|PF1|=r1，|PF2|=r2, 则r1+ r2=2a= -4t,

在△F1PF2中，|F1F2|=2c=41t.∠F1PF2=120O，由余弦定理得 4c2=r1+r2－2r1r2cos120= r1+r2+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(

2222r1r222

)=3a, 2《专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第9页（共10页）