2013四川高考数学文科试题及解析

数 学（文史类）

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第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A{1,2,3}，集合B{2,2}，则AB（ ）

（A） （B）{2} （C）{2,2} （D）{2,1,2,3} 2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）

（A）棱柱 （B）棱台 （C）圆柱 （D）圆台

3．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（ ）

（A）A （B）B （C）C （D）D

4．设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p:xA,2xB，则（ ） （A）p:xA,2xB （B）p:xA,2xB （C）p:xA,2xB （D）p:xA,2xB 5．抛物线y8x的焦点到直线x3y0的距离是（ ）

（A）23 （B）2 （C）3 （D）1

2 1

6．函数f(x)2sin(x)(0,是（ ）

)的部分图象如图所示，则,的值分别22

（A）2,3 （B）2,6 （C）4,6 （D）4, 37．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所

示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，„，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）

频率组距0.040.030.020.010.050.040.030.020.01频率组距频率组距频率组距0.040.030.020.01510152025303540人数0.040.030.020.0110203040人数0510152025303540人数00010203040人数(A)(B)(C)(D)

xy8,2yx4,8．若变量x,y满足约束条件且z5yx的最大值为a，最小值为b，则abx0,y0,的值是（ ）

（A）48 （B）30 （C）24 （D）16

x2y29．从椭圆221(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆

ab与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） （A）

2231 （B） （C） （D） 42222

10．设函数f(x)exxa（aR，e为自然对数的底数）．若存在b[0,1]使

f(f(b))b成立，则a的取值范围是（ ）

（A）[1,e] （B）[1,1e] （C）[e,1e] （D）[0,1]

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分． 11．lg5lg20的值是____ _．

12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则___ __ _．

13．已知函数f(x)4xa(x0,a0)在x3时取得最小值，则a___ ___． x14．设sin2sin，(215．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,1)的距离之和最小的点

的坐标是

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等比数列{an}中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，

求数列{an}的首项、公比及前n项和．

17．(本小题满分12分) 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

,)，则tan2的值是________．

3cos(AB)cosBsin(AB)sin(Ac)．

5（Ⅰ）求sinA的值；

18．(本小题满分12分)

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,,24这24个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i1,2,3)； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

（Ⅱ）若a42，b5，求向量BA在BC方向上的投影．

3

当n2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可i(i1,2,3)的频率（用分数表示）能性较大．

19．(本小题满分12分)

如图，在三棱柱ABCA1B1C中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，

BAC120，D,D1分别是线段BC,B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．

（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积．（锥体体积公式：

1VSh，其中S为底面面积，h为高）

3

20．(本小题满分13分)

已知圆C的方程为x(y4)4，点O是坐标原点．直线l:ykx与圆C交于

4

22M,N两点．

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设Q(m,n)是线段MN上的点，且

函数．

21．(本小题满分14分)

211．请将n表示为m的222|OQ||OM||ON|x22xa,x0已知函数f(x)，其中a是实数．设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))为

lnx,x0该函数图象上的两点，且x1x2． （Ⅰ）指出函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x20，证明：x2x11； （Ⅲ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围．

5

参考答案

一、选择题

1．B解析：考查集合的交集运算，容易题．选B．

2．D解析：考查新教材新增内容，三视图还原．容易题．选D． 3．B解析：考查复数的几何意义，共轭复数概念．中等题．选B． 4．C解析：考查全称量词和存在量词，属新增内容，容易题．选C．

5．D解析：考查抛物线性质，点到直线的距离公式．容易题．抛物线的焦点为（2,0），它到直

线的距离d21，所以选D． 2115T2T2, 121226．A解析：考查三角函数解析式的确定，中档题．由题知

又25“五点”中的第二点），所以，选A． （

31227．A解析：考查新增内容，茎叶图给出数据，频率分布直方图的识别．中档题．分别算出各组

的频率为

11424332,,,,,,, 所以选A． 20202020202020208．C解析：考查线性规划，基础题，求出各交点坐标（4,4），（8,0），（0,0）, (0,2), 代入目标函数即可得a=16, b= -8，所以 ab=24，所以选C．

9．C解析：考查椭圆的相关概念，中档题．由kABbkOPab2 a得b=c，a2=2c2，故选C．

c10．A 解析：考查函数的概念，导数的运用，综合度较高．难题．

因为f(f(b))b，令f(b)t，则f(t)b，所以点(t,b)、(b,t)均在f(x)的图象上(0b1)，而f(x)的图象不关于直线yx对称，所以tb，即f (b)=b，所以

ebbab2aebb2b,b0,1，令g(b)ebb2b，当0b1时g(b)eb2b10，所以g(b)在[0,1]上递增，所以ag0,g1，即a1,e，故

选A．

11．1 解析：考查对数基本运算，简单题．原式=lg100lg101

12．2 解析：考查平面向量的加法法则，简单题.ABADAO，2

a4a13．36 解析：考查函数的单调性，简单题. 4x4x在4x2a12时取

x4x得最小值，所以a=36.答案36

14．3 解析：考查三角函数二倍角公式、同角公式、中档题.

由题知cos122tan,,tan3,tan23. 231tan215．（2,4） 解析：考查平几知识、灵活运用所学知识分析解决问题的能力，中档题．根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个点的距离之和最小，

6

就要使它在AC与BD的交点处。由AC:y2x交点（2,4）即为所求．

BD:yx616．解：设an的公比为q．由已知可得

a1qa12，4a1q3a1a1q2，

所以a1(q1)2，q24q30，解得 q3 或 q1， 由于a1(q1)2。因此q1不合题意，应舍去， 故公比q3，首项a11．

3n1所以，数列的前n项和Sn． „„„„„„„„„„„„„„„ 12分

2317．解：（Ⅰ）由cos(AB)cosBsin(AB)sin(Ac) 得

53cos(AB)cosBsin(AB)sinB，

533则 cos(ABB)，即 cosA

554又0A，则 sinA． „„„„„„„„„„„„„„„ 5分

5bsinA2ab（Ⅱ）由正弦定理，有 ，所以sinB， a2sinAsinB由题知ab，则 AB，故B4．

根据余弦定理，有 (42)252c225c()， 解得 c1 或 c7（负值舍去），

352向量BA在BC方向上的投影为BAcosB． „„„„„„„„„„„ 12分

218．解：（Ⅰ）变量x是在1,2,3,,24这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能．

当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3所以输出

1； 21； 31． 616y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为．

„„„„„„„„„„„„„„„ 6分

1213（Ⅱ）当n2100时，甲、乙所编程序各自输出

输出甲 y的值为i(i1,2,3)的频率如下，

y的值为1的频率 输出y的值为2的频率 输出y的值为3的频率 1027 21007

376 2100697 2100

乙

1051 2100696 2100353 2100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大． „„„„„„„„„„„„„„„ 12分

19．解：（Ⅰ）如图，在平面ABC内，过点P作直线l//BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l//平面A1BC． 由已知，ABAC，D是BC中点，所以BC⊥AD，则直线lAD， 又因为AA1底面ABC，所以AA1l，

又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，

所以直线l平面ADD1A1． „„„„„„„„„„„„„„„ 7分 （Ⅱ）过D作DEAC于E，因为AA1平面ABC，所以AA1DE，

又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，所以DE平面AA1C1C，

由ABAC2，∠BAC120，有AD1，∠DAC60，

CQEDPlAC1A1B33所以在△ACD中，DE， AD221又SAQC1A1C1AA112VA1QC1DVDA1QC1D1B1，所以

1133 DESA1QC1133263．„„„„„„„„„„„„„„„ 12分 62因此三棱锥A1QC1D的体积为

220．解：（Ⅰ）将ykx代入x(y4)4得 则 (1k2)x28kx120，（*） 由(8k)24(1k2)120得 k23．

所以k的取值范围是(,3)(3,)． „„„„„„„„„„„ 4分 （Ⅱ）因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为(x1,kx1)，(x2,kx2)，则

OM由

2(1k2)x1，ON(1k2)x2，又OQm2n2(1k2)m2，

222222OQ1OM21ON2得，

211， 222222(1k)m(1k)x1(1k)x2(x1x2)22x1x2211所以222 22mx1x2x1x28k12由（*）知 x1x2，， xx121k21k2

8

所以 m236， 25k336n，代入m2可得5n23m236， 2m5k3因为点Q在直线l上，所以k由m23622及得 k30m3，即 m(3,0)(0,3)．

5k23363m215m2180依题意，点Q在圆C内，则n0，所以 n， 5515m2180于是，n与m的函数关系为 n （m(3,0)(0,3)）

5„„„„„„„„„„„ 13分

21．解：（Ⅰ）函数f(x)的单调减区间为(,1)，单调增区间为(1,0)，

(0,)． „„„„„„„„„„„ 3分

（Ⅱ）由导数的几何意义知，点A处的切线斜率为f(x1)，点B处的切线斜率为f(x2)， 故当点A,B处的切线互相垂直时，有f(x1)f(x2)1， 当x<0时，f(x)2x2

因为x1x20，所以 (2x12)(2x22)1，所以2x120，2x220，

1[(2x12)(2x22)](2x12)(2x22)1， 231（当且仅当(2x12)2x221，即x1且x2时等号成立）

22因此x2x1所以函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时有x2x11． „„„„„„„„„„„ 7分

（Ⅲ）当x1x20或x2x10时，f(x1)f(x2)，故x10x2． 当x10时，f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为

22y(x12x1a)(2x12)(xx1) 即 y(2x12)xx1a．

当x20时，

f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为

ylnx211(xx2) 即 yxlnx21． x2x21①x2x12两切线重合的充要条件是2，

lnx1x2a②21由①及x10x2知，0由①、②得 alnx2(令t12， x211111)21ln(2)21， 2x2x24x211，则0t2，且at2tlnt x2411(t1)23120 设h(t)ttlnt(0t2)，则h(t)t12t2t4 9

所以h(t)(0t2)为减函数，则h(t)h(2)1ln2， 所以a1ln2，

而当t(0,2)且t趋向于0时，h(t)无限增大， 所以a的取值范围是(1ln2,)．

故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时，a的取值范围是(1ln2,)．

„„„„„„„„„„„ 14分

10